第4章 刚体力学优秀PPT.ppt

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1、第4章刚体力学现在学习的是第1页，共82页经典力学（上）经典力学（上）第四章第四章 刚体力学刚体力学现在学习的是第2页，共82页4.1刚体的运动n刚刚体体 各质点（质元）之间距离均保持不变的质点系，或整体及各部分的形状、大小均保持不变的物体一、刚体一、刚体n自自由由度度 描述一个力学体系在空间的几何位置所需要的独立变量数二、刚体的自由度二、刚体的自由度现在学习的是第3页，共82页n约束约束对力学系统的运动所施加的限制nN个自由质点的质点系，自由度为 3Nn自由质点，自由度为3，独立变量为：直角坐标系：x，y，z 柱面坐标系：r，z球面坐标系：r，n如限制在平面作运动的自由质点，（一个约束条件）

2、自由度为：S312现在学习的是第4页，共82页n受到约束的质点系，其自由度会降低。nN个质点的质点系，并有k个约束，描写该质点系运动的自由度为：S=3Nkn距离保持不变的二质点系，在直角坐标系下，两质点的位矢为约束条件为该二质点系的自由度为：S3215现在学习的是第5页，共82页三、刚体运动的几种形式三、刚体运动的几种形式1.1.平动平动在刚体上选任意两点连一条直线，在运动过程中，该条直线的方位保持不变（与最初始的方位保持平行）n运动特点运动特点刚体上各点的运动状态完全一样n自由度自由度S S3 3可将作平动的刚体视为质点来研究，常将质心作为代表点现在学习的是第6页，共82页n彼此距离保持不变

3、，且不共线三个质点构成的质点系。其自由度为：S3336n刚体的自由度刚体的自由度n自由刚体的自由度 S=6现在学习的是第7页，共82页2.2.定轴转动定轴转动 在刚体运动时，若存在着两点，过这两点连一条直线，则该直线上任意点保持不动，该条直线称为（固）定转轴，刚体绕固定轴转动，这种运动为称定轴转动定轴转动n运动特点运动特点刚体上各点作圆周运动n自由度自由度S S1 1如方位角可确定质点的位置现在学习的是第8页，共82页3.3.平面平行运动平面平行运动 在刚体运动过程中，其上每一点都在与某固定平面相平行的平面内运动，这种运动为称平面平行运动平面平行运动n运动特点运动特点刚体内任一与固定平面相垂直

4、的直线上所有点的运动状态完全一样n在研究作平面平行运动的刚体时，只需考察刚体上与固定平面相平行的任一剖面即可n自由度自由度S S3 3现在学习的是第9页，共82页4.4.定点转动定点转动 在刚体运动过程中，在空间总存在固定点，其位置保持不变，刚体绕着该点转动，这种运动为称定点定点转动。转动。n运动特点运动特点作定点转动的刚体，在任一瞬时总可视为是绕过固定点的瞬时轴转动。（瞬时轴的方位在变化）n自由度自由度 S S3 3现在学习的是第10页，共82页5 5.一般运动一般运动 （自由刚体）（自由刚体）刚体不受任何约束的运动。可视为刚体随某基点（通常是质心）的平动与刚体绕基点作定点转动的组合。n自由

5、度自由度 S S3 33 36 6现在学习的是第11页，共82页4.2 4.2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动一、一、角速度角速度 2.2.平均角速度平均角速度1.1.角位移角位移在在tt时间内，刚体绕转轴转过的角度时间内，刚体绕转轴转过的角度n不是矢量，它并不满足矢量运算交换率法则n 不是矢量，它并不满足矢量运算交换率法则现在学习的是第12页，共82页3.3.角速度角速度角速度定义为（弧度/秒）n大小n方向转动平面的正法向（逆时针转动）4.4.角加速度角加速度 （弧度/秒2）现在学习的是第13页，共82页5 5.角量与线量的比较角量与线量的比较 n角量角量n n n n n线量线量n n n

6、n n线量与角量的关系线量与角量的关系n n n 现在学习的是第14页，共82页n线速度与角速度的关系线速度与角速度的关系n速度速度n加速度加速度现在学习的是第15页，共82页O O现在学习的是第16页，共82页二、转动定理二、转动定理 1.1.作定轴转动刚体的角动量作定轴转动刚体的角动量 O i iOz z现在学习的是第17页，共82页n在转轴上任选一点O为参考点，刚体上任一小质元m，其位矢 ，线速度 ，相对于O的角动量为即有现在学习的是第18页，共82页n总角动量总角动量 n在直角坐标系中的描述在直角坐标系中的描述 现在学习的是第19页，共82页n几点说明几点说明通常，角动量 J J 与角

