高考数学一轮总复习第8章立体几何初步第2节空间几何体的表面积和体积高考AB卷理.doc

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1、1 / 9【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮总复习第精选高考数学一轮总复习第 8 8 章立体几何初章立体几何初步第步第 2 2 节空间几何体的表面积和体积高考节空间几何体的表面积和体积高考 ABAB 卷理卷理几何体的表面积 1.(2016全国，6)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是( )A.17B.18 C.20D.28解析 由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心 O 且互相垂直的三个平面)切掉左上角的后得到的组合体，其表面积是球面面积的和三个圆面积之和，易得球的半径为 2，则得S4223221

2、7，故选 A.答案 A2.(2015全国，9)已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB90，C 为该球面上的动点，若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36，则球O 的表面积为( )A.36B.64 C.144D.256解析 如图，要使三棱锥 OABC 即 COAB 的体积最大，当且仅当点 C 到平面 OAB 的距离，即三棱锥 COAB 底面 OAB 上的高最大，其最大值为球 O 的半径 R，则 VOABC 最大VCOAB 最大SOABRR2RR336，所以 R6，得 S 球O4R2462144，选 C.2 / 9答案 C3.(2014大纲全国，8)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高

3、为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为( )A.B.16 C.9D.27 4解析 设球的半径为 R，由题意可得(4R)2()2R2，解得R，所以该球的表面积为 4R2.故选 A.答案 A几何体的体积 4.(2016全国，10)在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1 内有一个体积为 V 的球，若 ABBC，AB6，BC8，AA13，则 V 的最大值是( )A.4B. C.6D.32 3解析 由题意知，底面三角形的内切圆直径为 4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为 3，V 的最大值为.答案 B5.(2015全国，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余

4、部分体积的比值为( )A.B. C.D.1 5解析 如图，由题意知，该几何体是正方体 ABCDA1B1C1D1 被过三点 A、B1、D1 的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥AA1B1D1，设正方体的棱长为 1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为3 / 9，选 D.VAA1B1D1 VA1B1C1D1ABCDVAA1B1D1答案 D6.(2014全国，6)如图，网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3 cm，高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.B. C.D.1 3解析 由

5、三视图知该零件是两个圆柱的组合体.一个圆柱的底面半径为 2 cm，高为 4 cm；另一个圆柱的底面半径为 3 cm，高为 2 cm.则零件的体积 V122432234(cm3).而毛坯的体积 V32654(cm3)，因此切削掉部分的体积V2VV1543420(cm3)，所以.故选 C.答案 C7.(2012全国，11)已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC2，则此棱锥的体积为( )A.B. C.D.22解析 如图，H 为ABC 的外接圆圆心，则BHC120，设ABC 的外接圆半径为 r，则 1BC2HC2HB22

6、HCHBcos 1203r2，r.连接 OH，根据球的截面性质知，OH平面 ABC，OH.4 / 9O 为 SC 的中点，S 到平面 ABC 的距离为 2OH，VSABCSABC.答案 A几何体的表面积 1.(2015陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.3B.4 C.24D.34解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为 1，高为 2，则表面积为：S212212222434.答案 D2.(2015安徽，7)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A.1B.2 C.12D.22解析 由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图，该四面体的表

7、面积为 S 表2212()22，故选 B.答案 B3.(2014浙江，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A.90 cm2B.129 cm2 C.132 cm2D.138 cm2解析 由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成(如图)，5 / 9其表面积为S35243433324324636138(cm2).答案 D4.(2014安徽，7)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A.21B.18 C.21D.18解析 根据题意作出直观图如图，该多面体是由正方体切去两个角而得到的，根据三视图可知其表面积为 6(2211)2()2621.

8、故选 A.答案 A几何体的体积 5.(2015山东，7)在梯形 ABCD 中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.B. C.D.2解析 如图，由题意，得 BC2，ADAB1.绕 AD 所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体.所求体积 V122121.答案 C6.(2015重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B.C.2 D.26 / 9解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V1221，选 A.答案 A7.(2015湖南，10)某工件的三视图如图所示，现将

9、该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率)( )A.B. C.D.12（ 21）3解析 易知原工件为一圆锥，V1r2h，设内接长方体长、宽、高为 a、b、c，欲令体积最大，则 ab.由截面图的相似关系知，c2，即 ca2，V 长方体abca2ca2(2a)，设 g(a)2a2a3，则 g(a)4a3a20，令 g(a)0，解得 a，所以令 a时，V 长方体最大为，.故选 A.答案 A8.(2014陕西，5)已知底面边长为 1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A.B.4 C.2

10、D.4 3解析 如图为正四棱柱 AC1.根据题意得 AC，对角面 ACC1A1为正方形，外接球直径 2RA1C2，R1，V 球，故选 D.答案 D9.(2014湖北，8)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江7 / 9县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 VL2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3.那么，近似公式 VL2h 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为( )A.B. C.D.355 113解析 圆锥的体积 Vr2hh，

11、由题意得 12， 近似取为，故选 B.答案 B10.(2016四川，13)已知三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是_.解析 由题可知，三棱锥每个面都是腰为 2 的等腰三角形，由正视图可得如右俯视图，且三棱锥高为 h1，则面积VSh1.答案 3311.(2016浙江，14)如图，在ABC 中，ABBC2，ABC120.若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点D，满足 PDDA，PBBA，则四面体 PBCD 的体积的最大值是_.解析 设 PDDAx，在ABC 中，ABBC2，ABC120，ACAB2BC22ABBCcosABC2，8 /

12、9CD2x，且ACB(180120)30，SBCDBCDCsinACB2(2x)(2x).要使四面体体积最大，当且仅当点 P 到平面 BCD 的距离最大，而P 到平面 BCD 的最大距离为 x.则 V 四面体 PBCD(2x)x(x)23，由于 0x2，故当 x时，V 四面体 PBCD 的最大值为3.答案 1 212.(2015江苏，9)现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为_.解析 设新的底面半径为 r，由题意得r24r28524228，解得 r.

13、答案 713.(2013江苏，8)如图，在三棱柱 A1B1C1ABC 中，D，E，F 分别是 AB，AC，AA1 的中点，设三棱锥 FADE 的体积为 V1，三棱柱A1B1C1ABC 的体积为 V2，则 V1V2_.解析 由题意可知点 F 到面 ABC 的距离与点 A1 到面 ABC 的距离之比为 12，SADESABC14.因此 V1V2124.答案 12414.(2012湖南，18)如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E 是 CD 的中点.(1)证明：CD平面 PAE；9 / 9(2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与

14、平面 ABCD 所成的角相等，求四棱锥 PABCD 的体积.解 如图所示，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设 PAh，则相关各点的坐标为：A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，3，0)，D(0，5，0)，E(2，4，0)，P(0，0，h).(1)证明 易知(4，2，0)，(2，4，0)，(0，0，h).因为8800，0，所以 CDAE，CDAP，而 AP，AE 是平面 PAE 内的两条相交直线，所以 CD平面 PAE.(2)由题设和(1)知， ，分别是平面 PAE，平面 ABCD 的法向量.而 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等，所以|cos， |cos， |，即.由(1)知，(4，2，0)，(0，0，h).又(4，0，h)，故，解得 h.又梯形 ABCD 的面积为 S(53)416，所以四棱锥 PABCD 的体积为VSPA16.