自考线性代数行列式.pptx

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1、第一章 行列式第1页/共122页1.1 行列式的定义从最简单的二元线性方程组出发，探从最简单的二元线性方程组出发，探求其求解公式，并设法化简此公式求其求解公式，并设法化简此公式.第2页/共122页【例1】二元线性方程组二元线性方程组 由消元法，得由消元法，得当当 时，该方程组有唯一解时，该方程组有唯一解 第3页/共122页求解公式为求解公式为二元线性方程组二元线性方程组 请观察，此公式有何特点？请观察，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四个系数确定分母相同，由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得相减而得.第4页/共122页其求解

2、公式为其求解公式为二元线性方程组二元线性方程组 引进新的符号来表示引进新的符号来表示“四个数分四个数分成两对相乘再相减成两对相乘再相减”.记号记号 数表数表 表达式表达式 称为由该称为由该数表所确定的数表所确定的二阶行列式二阶行列式，即，即其中，其中，称为称为元素元素.i 为为行标行标，表明元素位于第，表明元素位于第i 行；行；j 为为列标列标，表明元素位于第，表明元素位于第j 列列.原则：横行竖列1.1.1 二阶行列式与三阶行列式第5页/共122页二阶行列式的计算二阶行列式的计算 主对角线 副对角线 即：主对角线上两元素之积副对角线上两元素之积。对角线法则对角线法则 第6页/共122页二元线

3、性方程组二元线性方程组 若令若令(方程组的系数行列式方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为第7页/共122页【例例2】求解二元线性方程组求解二元线性方程组【解解】因为因为 所以所以 第8页/共122页【练习1】若 ，则k=【解】第9页/共122页【练习2】行列式 的值为_.【解】2第10页/共122页【练习3】行列式 的值为_.【解】-16第11页/共122页三阶行列式定义定义 设有设有9个数排成个数排成3行行3列的数表列的数表原则：横行竖列引进记号引进记号称为称为三阶行列式三阶行列式.主对角线 副对角线 二阶行列式的对角线法则并不适用！第12页/

4、共122页三阶行列式的计算三阶行列式的计算 对角线法则对角线法则 注意：注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.实线上的三个元素的乘积冠正号，实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号虚线上的三个元素的乘积冠负号.第13页/共122页三阶行列式的规律规律：1.三阶行列式共有6项，即3!项2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积第14页/共122页【例例3】计算行列式计算行列式 【解解】按对角线法则，有按对角线法则，有第15页/共122页方程左端方程左端【解解】由由 得得【例例4】求解方程求解方程 第16页/共122页【练习4】计算行列式

5、D=的值第17页/共122页【解】第18页/共122页【练习5】3阶行列式 _ 5第19页/共122页【解】第20页/共122页【练习6】3阶行列式 =_ 16第21页/共122页第22页/共122页1.1.2 n 阶行列式1.n 阶行列式共有 n!项2.每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积第23页/共122页思考题：思考题：成立成立吗？吗？答：答：符号符号 可以有两种理解：可以有两种理解：若理解成绝对值，则若理解成绝对值，则 ；若理解成一阶行列式，则若理解成一阶行列式，则 .注意：注意：当当n=1时，一阶行列式时，一阶行列式|a|=a，注意不要与，注意不要与绝对值的记号相混淆绝对值

6、的记号相混淆.例如：一阶行列式例如：一阶行列式 .所以必须写清楚，如一阶行列式所以必须写清楚，如一阶行列式|2|=2，或者，或者D=|2|=2。第24页/共122页余子式与代数余子式结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示.思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？第25页/共122页例如例如 把把 称为元素称为元素 的的代数余子式代数余子式在在n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划后，列划后，留下来的留下来的n1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作 .结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列式中每一个元素都

7、分别对应着一个余子式和一个代数余子式.第26页/共122页【练习7】行列式 中 元素的代数余子式 _11第27页/共122页【解】第28页/共122页【练习8】3阶行列式中元素 的代数余子式 （）A2B1C1D2B第29页/共122页【解】第30页/共122页【练习9】设3阶行列式 的第2行元素分别为 对应的代数余子式分别为 ，则 _ 10第31页/共122页【练习10】已知3阶行列式 中元素的代数余子式 ，求元素 的代数余子式 的值第32页/共122页由 ，得 ，所以【解】第33页/共122页1.2 行列式按行(列)展开对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.本