7、速度 的方向并不一致，二者间有一个夹角；当 为常量，J J 的方向也可能随时间改变（J Jz 分量不变，J Jh 分量的方向变化）现在学习的是第20页，共82页当转轴为刚体的对称轴时，J与方向平行。在轴对称位置的任意两质元mi和mj，总有令I 称为刚体相对于转轴的转动惯量转动惯量则刚体相对于固定转轴的角动量具有的形式刚体相对于固定转轴的角动量具有的形式现在学习的是第21页，共82页2.2.转动定理转动定理 据质点组的角动量定理（方向与轴向垂直）令（轴向）现在学习的是第22页，共82页n说明说明 刚体作定轴转动，通常受到力矩的作用当转轴为刚体的对称轴时，称为转动定理称为转动定理当为常量时，刚体相

8、对于转轴的角动量守恒现在学习的是第23页，共82页三、转动惯量三、转动惯量 1.1.定义：定义：刚体相对于固定转轴的转动惯量I为 n对于确定的转轴，I 仅与刚体的质量大小和分布有关；n转动惯量常用张量来描述或现在学习的是第24页，共82页2.2.几种典型形状刚体的转动惯量几种典型形状刚体的转动惯量n圆环n圆柱n圆筒n圆球n细棒n球壳现在学习的是第25页，共82页3.3.回转半径回转半径n圆环转动惯量总可以写成n如圆筒n圆球n细棒n球壳k k 称为回转半径现在学习的是第26页，共82页四、定轴转动刚体的动能及动能定理四、定轴转动刚体的动能及动能定理1.1.动能动能 现在学习的是第27页，共82页

9、2.2.力矩作功力矩作功 （内力作功（内力作功0 0）刚体作定轴转动时，刚体上任一点作圆周运动。考虑任意质元mi，距转轴i。受外力Fi作用，mi的位移为：mi的角位移：Fi作的元功：而现在学习的是第28页，共82页外力矩作元功：外力矩作总功：3.3.刚体作定轴转动的动能定理刚体作定轴转动的动能定理 现在学习的是第29页，共82页4.3 4.3 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动一、基点法处理一、基点法处理平面平行运动平面平行运动 平面平行运动平面平行运动刚体随基点的平动刚体绕过基点的定轴转动刚体随基点的平动刚体绕过基点的定轴转动说明说明基点可以任意选择角速度与基点的选择无关通常将质心作为基点

10、现在学习的是第30页，共82页O OP PA A现在学习的是第31页，共82页ABCDABCDABDB”D”1 12 2C”1 1 2 2n几何证明几何证明现在学习的是第32页，共82页n 与基点的选择无关，通常将质心选作基点与基点的选择无关，通常将质心选作基点证明：证明：O为固定参考点，P为刚体上任一点，考察P点的速度P PA AB BO O以A为基点以B为基点以A为基点，考察B点的速度现在学习的是第33页，共82页将（3）式代入（2）式得即或而即所以现在学习的是第34页，共82页二、刚体作平面平行运动的动力学方程二、刚体作平面平行运动的动力学方程n质心（基点）的平动质心（基点）的平动n刚体

11、绕过质心的固定轴转动刚体绕过质心的固定轴转动现在学习的是第35页，共82页三、刚体作平面平行运动的能量三、刚体作平面平行运动的能量n动能动能n重力势能重力势能现在学习的是第36页，共82页n在任何瞬时，作平面平行运动的刚体上（或其延伸体）总有一点P，其速度vP0，该P点称为瞬时转动中心瞬时转动中心，简称瞬心。瞬心。在此瞬间，刚体绕P点转动n意义意义刚体剖面点上所有点在瞬时都绕瞬心作转动。经无限多次绕一系列的瞬心的转动实现了平面平行运动刚体在作平面平行运动中过程中，通常瞬心在空间运动，若瞬心不随刚体的运动而变化，则该瞬心为定轴四、瞬时转动中心四、瞬时转动中心现在学习的是第37页，共82页n如何确

