山东省威海市2022-2023学年高三期末数学试题含答案.pdf

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1、高三数学第 1页（共 4 页）高三数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合|43Uxx，|21Axx，则UA CA.(42)1 3),B.2 1),C.(42(1 3),D.(2 1,2.若3i()3iaaR是纯虚数，则a

2、A.1B.1C.9D.93.已知等比数列na的前三项和为84，2521aa，则na的公比为A.14B.12C.2D.44.随着经济的发展和人民生活水平的提高，我国的旅游业也得到了极大的发展.据国家统计局网站数据显示，近十年我国国内游客人数（单位：百万）折线图如图所示，则下列结论不正确的是A.近十年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数B.近十年，城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差C.2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加D.近十年，农村居民国内游客人数的75%分位数为1535山东省威海市2022-2023学年高三期末数学

3、试题高三数学第 2页（共 4 页）5.已知向量(7sin1 5),a2(1cos),b若,ab则cos2A.725B.725C.2425D.24256.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为4的扇形，则该圆锥的表面积为A.4B.8C.12D.207.若函数()lnf xx与()1(0)g xaxa的图象有且仅有一个交点，则关于x的不等式4(3)3xf xa的解集为A.(4),B.(4),C.(3 4),D.(3 5),8.已知双曲线22221(00)xyCabab,：的左焦点为1F，M为C上一点，M关于原点的对称点为N，若O160MF N，且11|2|F NFM，则C的渐近线方程为A.33

4、yx B.3yx C.66yx D.6yx 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。9.已知事件A B,满足()0.5P A，()0.2P B，则A.若BA，则()0.5P AB B.若A与B互斥，则()0.7P ABC.若A与B相互独立，则()0.9P AB D.若(|)0.2P B A，则A与B相互独立10.已知函数()cos()f xAx的部分图象如图所示，则A.()cos()3f xxB.()sin()6f xxC.()f x在8(2)3,上单调递增D.若()f x为偶函数，则()6kk

5、Z11.已知函数()f x及其导函数()fx的定义域均为R，记()()g xfx，若(2)f x 为偶函数，()g x为奇函数，则A.()(4)f xfxB.()(4)g xgx C.()(4)f xf x D.()(4)g xg x12.在棱长为1的正方体1111ABCDABC D中，点P满足1APABxAAyAD,0 1x,0 1y,则A.当1x 时，1D PBP的最小值为5B.当xy时，有且仅有一点P满足11DBAPC.当1xy时，有且仅有一点P满足到直线11AB的距离与到平面ABCD的距离相等D.当221xy时，直线AP与11C D所成角的大小为定值高三数学第 3页（共 4 页）三、填

6、空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若6()xm展开式中3x的系数为160，则实数m.14.在平面直角坐标系中，过(2 4)(2 6)(13)(24)ABCD,四点的圆的方程为.15.已知椭圆22221(0)xyabab的右焦点为F，以F为焦点的抛物线22(0)ypx p与椭圆的一个交点为M，若MF垂直于x轴，则该椭圆的离心率为.16.若不等式2lnlnxaexax对任意(0)x,成立，则实数a的取值范围为.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（10 分）在ABC中,角A B C,所对的边分别为a b c,且tan21tanBcAa

7、.（1）求B；（2）若33 7ab,求ABC的面积.18.（12 分）第五届中国国际进口博览会于2022年11月4日在上海开幕，本次进口博览会共有145个国家、地区和国际组织参展，企业商业展延续食品及农产品、汽车、技术装备、消费品、医疗器械及医药保健、服务贸易六大展区设置.进口博览会的举办向世界展示了中国扩大开放的决心与自信、气魄与担当.为调查上海地区大学生对进口博览会展区设置的了解情况，从上海各高校抽取400名学生进行问卷调查，得到部分数据如下表：男女总计了解80不了解160总计200400（1）完成上述22列联表，并判断是否有99.9%的把握认为上海地区大学生对进口博览会展区设置的了解情况

8、与性别有关；（2）据调查，上海某高校学生会宣传部6人中有3人了解进口博览会展区设置情况，现从这6人中随机抽取4人参加进口博览会志愿服务，设抽取的人中了解进口博览会展区设置情况的人数为X，求X的分布列与数学期望.参考公参考公式式：22()()()()()n adbcKab cd ac bd,nabcd.参考数据：参考数据：2()P Kk0.100.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828高三数学第 4页（共 4 页）19.（12 分）已知数列na的各项均为正数，记nS为na的前n项和，且22nnnSaa.（1）求数列na的通项公式；（2）记1(1)n

9、nnnca a，求数列 nc的前n项和nT.20.（12 分）在如图所示的圆柱中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆1O的直径，AD，BC是圆柱的母线，E为圆O上一点，P为DE上一点，且/OP平面BCE.（1）求证：DPPE；（2）若2ABBC，二面角DCEB的正弦值为155，求三棱锥CPBE的体积.21.（12 分）已知椭圆2214xCy：的左、右顶点分别为A，B，P为C上任意一点（异于A，B），直线AP，BP分别交直线103x于M，N两点.（1）求证：BMBN；（2）设直线BM交椭圆C于另一点Q，求证：直线PQ恒过定点.22.（12 分）已知函数()exf xax有两个零点.（1）求实数

