运筹学ch非线性规划.pptx
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1、1第七章 非线性规划第七章 非线性规划第一节 引言 定义:具有以下特征的问题称为非线性规划问题:难点:第1页/共78页2第一节 引言第七章 非线性规划第一节 引言例7-2 一、引例 第2页/共78页3第七章 非线性规划第一节 引言二、非线性规划的数学模型 第3页/共78页4第七章 非线性规划第一节 引言二、非线性规划的图示二、非线性规划的数学模型 第4页/共78页5第七章 非线性规划第一节 引言立体图解 二、非线性规划的图示 分析:(1)立体图解(图7-1)第5页/共78页6第七章 非线性规划第一节 引言平面投影图解 BAO3x23x1x23D椭圆抛物面最优点图7-1 例7-3立体图解第6页/
2、共78页7第七章 非线性规划第一节 引言讨论(2)平面投影图解(图7-2)O33x1x2BAD图7-2 例7-3平面投影图解C22(1)求可行域:(2)求目标函数等值线:(3)利用目标函数等值线求最优点 该问题可行域的平面投影为第一象限内满足约束条件的一段直线。(注意:直线,而不是封闭区域)该问题目标函数等值线平面投影为圆(4)最优点、最优解、最优值第7页/共78页8第七章 非线性规划第一节 引言第二节 基本概念讨论:O33x1x2BAD图7-2 例7-3平面投影图解C22考虑约束条件改为:最优点可位于可行域内部,即非线性规划的可能在可行域的任意一点得到,这与线性规划不同。非线性规划最优点的特
3、点:最优解有何变化?第8页/共78页9第七章 非线性规划第二节 基本概念 一局部极值与全局极值 第二节 基本概念 极值问题(回顾)极值存在的条件凸函数凸函数性质及定理主要内容:第9页/共78页10第七章 非线性规划第二节 基本概念 1.局部极小点及局部极小值,严格局部极小点及严格局部极小值 一局部极值与全局极值 线性规划的最优解是整个可行域的全局最优解,这是由于:线性规划的目标函数为线性函数,且可行域为凸集。线性规划的最优解与全局最优解的关系:非线性规划的极值点与全局最优点的关系:非线性规划的极值点(局部极值点):不一定是 整个可行域的最优极值点(图7-3)。图7-3 局部极小点与全局极小点O
4、bxax*x1全局极小点局部极小点第10页/共78页11第七章 非线性规划第二节 基本概念(图7-4)1.局部极小点及局部极小值,严格局部极小点及严格局部极小值 定义:解释:第11页/共78页12第七章 非线性规划第二节 基本概念 2.全局极小点及全局全局极小值,严格全局极小点及严格全局全局极小值 图7-4 局部极小点与严格局部极小点Oxx*局部极小点Oxx*严格局部极小点第12页/共78页13第七章 非线性规划第二节 基本概念 二极值存在的条件 2.全局极小点及全局极小值,严格全局极小点及严格全局极小值 定义:第13页/共78页14第七章 非线性规划第二节 基本概念 极值存在的条件第二节 基
5、本概念 极值问题(回顾)极值存在的条件凸函数凸函数性质及定理主要内容:第14页/共78页15第七章 非线性规划第二节 基本概念 2.驻点 二极值存在的条件 1.极值存在的必要条件 定理1:第15页/共78页16第七章 非线性规划第二节 基本概念 3.极值存在的充分条件 2.驻点 满足式(7-1)的点称为驻点,极值点必为驻点,但驻点不一定是极值点。第16页/共78页17第七章 非线性规划第二节 基本概念 注:充分条件非必要条件 3.极值存在的充分条件 定理2:第17页/共78页18第七章 非线性规划第二节 基本概念 补充知识:二次型及正定二次型 注1:注2:第18页/共78页19第七章 非线性规