8、节主要考虑如何用低阶行列式来表示高本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式阶行列式.第34页/共122页引理引理 一个一个n 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘与它的代数余子式的乘积，即积，即 例如 第35页/共122页即有即有又又从而从而下面再讨论一般情形.分析分析 当当 位于第位于第1行第行第1列时列时,第36页/共122页行列式按行（列）展开法则定理定理1.2.1（行列式展开定理）（行列式展开定理）行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之

9、和，即（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即第37页/共122页同理可得第38页/共122页【例例5】计算行列式计算行列式第39页/共122页【解解】其中其中 第40页/共122页第41页/共122页四个结论：四个结论：(1)对角行列式对角行列式(2)第42页/共122页(3)上三角形行列式上三角形行列式（主对角线下侧元素都为（主对角线下侧元素都为0）(4)下三角形行列式下三角形行列式（主对角线上侧元素都为（主对角线上侧元素都为0）第43页/共122页计算3阶行列式【例例6】第44页/共122页【解】用对角线法第45页/共122页用按行或按列展开法按第一列展开得到按第二列展开得到按第三

10、列展开得到第46页/共122页用按行或按列展开法按第一行展开得到按第二行展开得到按第三行展开得到第47页/共122页计算4阶行列式【例例7】第48页/共122页【解】行列式的第二列只含有一个非零元素a22=1，其他元素均为0，按第二列展开计算量最小，得第49页/共122页1.3 行列式的性质与计算第50页/共122页1.3.1 行列式的性质行列式 称为行列式 的转置行列式.若记 ，则 .记性质1 行列式与它的转置行列式相等,即 .行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.第51页/共122页性质2 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数 ，等于用数 乘以

11、此行列式.验证我们以三阶行列式为例.记 根据三阶行列式的对角线法则，有备注：第 行（列）乘以 ，记作 .第52页/共122页推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面备注：第 行（列）提出公因子，记作 .第53页/共122页计算3阶行列式【例例8】第54页/共122页【解】第55页/共122页计算3阶行列式【例例9】第56页/共122页【解】在行列式D中的每一行都提出公因数（1），并用行列式性质1，可以得到因为行列式D是一个数，所以由D=D,可得D=0。第57页/共122页性质3 互换行列式的两行（列）,行列式变号.验证于是推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行

12、列式为零.证明互换相同的两行，有 ，所以 .备注：交换第 行（列）和第 行（列），记作 .第58页/共122页验证我们以4阶行列式为例.性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零第59页/共122页计算3阶行列式【例例10】第60页/共122页【解】因为行列式中第一行与第三行成比例，所以第61页/共122页性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,例如：则第62页/共122页验证我们以三阶行列式为例.第63页/共122页性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变则验证我们以三阶行列式为例.记 备注：以数 乘第 行（

13、列）加到第 行（列）上，记作 .第64页/共122页定理定理1.3.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即对应的代数余子式乘积之和，即推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即综上所述，有同理可得第65页/共122页推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即分析分析 我们以我们以3阶行列式为例阶行列式为例.把第1行的元素换成第2行的对应元素，则 第66页/共122页1.3.2 行列式的计算计算行列式常用方法计算行列式常用方法：（1）利用运算把

14、行列式化为上三角形（或下三角利用运算把行列式化为上三角形（或下三角形）行列式，从而算得行列式的值形）行列式，从而算得行列式的值（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值。通常是利用运算式的阶数降低，再求出它的值。通常是利用运算 在某一行或某一列产生很多个在某一行或某一列产生很多个0元素，再按包含元素，再按包含0最多的最多的行或列展开，以减少计算量。行或列展开，以减少计算量。第67页/共122页【例11】1.3.2 行列式的计算计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行

