重积分直角坐标系下三重积分计算.pptx

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1、1其中dv叫做体积元素。在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分，那末除了包含的边界点的一些不规则小闭区域外，得到的小闭区域vi为长方体。设长方体小闭区域vi的边长为xj,yk,zl，则vi=xj yk zl。在直角坐标系下的体积元素：dv=dxdydz第1页/共45页22 直角坐标系下的三重积分的计算法基本方法：化三重积分为三次单积分 dv=dxdydz(1)、为母线平行于z 轴的柱体时 假设平行于z轴且穿过闭区域内部的直线与闭区域的边界曲面S相交不多于两点。一、投影法第2页/共45页3 先将x，y看作定值，将f(x,y,z)只看作z的函数，在区间z1(x,y),z2(x,y)上对z积

2、分。然后计算F(x,y)在闭区域D上的二重积分 积分的结果是x,y的函数，记为F(x,y)，即第3页/共45页4 若在xoy平面上的投影区域记为Dxy，则有投影区域Dxy用不等式表示:1(x)y 2(x)，a x b 则将二重积分化为二次积分，于是得到三重积分的计算公式：第4页/共45页5 公式(2)把三重积分化为先对z、次对y、最后对x的三次积分。上式的数学方法概括为：“先单后重法”，或“投影法”第5页/共45页6xyo1解xyzC(0,0,1)oA(1,0,0)x+2y=1Dxy第6页/共45页7(2)、为母线平行y轴或 x 轴的柱体时第7页/共45页8zxoRxyzoHR第8页/共45页

3、9zxoRxyzoHR第9页/共45页10 xyzozyo1第10页/共45页11二、奇偶函数在对称区域上的积分性质第11页/共45页12第12页/共45页13第13页/共45页14xyzC(0,0,1)oA(1,0,0)轮换对称性第14页/共45页15xyzC(0,0,1)oA(1,0,0)xyo1x+y=1Dxy第15页/共45页16Hyxzo第16页/共45页17yxzo第17页/共45页18 三、切片法又叫“先重后单法”设区域 夹在平面z=c1，z=c2(c1 c2)之间zyxo 用竖坐标为z(c1 z c2)的平面截所得截面为Dz或D(z)，即第18页/共45页19zyxo特别当f(

4、x,y,z)只是 z 的函数：f(x,y,z)=(z),f(x,y,z)在Dz上对x、y的二重积分简单，Dz简单（圆、椭圆、长方形等）上式的适用范围：第19页/共45页20解D0Dzzxyzaboc第20页/共45页21D0DzzxyzabocDz是椭圆域，较简单 f(x,y,z)=z2只是 z 的函数用“切片法”较方便第21页/共45页22D0Dyzxyabocy第22页/共45页23xyzo1用“先单后重法”第23页/共45页24用先重后单法。xyzo1第24页/共45页25解y4sinx关于x是奇函数xyzo关于yoz平面对称，第25页/共45页26用先重后单法。xyzo第26页/共45

5、页27用“先单后重”法xyxyzo第27页/共45页28 柱面坐标系下的三重积分的计算法 设M(x,y,z z)为空间内一点一、柱面坐标 并设点M(x,y,z z)在xoy面上的投影P的极坐标为(r,r,0),0)。这样的三个数r r,z z 就叫做点M的柱面柱面坐标坐标。xyzorzxyM(x,y,z)第28页/共45页290 0 r r+，0 0 2 2，z z +xyzorzxyM(x,y,z)三组坐标面分别为r 常数，即以z 轴为轴的圆柱面；常数，即过z 轴的半平面；z常数，即与xoy面平行的平面；规定r、z的变化范围为：第29页/共45页30点M的直角坐标与柱面坐标的关系为：xyzorzxyM(x,y,z)柱面坐标系中的体积元素drdzxyzodrd r第30页/共45页31二、柱面坐标中三重积分的形式第31页/共45页32yxzo1a第32页/共45页33o1xy第33页/共45页34第34页/共45页35柱面坐标变换第35页/共45页36截面法第36页/共45页37解法三投影法再用极坐标变换第37页/共45页38第38页/共45页39何时选用柱面坐标计算三重积分？第39页/共45页40第40页/共45页41第41页/共45页42第42页/共45页43第43页/共45页44第44页/共45页45感谢您的观看！第45页/共45页