10、a的取值范围；（2）设12xx,是()f x的两个零点，求证：12()0fx x.高三数学答案第 1页（共 6 页）高三数学参考答案一、单项选择一、单项选择题题：每小题每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分。题号12345678答案AABDBCCD二、多项选择题：每小题二、多项选择题：每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分。题号9101112答案BDACABDACD三、填空题：每小题三、填空题：每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分。题号13141516答案222(2)(1)25xy2112ea四、解答题：四、解答题：17.（10 分）分）解：（1）因为tan21tanBcA

11、a，由正弦定理得sincos2sin1cossinsinBACBAA，所以sincoscossin2sincossinsinBABACBAA，-1 分即sin()2sincosABCB，-2 分因为sin()sin()sinABCC，且sin0C，所以1cos2B，-4 分因为(0)B,，所以3B.-5 分（2）在ABC中，3a，3 7b，3B，由余弦定理得22229631cos262acbcBacc，-7 分所以23540cc，则96cc 或（舍），-8 分所以127 3sin24ABCSacB.-10 分18.（12 分）分）解：（1）-2 分则22400(80 16040 120)400

12、19.04810.828200200 12028021K，-4 分所以有99.9%的把握认为上海地区大学生对进口博览会展区设置的了解情况与性别有关.-5分男女总计了解8040120不了解120160280总计200200400高三数学答案第 2页（共 6 页）（2）X的取值范围是12 3,，-6 分3133461(1)5C CP XC，2233463(2)5C CP XC，1333461(3)5C CP XC，-9 分因此X的分布列为-10 分从而131()1232555E X .-12 分19.（12 分）分）解：（1）当1n 时，2111122Saaa，可得11a，-1 分当2n时，211

13、12nnnSaa，可得22112nnnnnaaaaa，2n，-3 分所以111()()()0nnnnnnaaaaaa，即11()(1)0nnnnaaaa，又na各项为正数，所以11nnaa，2n，所以na为等差数列，-5 分所以nan.-6 分（2）由（1）可知(1)(1)nncn n，-7 分当n为偶数时，(1)223(3)445(1)(1)nTnnnn 2(13)4(35)(1)1nnn (2)(2)22(24)222nnn nn；-9 分当(3)n n为奇数时，21(1)(1)(1)(1)(1)22nnnnnTTn nn n，-10 分经检验1n也满足上式.-11分综上所述，2(2)2(

14、1).2nn nnTnn,为偶数，,为奇数-12 分20.（12 分分）证明：（1）过点P作PFCDP交EC于点F，连接BF，因为OBCDP，所以OBPFP，所以O，B，F，P四点共面，-2 分因为OPP平面BCE，平面OBFP平面BCEBF，所以OPBFP，所以四边形OBFP为平行四边形，-3 分所以/PFOB，因为1/2OBCD，-4 分X123P153515高三数学答案第 3页（共 6 页）所以1/2PFCD，所以DPPE.-5 分法二：法二：连接1O P，1OO，因为1OOBCP，所以1OOP平面BCE，因为OPP平面BCE，所以平面1OPOP平面BCE，所以1O PP平面BCE，-3

15、 分因为平面CDE平面BCECE，所以1O PCEP，因为1O为CD的中点，所以DPPE.-5 分法三：法三：连接1O P，1OO，因为1OOBCP，所以1OOP平面BCE，因为OPP平面BCE，所以平面1OPOP平面BCE，-3 分又平面CDE平面BCECE，平面CDE平面11OO PO P，所以1O PCEP，因为1O为CD的中点，所以DPPE.-5 分（2）连接AE，因为AB是圆O的直径，所以AEBE，过点E作圆柱的母线EQ，则EQABE 面，所以AE BE EQ,互相垂直，以E为原点，EAEBEQ ，的方向分别为xyz，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，-6 分设AEa，BEb，

16、则224ab则(0 0 0)(02)(0 2)ECbD a,所以(02)(0 2)ECbEDa,uuu ruuu r-7 分设()x y z,m为平面ECD的法向量，2020axzbyz，令zab，解得22xbya ，所以(22)ba ab,m为平面ECD的一个法向量，-8 分因为BC 平面AEB，所以BCAE，又AEBE，所以AE 平面EBC，所以(1 0 0),n为平面EBC的一个法向量，因为二面角DCEB正弦值为155，所以2152cos1255,m n，-9 分即2222242445baba b，化简得222264baa b，又224ab，解得222ab，可得2AEBE，-10 分因为

17、P为ED的中点，所以2(0 1)2P,，所以2(0 1)2EP,，又因为平面EBC的一个法向量(1 0 0),n，所以点P到平面EBC的距离2|22|12EPd nn，-11 分Q高三数学答案第 4页（共 6 页）所以1121223223C PBEP ECBVV.-12 分法二：法二：连接1OO，在下底面过点O作直线OGAB交圆O于点G，所以OG，OB，1OO互相垂直，以O为原点，OG，OB，1OO 的方向分别为xyz，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设(0)E a b,，则221ab，-6 分则(010)(0 1 2)(01 2)ACD,，所以(12)CEa b,，(02 0)CD,