12、定瞬心如何确定瞬心n几何法n计算法若已知刚体上一点A的位矢、速度和角速度，则瞬心的位矢为现在学习的是第38页，共82页例例 一半径为一半径为r r的小球在半径为的小球在半径为R R的半球形碗的内壁作的半球形碗的内壁作无滑滚动，以无滑滚动，以 代表极角，试导出代表极角，试导出 与角速度与角速度的的关系式。关系式。ROCP现在学习的是第39页，共82页【解解】c为小球的质心，小球任一点的运动可分解为球整体随c的平动和该点相对于c的转动。因为小球作无滑滚动，所以球与碗的接触点P即是瞬心。应满足其数值关系为应为c点绕碗心o作圆周运动，故有代入上式得现在学习的是第40页，共82页五五.惯量张量惯量张量现

13、在学习的是第41页，共82页x xy yz z o o 在oxyz坐标系下五五.惯量张量惯量张量现在学习的是第42页，共82页由得代入1.1.动量矩动量矩现在学习的是第43页，共82页可得可得现在学习的是第44页，共82页即即现在学习的是第45页，共82页令令显然有显然有现在学习的是第46页，共82页则其中其中I Ixxxx、I Iyyyy、I I zzzz分别是刚体相对分别是刚体相对x x、y y、z z轴的转动惯轴的转动惯量；量；I Ixyxy、I Iyxyx、I I xzxz、I Izxzx、I Iyzyz、I I zy zy是交叉项，称作惯量是交叉项，称作惯量积。积。现在学习的是第47

14、页，共82页若是连续的质点组，应该是积分若是连续的质点组，应该是积分现在学习的是第48页，共82页n 角动量的矩阵形式角动量的矩阵形式以上，以上，I Ixxxx、I Ixyxy、I Izzzz等等9 9个量组成了一个个量组成了一个张量，称为张量，称为惯性张量惯性张量。现在学习的是第49页，共82页当当z z轴与转轴重合时，轴与转轴重合时，x x y y0 0。角动量矩阵简化为角动量矩阵简化为即即现在学习的是第50页，共82页2.2.刚体的转动动能和转动惯量刚体的转动动能和转动惯量即现在学习的是第51页，共82页代入可得现在学习的是第52页，共82页而对比上两式，可得转动惯量 I I 的表达式现

15、在学习的是第53页，共82页又因为代入上式可得现在学习的是第54页，共82页若将cos，cos，cos分别记为，和现在学习的是第55页，共82页I I 的矩阵形式为的矩阵形式为现在学习的是第56页，共82页对于具有几何对称性的匀质刚体，若选择其对称轴对于具有几何对称性的匀质刚体，若选择其对称轴为坐标轴，则可消除掉交叉项为坐标轴，则可消除掉交叉项I Ii ij j。例如例如z z轴是刚体的几何对称轴，则刚体上任意一点轴是刚体的几何对称轴，则刚体上任意一点（x xi i，y yi i，z zi i），总存在一个对称点（），总存在一个对称点（x xj j，y yj j，z zj j），并），并有有

16、x xi ix xj j，y yi iy yj j，z zi iz zj j 使得使得现在学习的是第57页，共82页n惯量积为惯量积为0 0时，时，J J、I I、E Ek k的划简形式的划简形式 角动量角动量 转动惯量转动惯量 动能动能现在学习的是第58页，共82页n矩阵形式矩阵形式角动量角动量现在学习的是第59页，共82页转动惯量 动能现在学习的是第60页，共82页例例 一个质量为一个质量为m m，半径是，半径是R R的圆盘绕过其盘中心的的圆盘绕过其盘中心的竖直轴以匀角速竖直轴以匀角速 旋转，盘面的法线与竖直轴的旋转，盘面的法线与竖直轴的夹角为夹角为。求（。求（1 1）圆盘相对竖直轴的转动

17、惯量；）圆盘相对竖直轴的转动惯量；（2 2）设支撑轴承）设支撑轴承A A、B B距盘心距盘心O O的距离为的距离为L L，求，求A A、B B处附加压力。处附加压力。现在学习的是第61页，共82页L LL Ly yx xz z A AB B R RO O z z x xz zx x J JJ Jz zJ Jx xJ J1 1x xz zJ J2 2现在学习的是第62页，共82页以以O O点为原点，点为原点，z z轴沿盘面的法线方向，建立轴沿盘面的法线方向，建立O Oxyzxyz坐标系，坐标系，z z轴、轴、x x轴和转轴在一个平面内轴和转轴在一个平面内则而则有现在学习的是第63页，共82页本题

