高考数学大一轮复习高考专题突破四高考中的立体几何问题教师用书理苏教.doc

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1、1 / 19【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习高考专题突破四高考精选高考数学大一轮复习高考专题突破四高考中的立体几何问题教师用书理苏教中的立体几何问题教师用书理苏教1.正三棱柱 ABCA1B1C1 中，D 为 BC 中点，E 为 A1C1 中点，则 DE 与平面 A1B1BA 的位置关系为_.答案 平行解析 如图取 B1C1 的中点为 F，连结 EF，DF，DE，则 EFA1B1，DFB1B，平面 EFD平面 A1B1BA，DE平面 A1B1BA.2.设 x、y、z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：x、y、z 均为直线；x、y 是直线，z 是平面；z 是直线，x、y

2、是平面；x、y、z 均为平面.其中使“xz 且 yzxy”为真命题的是_.答案 解析 由正方体模型可知为假命题；由线面垂直的性质定理可知为真命题.3.(2016无锡模拟)如图，在棱长为 6 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别在 C1D1 与 C1B1 上，且 C1E4，C1F3，连结EF，FB，DE，BD，则几何体 EFC1DBC 的体积为_.答案 66解析 如图，连结 DF，DC1，那么几何体 EFC1DBC 被分割成三棱锥DEFC1 及四棱锥 DCBFC1，那么几何体 EFC1DBC 的体积为V346(36)66125466.2 / 19故所求几何体 EFC1DBC 的体

3、积为 66.4.(2016镇江模拟)设 ， 是三个平面，a，b 是两条不同直线，有下列三个条件：a，b；a，b；b，a.如果命题“a，b，且_，则 ab”为真命题，则可以在横线处填入的条件是_.(把所有正确的序号填上)答案 或解析 由线面平行的性质定理可知，正确；当 b，a 时，a和 b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确.故应填入的条件为或.5.如图，在三棱锥 PABC 中，D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点.若PAAC，PA6，BC8，DF5.则直线 PA 与平面 DEF 的位置关系是_；平面 BDE 与平面 ABC 的位置关系是_.(填“平行”或“垂直”)答案 平行

4、垂直解析 因为 D，E 分别为棱 PC，AC 的中点，所以 DEPA.又因为 PA平面 DEF，DE平面 DEF，所以直线 PA平面 DEF.因为 D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点，PA6，BC8，所以 DEPA，DEPA3，EFBC4.又因为 DF5，故 DF2DE2EF2，所以DEF90，即 DEEF.又 PAAC，DEPA，所以 DEAC.因为 ACEFE，AC平面 ABC，EF平面 ABC，3 / 19所以 DE平面 ABC，又 DE平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABC.题型一 求空间几何体的表面积与体积例 1 (2016全国甲卷)如图，菱形 ABCD 的对角线 A

5、C 与 BD 交于点O，点 E，F 分别在 AD，CD 上，AECF，EF 交 BD 于点 H，将DEF 沿EF 折到DEF 的位置.(1)证明：ACHD；(2)若 AB5，AC6，AE，OD2，求五棱锥 D-ABCFE 的体积.(1)证明 由已知得 ACBD，ADCD，又由 AECF 得，故ACEF，由此得 EFHD，折后 EF 与 HD 保持垂直关系，即EFHD，所以 ACHD.(2)解 由 EFAC 得.由 AB5，AC6 得 DOBO4，所以 OH1，DHDH3，于是 OD2OH2(2)2129DH2，故 ODOH.由(1)知 ACHD，又 ACBD，BDHDH，所以 AC平面 DHD

6、，于是 ACOD，又由 ODOH，ACOHO，所以 OD平面 ABC.又由得 EF.五边形 ABCFE 的面积 S683.所以五棱锥 D-ABCFE 的体积 V2.思维升华 (1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解.其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积.4 / 19(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.正三棱锥的高为 1，底面边长为 2，内有一个球与它的四个面都相切(如图).求：(1)这个正三棱锥的表面积

7、；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积.解 (1)底面正三角形中心到一边的距离为2，则正棱锥侧面的斜高为.S 侧329.S 表S 侧S 底9(2)296.(2)设正三棱锥 PABC 的内切球的球心为 O，连结 OP，OA，OB，OC，而 O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径 r.VPABCVOPABVOPBCVOPACVOABCS 侧rSABCrS 表r(32)r.又 VPABC(2)212，(32)r2，得 r2.S 内切球4(2)2(4016).V 内切球(2)3(922).题型二 空间点、线、面的位置关系例 2 (2016扬州模拟)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱垂直5

8、 / 19于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F 分别是 A1C1，BC 的中点.(1)求证：平面 ABE平面 B1BCC1；(2)求证：C1F平面 ABE；(3)求三棱锥 EABC 的体积.(1)证明 在三棱柱 ABCA1B1C1 中，BB1底面 ABC.因为 AB平面 ABC，所以 BB1AB.又因为 ABBC，BCBB1B，所以 AB平面 B1BCC1.又 AB平面 ABE，所以平面 ABE平面 B1BCC1.(2)证明 方法一 如图 1，取 AB 中点 G，连结 EG，FG.因为 E，F 分别是 A1C1，BC 的中点，所以 FGAC，且 FGAC.因为 ACA1C1，且 AC