18、，设()x y z,m为平面ECD的法向量，(1)2020axbyzy，令za，解得20 xy，所以(2 0)a,m为平面ECD的一个法向量，-7 分因为BC 平面AEB，所以BCAE，因为AB是圆O的直径，所以AEBE，所以AE 平面ECD，所以(1 0)AEa b,uuu r为平面EBC的一个法向量，-8 分因为二面角DCEB正弦值为155，所以2152cos1255AE,uuu rm，即222242(4)(1)5aaab，-9 分化简得225(4)(1)aab，又221ab，解得0b，1a，所以(1 0 0)E ,，因为P为ED的中点，所以11(1)22P,，-10 分所以11(1)22

19、EP,，又因为平面EBC的一个法向量(1 1 0)AE ,，所以点P到平面EBC的距离|122|2EP AEdAE ，-11 分所以1121223223C PBEP ECBVV.-12 分21.（12 分）分）证明：（1）设00()P xy,，则220014xy，002APykx，-1 分直线AP的方程为：00(2)2yyxx，可得001610()33(2)yMx,，-2 分所以0000163(2)410223BMyxykx，高三数学答案第 5页（共 6 页）因为002BNBPykkx，-4 分所以22000022000044412244BMBNyyyykkxxxy，所以BMBN.-5 分（2

20、）当直线PQ存在斜率时，设PQ的方程为：ykxm，1122()()P xyQ xy,，由2214xyykxm,可得222(14)8440kxkmxm，-6 分由韦达定理可知12221228144414kmxxkmx xk,-7分因为BMBN，所以BPBQ，所以0BP BQ ，即1122(2)(2)0 xyxy,，可得1212122()40 xxxxy y，（）-8 分因为11ykxm，22ykxm，所以221212(1)(2)()40kxxkmxxm，可得22222448(1)(2)()401414mkmkkmmkk，整理得22121650kkmm，-9 分可得65mk 或2mk（舍），所以6

21、6()55ykxkk x，所以直线PQ恒过定点6(0)5,；-10 分当直线PQ不存在斜率时，设PQ的方程为：xn，1122()()P xyQ xy,，则2214ny，可得21214ny y，因为122xxn，212x xn，代入（）式可得2244104nnn，即2516120nn，解得65n 或2n（舍），所以直线PQ过点6(0)5,.综上所述，直线PQ恒过定点6(0)5,.-12 分22.（12 分）分）解：（1）()exfxa，-1 分当0a时，()0fx，所以()f x在R上单调递增，不满足题意；-2 分当0a 时，令()0fx，可得(ln)xa ,；令()0fx，可得(ln)xa,，

22、高三数学答案第 6页（共 6 页）所以()f x在(ln)a,上单调递减，在(ln)a ,上单调递增，-3 分又x 时，()f x ；x 时，()f x ，所以(ln)0fa，即lneln0aaa，所以ln0aaa，可得ln1a，所以ea.-4分（2）要证12()0fx x，即证12(ln)x xa ,，下证122lnxxa，即证122lnxax，不妨设12xx，由（1）可知12lnxax，所以22lnlnaxa，因为()f x在(ln)a,上单调递减，即证12()(2ln)f xfax，-5 分因为12()()f xf x，所以22()(2ln)f xfax，即证22()(2ln)0f xf

23、ax，令()()(2ln)h xf xfax，-6 分222ln()()(2ln)e2ee22e20eexa xxxxxaah xfxfaxaaa，-8 分所以()h x在R上单调递增，又因为2lnxa，所以2()(ln)0h xha，即22()(2ln)0f xfax.-9 分可得122lnxxa，-10 分因为(0)10f，所以120lnxax，所以12122xxx x，即12lnx xa，-11 分又因为()f x在(ln)a,上单调递减，所以12()0fx x.-12 分法二：法二：下证122lnxxa，即证122lnxax，不妨设12xx，由（1）可知12lnxax，所以22lnln

24、axa，因为()f x在(ln)a,上单调递减，即证12()(2ln)f xfax，-5 分因为1()0f x，即证2(2ln)0fax，-6 分2222ln222(2ln)e(2ln)2 lnea xxafaxaaxaaax，因为22exax，所以22exax，所以22222222e12 ln(2ln)exxaaaaxxxxx，因为2lnxa且ea 所以21x，令1()2ln(1)h xxxxx，-8 分22212(1)()10 xh xxxx ，-9 分所以()h x在(1),上单调递减，所以2()(1)0h xh，所以22222e1(2ln)0 xxxxx，所以2(2ln)0fax，可得122lnxxa.-10 分因为(0)10f，所以120lnxax，所以12122xxx x，即12lnx xa，-11 分又因为()f x在(ln)a,上单调递减，所以12()0fx x.-12 分