6、划第二节 基本概念(2)二次型展开式及其矩阵表示 补充知识:二次型及正定二次型(1)二次型的定义:第19页/共78页20第七章 非线性规划第二节 基本概念(3)正定二次型及正定矩阵(2)二次型展开式及其矩阵表示 第20页/共78页21第七章 非线性规划第二节 基本概念(5)负定二次型及负定矩阵(3)正定二次型及正定矩阵(4)半正定二次型及半正定矩阵 第21页/共78页22第七章 非线性规划第二节 基本概念(7)不定二次型及不定矩阵(5)负定二次型及负定矩阵(6)半负定二次型及半负定矩阵 第22页/共78页23第七章 非线性规划第二节 基本概念(8)二次型为正定的充要条件(或正定矩阵的充要条件)
7、(7)不定二次型及不定矩阵 第23页/共78页24第七章 非线性规划第二节 基本概念(11)矩阵的阶顺序主子式(8)二次型为正定的充要条件(或正定矩阵的充要条件)(9)二次型为负定的充要条件(或负定矩阵的充要条件)(10)矩阵的k阶主子式第24页/共78页25第七章 非线性规划第二节 基本概念 例7-3(必要条件非充分条件举例)(11)矩阵的k阶顺序主子式 第25页/共78页26第七章 非线性规划第二节 基本概念 鞍点(图7-5)第26页/共78页27第七章 非线性规划第二节 基本概念 例7-4求极小点及极小值 鞍点:图7-5 驻点、极值点、鞍点第27页/共78页28第七章 非线性规划第二节
8、基本概念 三凸函数 1阶顺序主子式:2阶顺序主子式:因此,为正定矩阵 根据定理2(极值存在的充分条件),所给函数的极小点为 极小值为 第28页/共78页29第七章 非线性规划第二节 基本概念 凸函数第二节 基本概念 极值问题(回顾)极值存在的条件凸函数凸函数性质及定理主要内容:第29页/共78页30第七章 非线性规划第二节 基本概念 三、凸函数1.凸函数的定义 三凸函数 主要内容:凸集(见线性规划)凸函数凸函数的性质函数凸性的判定凸函数的极值上述内容为研究非线性规划不可缺少的内容。第30页/共78页31第七章 非线性规划第二节 基本概念 三、凸函数 推导g(x3)1.凸函数的定义(1)一元凸函
9、数(i)一元凸函数的几何特性(参考图7-6)图7-6 一元凸函数Oxx3x1x2第31页/共78页32第七章 非线性规划第二节 基本概念 三、凸函数 凸函数定义 图7-6 一元凸函数Oxx3x1x2第32页/共78页33第七章 非线性规划第二节 基本概念 三、凸函数(ii)一元凸函数的定义 图7-6 一元凸函数Oxx3x1x2因此,对于凸函数,应有:而:因此,凸函数应满足的条件为:如果则函数f(x)称为凹函数。第33页/共78页34第七章 非线性规划第二节 基本概念 三、凸函数(2)多元凸函数(ii)一元凸函数的定义 第34页/共78页35第七章 非线性规划第二节 基本概念 三、凸函数 2.凸
10、函数的性质(2)多元凸函数第35页/共78页36第七章 非线性规划第二节 基本概念 三、凸函数2.凸函数的性质三凸函数 主要内容:凸集(见线性规划)凸函数凸函数的性质函数凸性的判定凸函数的极值上述内容为研究非线性规划不可缺少的内容。第36页/共78页37第七章 非线性规划第二节 基本概念 三、凸函数 3.函数凸性的判断2.凸函数的性质性质1:性质2:第37页/共78页38第七章 非线性规划第二节 基本概念 三、凸函数3.函数凸性的判断三凸函数 主要内容:凸集(见线性规划)凸函数凸函数的性质函数凸性的判定凸函数的极值上述内容为研究非线性规划不可缺少的内容。第38页/共78页39第七章 非线性规划
11、第二节 基本概念 三、凸函数 定理43.函数凸性的判断直接方法:定理3:利用凸函数定义判断,难度较大。第39页/共78页40第七章 非线性规划第二节 基本概念 三、凸函数 例7-5 函数凸性的判断定理4:证略。第40页/共78页41第七章 非线性规划第二节 基本概念 三、凸函数 例7-5 函数凸性的判断第41页/共78页42第七章 非线性规划第二节 基本概念 三、凸函数4.凸函数的极值三凸函数 主要内容:凸集(见线性规划)凸函数凸函数的性质函数凸性的判定凸函数的极值上述内容为研究非线性规划不可缺少的内容。第42页/共78页43第七章 非线性规划第二节 基本概念 三、凸函数 定理44.凸函数的极
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