18、可以这样考虑，将本题可以这样考虑，将J Jx x和和J Jz z分别向转轴方向分别向转轴方向投影投影并求和，并求和，得到得到J J的转轴分量为的转轴分量为J J1 1而得到现在学习的是第64页，共82页求附加压力求附加压力角动量角动量J J的大小不变，方向改变，它随刚体绕的大小不变，方向改变，它随刚体绕转轴旋转，所以转轴旋转，所以J J是一个变量。是一个变量。J JJ Jz zJ Jx xJ J1 1x xz zJ J2 2J J2 2(t)(t)J J2 2(t+(t+t)t)J J2 2J J2 2现在学习的是第65页，共82页J J的变化是由于的变化是由于J J的与轴垂直的分量的与轴垂直

19、的分量J J2 2变化所致。变化所致。J J2 2绕转轴以绕转轴以 的角速度旋转。的角速度旋转。J J2 2 的大小不变，但方向变化。的大小不变，但方向变化。现在学习的是第66页，共82页现在学习的是第67页，共82页n陀螺、又称为回转仪陀螺、又称为回转仪具有大的转动惯量对称轴，并绕该对称轴高速旋转的刚体称为回转仪回转仪，或称陀螺陀螺4.4 4.4 回转运动（陀螺的运动）回转运动（陀螺的运动）现在学习的是第68页，共82页 mgmgO O玩具陀螺 现在学习的是第69页，共82页常平架陀螺仪现在学习的是第70页，共82页杠杆回转仪现在学习的是第71页，共82页n无外力矩作用时，自转轴方向不变n若

20、陀螺、轴及重物系统的重心C偏离Z轴一距离l，导致有重力矩，杠杆仍保持水平，并按逆时针方向绕竖直轴（Z轴）缓慢地转动。一、杠杆陀螺的进动一、杠杆陀螺的进动n回转仪在绕自转轴高速旋转的同时，自转轴还将绕某竖直轴回转的现象称为进动进动n杠杆回转仪运动特性杠杆回转仪运动特性现在学习的是第72页，共82页A AP PZ Zmgmg l lO OZ ZX XO O现在学习的是第73页，共82页n进动角速度进动角速度 而可得矢量形式现在学习的是第74页，共82页二、玩具陀螺的进动二、玩具陀螺的进动 mgmgO O l lc cO O现在学习的是第75页，共82页n进动角速度进动角速度 矢量形式矢量形式现在学

21、习的是第76页，共82页n陀螺的运动特点陀螺的运动特点n当对着旋转着的有一点固定的陀螺施加外力时，它不顺着外力方向倾斜，而向着与外力垂直的方向即力矩方向倾斜；n在外力矩作用下，陀螺并不产生与力矩成正比的角加速度，而是产生与力矩成正比的进动角速度。现在学习的是第77页，共82页n考虑陀螺进动所产生的附加角动量考虑陀螺进动所产生的附加角动量n陀螺进动所产生的附加角动量 它使总角动量的方向略有上翘n若陀螺在初始时刻的角动量沿水平方向，然后由静止释放，在稳定进动时，陀螺的头略向下倾斜，使总的角动量仍沿水平方向。现在学习的是第78页，共82页现在学习的是第79页，共82页n回转效应的应用回转效应的应用n

22、自动导航n枪管炮筒中的来复线现在学习的是第80页，共82页例例 在在长长为为l l的的轴轴的的一一端端，装装上上回回转转仪仪的的轮轮子子，轴轴的的另另一一端端吊吊在在长长为为L L的的绳绳子子上上。当当轮轮子子绕绕轴轴快快速速转转动动时时，轮轮将将在在水水平平面面上上绕绕过过支支点点O O的的铅铅直直轴轴作作匀匀速速进进动动。轮轮子子的的质质量量为为MM，对对过过质质心心的的自自转转轴轴的的转转动动惯惯量量为为I I0 0，自自转转角角速速度度为为 s s，求求绳绳和和铅铅直直线所成的小夹角线所成的小夹角。l lT T O OL LMgMg现在学习的是第81页，共82页因而质心作半径近似为l的圆周运动，体系必受到一指向铅垂轴的力，该力只能由绳子的张力分量提供。【解】轮子在自身重力作用下，作匀速进动，进动角速度为得到现在学习的是第82页，共82页