芝诺断言阿基里斯与龟赛跑.pptx

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1、问题提出：我们先来看一篇阅读材料一位古希腊学者芝诺（Zenon，公元前496前429）曾提出一个著名的“追龟”诡辩题。大家知道，乌龟素以动作迟缓著称，阿基里斯则是古希腊传说中的英雄和擅长跑步的神仙。芝诺断言：阿基里斯与龟赛跑，将永远追不上乌龟！其理由是：如图所示，假定阿基里斯现在A处，乌龟现在T处。为了赶上乌龟，阿基里斯先跑到乌龟的出发点T，当他到达T点时，乌龟已前进到T1点；当他到达T1点时，乌龟又已前进到T2点，如此等等。当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地方，乌龟已又向前爬动了一段距离。因此，阿基里斯是永远追不上乌龟的！ATTT1T1T2第1页/共11页 让我们再看一看乌龟所走过的路程:设阿

2、基里斯的速度是乌龟的十倍，龟在前面100米。当阿基里斯跑了100米时，龟已前进了10米；当阿基里斯再追10米时，龟又前进了1米，阿再追1米，龟又进了0.1米 所以阿基里斯追上乌龟所必须跑过的路程为右端显然为一无穷递缩等比数列的和，根据以前学过的公式及极限定义有 所以，阿基里斯只要坚持不到112米的路程就可以追上乌龟！S=第2页/共11页牛刀小试之熟练公式篇：如何把0.化成分数形式？0.=0.3+0.03+0.003+=分析：第3页/共11页实战演练篇：解：正方形的面积组成一个无穷递缩等比数列，首项为a1=a2，由于相邻的两个正方形中小正方形与大正方形的边长比为 ,所以面积比即公比q=，因此所有

3、正方形的面积之和为S=BaDCA1（1）例1、在边长为a的正方形ABCD内依次作内接正方形AiBiCiDi（=1，2，3 ）如图1（1）使内接正方形的四个顶点恰为相邻前一个正方形边的中点，求所有正方形的面积之和；第4页/共11页变式：如果使内接正方形与相邻前一正方形的一边的夹角为 ，如图1（2）求所有正方形的面积之和。DCBAA1B1C1D11（2）分析：正方形的面积仍然组成一个无穷递缩等比数列，首项为a1=a2,先求相邻的两个正方形中小正方形与大正方形的边长比如图令A1D1=x,则a所以边长比为面积比即公比q为从而所有正方形的面积和为第5页/共11页经验积累：与实际问题结合的无穷递缩等比数列

4、的求和问题，关键是求出首项及公比，求公比时，要特别注意相邻两个图形之间的联系。解：设第n次被剪去的半圆面积为an（n=1，2，3 ）,则a1=a2=a3=它们组成一个无穷递缩等比数列,故所有这些被剪掉部分的面积和为则例2.如图所示，是一块半径为的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为 的半圆后得图形P1，然后依次剪去更小半圆（其半径为前一被剪掉半圆的半径一半）得图形 记被剪剩下的纸板Pn的面积为Sn，求 Sn。第6页/共11页探索创新篇 如 图，封 闭 图 形 P表 示 抛 物 线 弧 y=x2（）与x轴及直线x=2围成的图形,如何求封闭图形的面积?P第7页/共11页AiBi分析：把区间 0,2

5、n等分,分别过分点Ai(=1，2，3 n-1)作x轴的垂线,交抛物线于Bi,如图作n-1个矩形。我们可以先求：(1)求这n-1个矩形的面积和 ;再求 (2)求第8页/共11页小结：1、理解无穷递缩等比数列（公比|q|1)，尽管项数无限，但它的和是一个确定的数.2、与实际问题结合的无穷递缩等比数列的求和问题，关键是求出 首项及公比，求公比时，要特别注意相邻两个图形之间的联系。第9页/共11页 一艘太空飞船飞往地球，第一次观测时发现一个正三角形（边长为1个单位）的军事建筑物如图（1），第二次观测时如图（2）发现它每边中央1/3处还有一个正三角形，第三次观测时如图（3）还发现原先每一小边的中央1/3处又有一向外突出的正三角形把第1、2、3n次观测到的军事建筑物的面积分别记为a1、a2、a3an，求an的表达式；如果我们把an的极限记作建筑物的实际面积，求这个面积。课外思考题：第10页/共11页感谢您的观看！第11页/共11页