辗转相除法和更相减损术.pptx

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1、1、求两个正整数24和56的最大公约数24（1）2125628所以，24和56的最大公约数为82、算出8251和6105的最大公约数.26 14237还有其他方法吗？第1页/共14页步骤：第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=61051+2146结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的最大公约数就可以了。第二步 对6105和2146重复第一步的做法6105=21462+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。第三步按照前两步的思路重复执行下去，直到整

2、除为止，较小的数就是原来两个数的最大公约数。第2页/共14页完整的过程8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数 这种方法就叫做辗转相除法。第3页/共14页新课讲解：一、辗转相除法（欧几里得算法）1、定义：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。第4页/共14页例1：

3、用辗转相除法求225和135的最大公约数225=1351+90135=901+4590=452显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数 第5页/共14页练习：用辗转相除法求下列两数的最大公约数：（1）（225，135）（2）（98，196）（3）（72，168）（4）（153，119）(5)(228,1995)(6)(5280,12155)459824175755第6页/共14页二、更相减损术 可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。第二步

4、：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。（1）、九章算术中的更相减损术：1、背景介绍：（2）、现代数学中的更相减损术：第7页/共14页2、定义：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。第8页/共14页例例2:2:用更相减损术求用更相减损术求9898与与6363的最大公约数的最大公约数.解：由于解：由于6363不是偶数，把不是偶数，把

5、9898和和6363以大数减小数，以大数减小数，并辗转相减并辗转相减 989863633535636335352828353528287 728287 7212121217 7141414147 77 7所以，所以，9898和和6363的最大公约数等于的最大公约数等于7 7 3、方法：第9页/共14页练习：用更相减损术求下列两数的最大公约数：（1）（225，135）（2）（98，196）（3）（72，168）（4）（153，119）(5)(228,1995)(6)(5280,12155)459824175755第10页/共14页练习：练习：求324、243、135这三个数的最大公约数。思路分析

6、：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。27第11页/共14页比较辗转相除法与更相减损术的区别比较辗转相除法与更相减损术的区别（1 1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2 2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为是以相除余数为0 0则得到，而更相减损术则以减数与则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。差相等而得到。小结小结第12页/共14页作业：课堂作业：算法案例作业一第13页/共14页感谢您的观看！第14页/共14页