概率论与数理统计3.2-离散型随机变量及其分布律课件.pptx

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1、2.2 离散型随机变量及其分布律二二、两点分布、两点分布三三、二项分布、二项分布四四、泊松分布、泊松分布五五、几何分布、几何分布一一、离散型随机变量的分布律定义 如果一个随机变量仅可能取得有限个或可列个数值，并且所有的数可按一定的顺序排列，则称该随机变量为离散型随机变量.设离散型随机变量X其可能的取值为称为离散型随机变量X的概率分布或概率函数，也称为分布列或分布律一、离散型随机变量的分布律表格形式分布列的性质：用这两条性质用这两条性质判断一个函数判断一个函数是否是分布律是否是分布律概率直方图另外还可用图形来表示分布律：线条图、概率直方图.0.20.40.60120.0750.3250.6线条图

2、0.20.40.6012PXPX0.075 0.325 0.6 0 1 2 X例袋中有1个白球和4个黑球，每次不放回地从中任取一个球，直至取得白球为止，求取球次数的概率分布.解设X为取到白球时的取球次数因此,所求的概率分布为1 2 3 4 50.2 0.2 0.2 0.2 0.2解解:依据分布律的性质依据分布律的性质P(X=k)0,c0,从中解得从中解得即即例例设随机变量设随机变量X的分布律为：的分布律为：k=0,1,2,试确定常数试确定常数c.定义若一个随机变量只有两个可能的取值,其分布为且特别地,点分布,即参数为的两则称服从处的两点分布.参数为若服从处则称服从参数为的分布.二、两点分布 两

3、点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.说明例200 件产品中,有196件是正品,则服从参数为 0.98 的两点分布.于是,4件是次品,今从中随机地抽取一件,若规定复习：伯努利模型如果一个试验在给定的条件下独立重复n次,且满足:(1)每次试验只有两个可能的结果:且则称这样的试验为n重伯努利(Bernoulli)试验(2)每次试验中事件 发生的概率相等,定理(伯努利定理)设在一次试验中，事件发生的概率为则在重贝努利试验中，事件A恰好发生k次的概率为三、二项分布定义 若随机变量X的所有可能取值为0,1,2,

4、n,其概率分布为 性质(1)(2)特别地，当n=1时即 PX=0=1-p,PX=1=p(0-1)分布二项分布的图形二项分布的图形 二项分布中最可能出现二项分布中最可能出现次数次数则称则称 为最可能出现的为最可能出现的次数次数例例 一张考卷上有一张考卷上有5 5道选择题，每道题列出道选择题，每道题列出4 4个个可能可能答案，其中只有一个答案是答案，其中只有一个答案是正确正确某某学学生生靠猜测至少能答对靠猜测至少能答对4 4道题的概率是多少？道题的概率是多少？解 则解解：将每次射击看成一次试验：将每次射击看成一次试验,设击中的次数设击中的次数为为X,则则XB(400,0.02),某人进行射击，设每

5、次射击的命中率为0.02，独立射击400次，求至少击中两次的概率。所求概率为泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X服从泊松分布.电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数地震火山爆发特大洪水 在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.随机变量X所有可能取值为0,1,2,取各个值的概率称X服从参数为的泊松分布,记为XP().(1)P X=k

6、0.四、泊松(Poisson)分布性质例一输电网一年中意外输电中断的次数服从参数为6的Poisson分布，问一年中不多于两次意外断电的概率.解设一年中的意外断电次数为X所以,一年中不多于两次断电的概率为=0.06197查表(累积概率)二项分布的泊松逼近对二项分布当试验次数很大时，计算其概率很麻烦.例如，要计算n=5000泊松定理在重伯努利实验中，事件在每次试验中发生的概率为若当时，为常数),则有证明证明:例 一家商店采用科学管理,由该商店过去的销售记录知道,某种商品每月的销售数可以用参数 的泊松分布来描述,为了以 95%以上的把握保证不脱销,问商店在月底至少应进该种商品多少件?解 设该商品每月

7、的销售数为已知服从参数的泊松分布.设商店在月底应进该种商品件,求满足的最小的即查泊松分布表,得于是得件.例例 设一只昆虫所生虫卵数为随机变量 X,已知X P()，且每个虫卵发育成幼虫的概率为 p。设各个虫卵是否能发育成幼虫是相互独立的，求一昆虫所生的虫卵发育成幼虫数 Y 的概率分布。解解一只昆虫X 个虫卵Y 个幼虫已知对对k用全概率公式得：用全概率公式得：保险公司为了估计企业的利润，需要保险公司为了估计企业的利润，需要计算投保人在一年内死亡若干人的概率。设某保险公司的计算投保人在一年内死亡若干人的概率。设某保险公司的某人寿保险险种有某人寿保险险种有1000人投保人投保,每个人一年内死亡的概率为

8、每个人一年内死亡的概率为0.005个，个，试求在未来一年中在这些投保人中死亡人数不超试求在未来一年中在这些投保人中死亡人数不超过过10人的概率人的概率对每个人而言，在未来一年是否死亡相当于做一次伯努利试验，1000人就是做1000重伯努利试验，因此 XB(1000,0.005)，解由泊松定理考虑考虑可列重可列重伯努利试验伯努利试验，事件，事件A发生称为发生称为“成功成功”，k-1k称随机变量称随机变量 X 服从服从参数为参数为 p 的几何分布的几何分布。且记且记 为为五、几何分布定理定理 几何分布的无记忆性几何分布的无记忆性 设设 随机变量随机变量X 服从参数为服从参数为 p 的几何分布，则对

9、任何正整的几何分布，则对任何正整数数 m、n，有，有 P(X m+n|X m)=P(X n)。证明证明 随机变量随机变量 X 服从参数为服从参数为 p 的几何分布：的几何分布：P(X=k)=pqk 1，k=1，2，（0 p 1，q=1 p）对任何正整数对任何正整数 m、n，有，有 反之，具有无记忆性的离散分布一定是几何分布反之，具有无记忆性的离散分布一定是几何分布P29充分性证明充分性证明交交例例在Bernoulli试验中,成功的概率为p,求第k次试验恰好成功第r次的概率解解:第k次试验恰好成功第r次,即前k-1次有r-1次成功由二项分布,概率为前k-1 次成功多少次与第k次是否成功相互独立故第k次试验恰好成功第r次的概率为