郑振龙金融工程FE12.pptx

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1、目录二叉树期权定价模型蒙特卡罗模拟有限差分方法1第1页/共57页目录二叉树期权定价模型蒙特卡罗模拟有限差分方法2第2页/共57页单步二叉树模型3第3页/共57页证券价格的树形结构4第4页/共57页参数的确定在风险中性世界里：所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。参数p、u、d须满足5第5页/共57页参数的确定(cont.)由以上条件可得：期权价格为6第6页/共57页二叉树图的节点由于设定的是涨跌倍数，所以节点会自然重合，又因为，二叉树图中心线上的标的资产价格与中心值相等。在时刻，证券价格有i+1种可能，一般表达式为其中j=0,1,.i如果假设p=0.

2、5，虽然节点仍会重合，但二叉树图中心线上的标的资产价格不再和中心值相等。其优点是概率始终不变。7第7页/共57页倒推定价法倒推定价法：从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。欧式期权：将T时刻期权价值的预期值在t时间长度内以无风险利率r贴现求出每一节点上的期权价值。美式期权：在树型结构的每一个节点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有t时间到下一个时刻再执行期权的价值，选择较大者作为本节点的期权价值。8第8页/共57页案例 12.1：美式看跌期权的二叉树定价假设标的资产为不付红利股票，其当前市场价为50元,波动率为每年40%，无风险连续复利年利率为10%，该股票5个月期的美式看跌期

3、权协议价格为50元，求该期权的价值。9第9页/共57页案例 12.1：美式看跌期权的二叉树定价(cont.)为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每段一个月（等于0.0833年）。可以算出10第10页/共57页案例 12.1：美式看跌期权的二叉树定价(cont.)11第11页/共57页二叉树定价的一般过程：以美式看跌期权为例把期权有效期划分为N个长度为t的小区间，和分别为节点(i,j)处的标的资产价格与期权价值：其中j=0,1,2,.N当时间区间划分趋于无穷大，可以求出美式看跌期权的准确价值。一般将时间区间分成30步就可得到较为理想的结果。12第12页/共57页有红利资产期权的定价：支付连

4、续红利率q在风险中性条件下，标的资产价格的增长率应该为，因此式（12.1）变为：相应有式（12.5）和（12.6）仍然成立：13第13页/共57页有红利资产期权的定价：支付已知红利率可通过调整在各个节点上的证券价格，算出期权价格；如果时刻it在除权日之前，则节点处证券价格仍为：如果时刻it在除权日之后，则节点处证券价格相应调整为：14第14页/共57页有红利资产期权的定价：支付已知红利率(cont.)若在期权有效期内有多个已知红利率，则it时刻节点的相应的证券价格为：（为0时刻到it时刻之间所有除权日的总红利支付率）15第15页/共57页有红利资产期权的定价：支付已知红利数额16第16页/共5

5、7页有红利资产期权的定价：支付已知红利数额(cont.)在已知红利额的情况下,为了使得二叉树的节点重合减少计算量,我们可以将证券价格分为两个部分：一部分是不确定的；另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值。17第17页/共57页有红利资产期权的定价：支付已知红利数额(cont.)假设在期权有效期内只有一次红利，除息日在kt到(k+1)t之间，则在it时刻不确定部分的价值为：当时当时其中，D表示红利。18第18页/共57页有红利资产期权的定价：支付已知红利数额(cont.)因此，我们需要先构造不含红利的价格树图，之后再加上未来红利的现值。在时刻：当时，这个树上每个节点对应的证券价格为：当时，这个

6、树上每个节点对应的证券价格为：其中,为零时刻的值。相应地使用的是的波动率。19第19页/共57页构造树图的其他方法和思路p=0.5的二叉树图三叉树图控制方差技术适应性网状模型20第20页/共57页p=0.5 的二叉树图在确定参数u，p，d时不再假设，而令p=0.5，可得：该方法优点在于无论t和如何变化，概率总是不变的。21第21页/共57页三叉树图每一个时间间隔t内证券价格有三种运动的可能：从开始的S上升到原先的u倍，即到达Su；保持不变，仍为S；下降到原先的d倍，即Sd。22第22页/共57页三叉树图(cont.)23第23页/共57页三叉树图(cont.)相关参数：24第24页/共57页控

7、制方差技术基本原理：期权A和期权B的性质相似，我们可以得到期权B的解析定价公式，而只能得到期权A的数值方法解，这时就可以利用期权B解析法与数值法定价的误差来纠正期权A的数值法的定价误差。用代表期权B的真实价值（解析解），表示关于期权A的较优估计值，和表示用同一个二叉树、相同的蒙特卡罗模拟或是同样的有限差分过程得到的估计值。25第25页/共57页控制方差技术(cont.)假设则期权A的更优估计值为26第26页/共57页适应性网状模型在使用三叉树图为美式期权定价时，在接近到期的执行价格附近，用高密度的树图来取代原先低密度的树图。在树图中那些提前执行可能性较大的部分，将一个时间步长t进一步细分，如分

8、为，每个小步长仍然采用相同的三叉树定价过程。27第27页/共57页目录二叉树期权定价模型蒙特卡罗模拟有限差分方法28第28页/共57页蒙特卡罗模拟29第29页/共57页随机路径在风险中性世界中，为了模拟路径我们把期权的有效期分为N个长度为t的时间段，则上式的近似方程为：或30第30页/共57页随机路径(cont.)其中S(t)代表t时刻S的价值,是从标准正态分布中抽取的一个随机样本。通过N个正态分布的随机抽样就可以组建一条资产价格的蒙特卡罗模拟样本路径，并得到相应的回报值。重复以上的模拟至足够大的次数，计算回报值的平均值，贴现后就得到了期权的期望值和估计的标准差。31第31页/共57页随机路径