9、A1C1，所以 FGEC1，且 FGEC1，所以四边形 FGEC1 为平行四边形，所以 C1FEG.又因为 EG平面 ABE，C1F平面 ABE，所以 C1F平面 ABE.方法二 如图 2，取 AC 的中点 H，连结 C1H，FH.因为 H，F 分别是 AC，BC 的中点，所以 HFAB，又因为 E，H 分别是 A1C1，AC 的中点，所以 EC1 綊 AH，6 / 19所以四边形 EAHC1 为平行四边形，所以 C1HAE，又 C1HHFH，AEABA，所以平面 ABE平面 C1HF，又 C1F平面 C1HF，所以 C1F平面 ABE.(3)解 因为 AA1AC2，BC1，ABBC，所以 A

10、B.所以三棱锥 EABC 的体积VSABCAA112.思维升华 (1)证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题.证明 C1F平面 ABE：()利用判定定理，关键是在平面 ABE 中找(作)出直线 EG，且满足 C1FEG.()利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一个平面 C1HF 满足面面平行，实施线面平行与面面平行的转化.(2)计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高，不能直接用公式时，注意进行体积的转化.(2016南京模拟)如图，在三棱锥 SABC 中，平面 SAB平面 SBC，ABBC，ASAB.过 A

11、作 AFSB，垂足为 F，点 E，G 分别是棱 SA，SC 的中点.求证：(1)平面 EFG平面 ABC；(2)BCSA.证明 (1)由 ASAB，AFSB 知 F 为 SB 中点，则 EFAB，FGBC，又 EFFGF，ABBCB，7 / 19因此平面 EFG平面 ABC.(2)由平面 SAB平面 SBC，平面 SAB平面 SBCSB，AF平面SAB，AFSB，所以 AF平面 SBC，则 AFBC.又 BCAB，AFABA，则 BC平面 SAB，又 SA平面 SAB，因此 BCSA.题型三 平面图形的翻折问题例 3 (2015陕西)如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BAD，ABB

12、C1，AD2，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与BE 的交点.将ABE 沿 BE 折起到A1BE 的位置，如图 2.(1)证明：CD平面 A1OC；(2)若平面 A1BE平面 BCDE，求平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角的余弦值.(1)证明 在题图 1 中，连结 EC，因为 ABBC1，AD2，BAD，ADBC，E 为 AD 中点，所以 BC 綊 ED，BC 綊 AE，所以四边形 BCDE 为平行四边形，故有 CDBE，所以四边形 ABCE 为正方形，所以 BEAC.即在题图 2 中，BEOA1，BEOC，且 A1OOCO，从而 BE平面 A1OC，又 CDBE，所以 CD平面 A1

13、OC.(2)解 由已知，平面 A1BE平面 BCDE，又由(1)知，BEOA1，BEOC，所以A1OC 为二面角 A1-BE-C 的平面角，8 / 19所以A1OC.如图，以 O 为原点，以 OB，OC，OA 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，因为 A1BA1EBCED1，BCED，所以 B，E，A1，C，得，(，0,0)，CD设平面 A1BC 的法向量 n1(x1，y1，z1)，平面 A1CD 的法向量n2(x2，y2，z2)，平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角为 ，则得取 n1(1,1,1)；Error!得取 n2(0,1,1)，从而 cos |cosn1，n2

14、|，即平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角的余弦值为.思维升华 平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.(2016苏州模拟)如图(1)，四边形 ABCD 为矩形，PD平面 ABCD，AB1，BCPC2，作如图(2)折叠，折痕 EFDC.其中点E，F 分别在线段 PD，PC 上，沿 EF 折叠后，点 P 叠在线段 AD 上的点记为 M，并且 MFCF.(1)证明：CF平面 MDF；(2)求三棱锥 MCDE 的体积.(1)证明 因为 PD平面 ABCD，AD平面 ABCD，所以

15、PDAD.9 / 19又因为 ABCD 是矩形，CDAD，PD 与 CD 交于点 D，所以 AD平面 PCD.又 CF平面 PCD，所以 ADCF，即 MDCF.又 MFCF，MDMFM，所以 CF平面 MDF.(2)解 因为 PDDC，PC2，CD1，PCD60，所以 PD，由(1)知 FDCF，在直角三角形 DCF 中，CFCD.如图，过点 F 作 FGCD 交 CD 于点 G，得 FGFCsin 60，所以 DEFG，故 MEPE，所以 MD.SCDEDEDC1.故 VMCDEMDSCDE.题型四 立体几何中的存在性问题例 4 (2016邯郸第一中学研究性考试)在直棱柱 ABCA1B1C

16、1 中，AA1ABAC1，E，F 分别是 CC1，BC 的中点，AEA1B1，D 为棱A1B1 上的点.(1)证明：DFAE.(2)是否存在一点 D，使得平面 DEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为？若存在，说明点 D 的位置；若不存在，说明理由.(1)证明 AEA1B1，A1B1AB，AEAB.又AA1AB，AA1AEA，AB平面 A1ACC1.又AC平面 A1ACC1，ABAC.10 / 19以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则有 A(0,0,0)，E(0,1，)，F(， ，0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1).设 D(x，y，z)，且 (0,1)，即