15、列式，从而算得行列式的值上三角形行列式，从而算得行列式的值第68页/共122页【解】第69页/共122页第70页/共122页第71页/共122页第72页/共122页第73页/共122页例12 计算 阶行列式【解解】将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得第74页/共122页第75页/共122页【例13】设 证明 第76页/共122页【证明证明】对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 设为设为对对 作运算作运算 ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 设为设为第77页/共122页对对 D 的前的前 k 行作运算行作运算 ，再对后，再对后 n 列作运算列作运算

16、 ，把把 D 化为下三角形行列式化为下三角形行列式故第78页/共122页【例例15】第82页/共122页【例16】计算行列式【解解】第83页/共122页第84页/共122页例17 设 ,的 元的余子式和代数余子式依次记作 和 ，求分析分析 利用利用及及第85页/共122页【解】第86页/共122页第87页/共122页【证明证明】用数学归纳法用数学归纳法【例例18】证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式所以所以n=2时时(1)式成立式成立.第88页/共122页假设假设(1)对于对于n1阶范德蒙行列式成立，从第阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行行开始，后行减去前行的减去

17、前行的 倍：倍：按照第按照第1列展开，并提出每列的公因子列展开，并提出每列的公因子 ，就有，就有第89页/共122页 n1阶范德蒙德行列式第90页/共122页【练习11】若 则行列式 =_0【解】根据 性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零 第91页/共122页【练习12】计算3阶行列式 第92页/共122页【解】第93页/共122页【练习13】【解】D第94页/共122页【练习14】C第95页/共122页【解】第96页/共122页【练习15】已知3阶行列式则 _2第97页/共122页【解】第98页/共122页【练习16】设行列式 =2，则行列式 =（）A.12B.24 C

18、.36 D.48A第99页/共122页【练习17】设行列式 =3，则行列式 =（）A.-18 B.-12 C.12 D.18D第100页/共122页【练习18】设行列式 =6，则 =（）A12 B 18 C18 D12C第101页/共122页【练习19】设A为3阶方阵，且 ，则 （）A4B1C1D4D第102页/共122页【解】第103页/共122页【练习20】行列式中第4行各元素的代数余子式之和为_.0第104页/共122页【解】第105页/共122页【练习21】计算行列式D=第106页/共122页【解】第107页/共122页【练习22】设行列式其第3行各元素的代数余子式之和为_.0第108

19、页/共122页【解】第109页/共122页 (行列式中行与列具有同等的地位,凡是对行成立的性质对列也同样成立).计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用性利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值式的值小结行列式的6个性质第110页/共122页1.4 克拉默法则第111页/共122页二元线性方程组二元线性方程组 若令若令(方程组的系数行列式方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为第112页/共122页一、克拉默法则如果线性方程组如果线性方程组的系数行列式不等于零，

20、即的系数行列式不等于零，即第113页/共122页其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程组右端的常数列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即那么线性方程组(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成第114页/共122页定理中包含着三个结论：定理中包含着三个结论：方程组有解；方程组有解；（解的存在性）（解的存在性）解是唯一的；解是唯一的；（解的唯一性）（解的唯一性）解可以由公式解可以由公式(2)给出给出.这三个结论是有联系的这三个结论是有联系的.应该注意，该定理所讨论的只是系应该注意，该定理所讨论的只是系数行列式不为零的方程组，至于

21、系数行列式等于零的情形，数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，将在第三章的一般情形中一并讨论将在第三章的一般情形中一并讨论.第115页/共122页关于克拉默法则的等价命题定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的.定理4 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.设设第116页/共122页【例19】解线性方程组【解】第117页/共122页第118页/共122页第119页/共122页线性方程组常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组.齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0,0)就是一个解，称为零解.因此，齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解.我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存在着非零解.第120页/共122页齐次线性方程组的相关定理定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式 ，则齐次线性方程组只有零解，没有非零解.定理5 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零.备注1.这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非零解的必要条件.2.在第三章还将证明这个条件也是充分的.即：齐次线性方程组有非零解 系数行列式等于零第121页/共122页感谢您的观看！第122页/共122页