9、(cont.)用lnS比S准确。用蒙特卡罗模拟为欧式期权定价时，由于期权回报只与期权到期时刻的股票价格有关，可以让t+t=T并直接利用公式lnS的随机过程来求T时刻的股票价格。32第32页/共57页案例 12.2：蒙特卡罗模拟的路径模拟假设无红利的股票价格服从式（12.9），年预期收益率r=14%，收益波动率为=20%，时间步长为t=0.01年，则根据式（12.9）有假设股票价格的初始值为20，的第一个样本值为0.52，则第一个步长结束后，第二步开始时的股票价格上升为20.236，这次抽到的为1.44，因此33第33页/共57页案例 12.2：蒙特卡罗模拟的路径模拟（Cont.）下表给出了案例

10、12.2中模拟的路径：34第34页/共57页 的产生是服从标准正态分布的一个随机数。如果只有一个单变量，则可以通过下式获得：其中是相互独立的0到1均匀分布的随机数在Excel中，NORM.S.INV(RAND()可以生成标准正态分布的随机样本35第35页/共57页模拟运算次数的确定如果对估计值要求95%的置信度，则期权价值应满足其中，M为进行运算的次数，为均值，为标准差。36第36页/共57页主要优点和主要缺点主要优点：应用简单，无需深刻理解定价模型适用情形广泛欧式衍生产品回报路径依赖回报取决于多个标的资产主要缺点：难以处理提前执行的情形为了达到一定的精确度，一般需要大量的模拟运算37第37页

11、/共57页目录二叉树期权定价模型蒙特卡罗模拟有限差分方法38第38页/共57页主要思想用离散算子逼近各项，将衍生证券所满足的偏微分方程转化为一系列近似的差分方程，用迭代法求解，得到期权价值。在坐标图上，有限差分方法体现为格（Grids）39第39页/共57页划分格点把从初始零时刻到到期日时刻之间的时间分为有限等间隔的小时间段，得到N+1个时点。把资产价格的变化从0到最大值也分成M个等间隔的小价格段，得到M+1个资产价格。如果划分合理，初始的资产价格会落在零时刻的一个格点上。这样就构造了一个共有(M+1)(N+1)个格点的图，时间、资产价格和期权价值都仅仅在相应的格点处离散计算。点(i,j)对应

12、it时刻和资产价格jS，f(i,j)则表示(i,j)处的期权价值。40第40页/共57页有限差分方法的格点图41第41页/共57页隐性差分法下 的差分近似的近似对于坐标方格内部的点(i,j)，期权价值对资产价格的一阶导数可以用三种差分来表示：42第42页/共57页隐性差分法下 的差分近似的近似对于(i,j)点处的，我们则采取前向差分近似以使时刻的值和时刻的值相关联：43第43页/共57页隐性差分法下 的差分近似的近似这个二阶差分也是中心差分，其误差为44第44页/共57页“隐性”差分方程把以上三个近似代入B-S-M偏微分方程，整理得到其中45第45页/共57页理解隐性有限差分方法可以看出,这说

13、明同一时刻相邻三个格点的期权价值加权值的终值等于下一个时刻中间格点的期权价值。隐性有限差分方法可以理解为从格点图内部向外推知外部格点的期权价值。如图所示：46第46页/共57页边界条件T时刻看跌期权的价值为其中当股票价格为零时，下方边界S=0上所有格点的期权价值：当股票价格趋于无穷时47第47页/共57页求解期权价值联立M1个方程和解出每个的期权价值。最后可以计算出，当等于初始资产价格时，该格点对应的f就是我们要求的期权价值。48第48页/共57页显性有限差分法方法1假设(i,j)点的与(i+1,j)的对应值相等，即49第49页/共57页显性有限差分法 方法1相应的差分方程修改为其中50第50

14、页/共57页理解显性有限差分法可以看出，这说明某一时刻某格点的期权价值等于下一时刻相邻三个格点的期权价值风险中性期望值的现值。显性有限差分法可以理解为从格点图外部推知内部格点期权价值的方法。51第51页/共57页显性有限差分法方法252第52页/共57页有限差分方法和树图方法的比较相同之处：都用离散的模型模拟资产价格的连续运动。不同之处树图方法中包含了资产价格的扩散和波动率情形；有限差分方法中的格点则是固定均匀的，只是参数进行了相应的变化，以反映改变了的扩散情形。有限差分方法比树图方法灵活显性有限差分方法与三叉树图相当类似，但显性差分方法中的隐含概率可能小于零，这也是这一方法的主要缺陷。53第

15、53页/共57页隐性和显性有限差分方法的比较显性方法计算比较直接方便，无需像隐性方法那样需要求解大量的联立方程，工作量小，易于应用。但显性方法的三个“概率”可能小于零，导致了这种方法的不稳定，它的解有可能不收敛于偏微分方程的解。而隐性方法则不存在这个问题，它始终是有效的。“跳格子方法”是显性和隐性有限差分方法的结合。54第54页/共57页有限差分方法的应用变量置换：在使用有限差分方法时，人们常常把标的变量S置换为。这样偏微分方程改为有限差分方法还可以进一步推广到多个标的变量的情形，但超过三个变量时蒙特卡罗模拟方法较为有效。有限差分方法也不善于处理期权价值取决于标的变量历史路径的情况。55第55页/共57页56第56页/共57页57感谢您的观看！第57页/共57页