17、(x，y，z1)(1,0,0)，则 D(，0,1)，(， ，1).(0,1，)，0，DFAE.(2)解 结论：存在一点 D，使得平面 DEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为.理由如下：由题意知平面 ABC 的法向量为 m(0,0,1).设平面 DEF 的法向量为 n(x，y，z)，则Error!(， ，)，(， ，1)，即Error!令 z2(1)，则 n(3,12，2(1).平面 DEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为，|cosm，n|，即，解得 或 (舍去)，存在满足条件的点 D，此时 D 为 A1B1 的中点.思维升华 (1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，

18、然后在这假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设.(2)对于探索性问题用向量法比较容易入手.一般先假设存在，设出空11 / 19间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.(2016苏州模拟)如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，侧棱 A1A底面 ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E为棱 AA1 的中点.(1)证明：B1C1CE；(2)求二面角 B1CEC1 的正弦值；(3)设点 M 在线段 C1E 上，且直线 AM 与平面 ADD1

19、A1 所成角的正弦值为，求线段 AM 的长.(1)证明 如图，以点 A 为原点，分别以 AD，AA1，AB 所在直线为 x轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，依题意得 A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0).易得(1,0，1)，(1,1，1)，于是0，所以 B1C1CE.(2)解 (1，2，1).设平面 B1CE 的法向量 m(x，y，z)，则即Error!消去 x，得 y2z0，不妨令 z1，可得一个法向量为m(3，2,1).由(1)知，B1C1CE，又 CC1B1C1，CC1CEC，可得 B1C1平面CEC1，故(1

20、,0，1)为平面 CEC1 的一个法向量.于是 cosm， mB1C1|m|B1C1|，从而 sinm， ，所以二面角 B1CEC1 的正弦值为.12 / 19(3)解 (0,1,0)，(1,1,1)，设(，)，01，有(，1，).可取(0,0,2)为平面 ADD1A1 的一个法向量.设 为直线 AM 与平面 ADD1A1 所成的角，则sin |cos， |AMAB|AM|AB|，于是，解得 (负值舍去)，所以 AM.1.(2016连云港模拟)如图所示，已知平面 平面l，.A，B 是直线 l 上的两点，C，D 是平面 内的两点，且 ADl，CBl，DA4，AB6，CB8.P 是平面 上的一动点

21、，且有APDBPC，则四棱锥 PABCD 体积的最大值是_.答案 243解析 由题意知，PAD，PBC 是直角三角形，又APDBPC，所以PADPBC.因为 DA4，CB8，所以 PB2PA.作 PMAB 于点 M，由题意知，PM.令 AMt(00 知EHG 是锐角，由EHG30，得 tanEHGtan 30，即 k.故 k 的取值范围为 k.9.如图所示，平面 ABDE平面 ABC，ABC 是等腰直角三角形，ACBC4，四边形 ABDE 是直角梯形，BDAE，BDBA，BDAE2，O，M 分别为 CE，AB 的中点.(1)求证：OD平面 ABC；(2)求直线 CD 和平面 ODM 所成角的正

22、弦值；(3)能否在 EM 上找一点 N，使得 ON平面 ABDE？若能，请指出点 N的位置，并加以证明；若不能，请说明理由.(1)证明 如图，取 AC 中点 F，连结 OF，FB.F 是 AC 中点，O 为 CE 中点，OFEA 且 OFEA.又 BDAE 且 BDAE，OFDB 且 OFDB，四边形 BDOF 是平行四边形，ODFB.又FB平面 ABC，OD平面 ABC，OD平面 ABC.(2)解 平面 ABDE平面 ABC，平面 ABDE平面 ABCAB，DB平面 ABDE，且 BDBA，DB平面 ABC.BDAE，EA平面 ABC.又ABC 是等腰直角三角形，且 ACBC，ACB90，1

23、9 / 19以 C 为原点，分别以 CA，CB 所在直线为 x，y 轴，以过点 C 且与平面ABC 垂直的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.ACBC4，C(0,0,0)，A(4，0,0)，B(0,4,0)，D(0,4,2)，E(4,0,4)，O(2,0,2)，M(2,2,0)，(0,4,2)，(2,4,0)，(2,2,2).设平面 ODM 的法向量为 n(x，y，z)，则由 n，n，可得Error!令 x2，得 y1，z1，n(2,1,1).设直线 CD 和平面 ODM 所成角为 ，则 sin |2，1，1 0，4，2|221212 024222.直线 CD 和平面 ODM 所成角的正弦值为.(3)解 当 N 是 EM 中点时，ON平面 ABDE.由(2)设 N(a，b，c)，(a2，b2，c)，(4a，b,4c).点 N 在 ME 上，即(a2，b2，c)(4a，b,4c)，解得Error!N(， ，).(0,0,2)是平面 ABC 的一个法向量，2，解得 1.，即 N 是线段 EM 的中点，当 N 是 EM 的中点时，ON平面 ABDE.