湖南省长沙市第一中学2023届高三下学期2月月考(六)数学试题（解析版）.pdf

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1、第 1页/共 25页长沙市一中长沙市一中 2023 届高三月考试卷（六）数学届高三月考试卷（六）数学时量：时量：120 分钟满分：分钟满分：150 分一、单项选择题（本题共分一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合32,ZMx xnn，2,1,0,1,2N ，则MN（）A.2,1B.1,2C.1,1D.2,0,2-【答案】A【解析】【分析】利用列举法及交集的定义即可求解.【详解】32,Z.,5,2,1,4,7,Mx xnn,所以2,1MN

2、 .故选：A.2.已知复数z满足1 i1 iz，i为虚数单位，则z（）A.iB.22i22C.11i22D.1 i【答案】B【解析】【分析】根据向量的除法和向量模的求法，变形的1 i22(1 i)=1 i1 i(1 i)(1 i)z，即可求解.【详解】221 i1122(1 i)2(1 i)22=i1 i1 i1 i(1 i)(1 i)222z，故选：B3.已知30A ,，3,0B，0,3C，一束光线从点1,0F 出发经 AC 反射后，再经 BC 上点 D 反射，落到点1,0E上则点 D 的坐标为（）A.1 5,2 2B.3 3,2 2C.1,2D.2,1【答案】C【解析】【分析】根据入射光线

3、与反射光线的性质可知GH方程，由GH与BC的交点可得 D，求坐标即可.第 2页/共 25页【详解】根据入射光线与反射光线关系可知，分别作出,F E关于,AC BC的对称点,G H,连接GH，交BC于D，则 D 点即为所求，如图，因为AC所在直线方程为3yx=+=+，(1,0)F，设()G x y,，则132211yxyx，解得3,2xy，即(3,2)G，由BC所在直线方程为3yx ，(1,0)E，同理可得(3,2)H，所以直线GH方程为2y，由32yxy 解得(1,2)D，故选：C4.若,24，且231coscos222，则tan（）A.3B.2C.3D.2 3【答案】C【解析】【分析】利用三

4、角函数的诱导公式及二倍角的正弦公式，结合三角函数的齐次式法即可求解.【详解】因为,24，所以tan1，由231coscos222，得21cossin22，即222cos2sincos1cossin2，所以212tan11tan2，即2tan4tan30，解得tan3 或tan1(舍).故选：C.5.据一组样本数据 1122,nnx yxyxy，求得经验回归方程为1.20.4yx，且3x 现发现这组样本数据中有两个样本点1.2,0.5和4.8,7.5误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l的斜率为第 3页/共 25页1.1，则（）A.去除两个误差较大的样本点后，y的估计值增加速度变快B.去除两个

5、误差较大的样本点后，重新求得的回归方程对应直线一定过点3,5C.去除两个误差较大的样本点后，重新求得的回归方程为1.10.7yxD.去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点2,2.7的残差为 0.1【答案】C【解析】【分析】根据直线l的斜率大小判断 A；求出y判断 B；再求出经验回归方程判断 C；计算残差判断 D 作答.【详解】对于 A，因为去除两个误差较大的样本点后，经验回归直线l的斜率变小，则y的估计值增加速度变慢，A 错误；对于 B，由1.20.4yx及3x 得：4y，因为去除的两个样本点1.2,0.5和4.8,7.5，并且1.24.80.57.53,422，因此去除两个样本点后，样本的

6、中心点仍为(3,4)，因此重新求得的回归方程对应直线一定过点(3,4)，B 错误；对于 C，设去除后重新求得的经验回归直线l的方程为1.1yxa，由选项 B 知，41.1 3a，解得0.7a，所以重新求得的回归方程为1.10.7yx，C 正确；对于 D，由选项 C 知，1.10.7yx，当2x 时，1.1 20.72.9y ，则2.72.90.2，因此去除两个误差较大的样本点后，相应于样本点2,2.7的残差为0.2，D 错误.故选：C6.在四面体PABC中，PAAB，PAAC，120BAC，2ABACAP，则该四面体的外接球的表面积为（）A.12B.16C.18D.20【答案】D【解析】【分析

7、】由线面垂直的判定定理可得PA 平面ABC，设底面ABC的外心为G，外接球的球心为O，D为PA的中点，可得四边形ODAG为平行四边形，所以1OG，在ABC中，由余弦定理及正弦定理可求AG，故可求外接球的半径，根据球的表面积公式即可求解.【详解】因为PAAB，PAAC，,ABACA AB AC平面ABC,所以PA 平面ABC.设底面ABC的外心为G，外接球的球心为O，则OG 平面ABC，所以/PAOG.第 4页/共 25页设D为PA的中点，因为OPOA，所以DOPA.因为PA 平面ABC，AG 平面ABC,所以PA AG，所以/ODAG.因此四边形ODAG为平行四边形，所以112OGADPA.因

8、为120BAC，2ABAC，所以2212cos442 2 22 32BCABACAB ACBAC ,由正弦定理，得2 324232AGAG.所以该外接球的半径R满足2225ROGAG,故该外接球的表面积为2420SR.故选:D.7.已知圆 O 的半径为 1，A 为圆内一点，12OA，B，C 为圆 O 上任意两点，则AC BC 的最小值是（）A.18B.116C.116D.18【答案】A【解析】【详解】首先设OA 与BC 所成角为，根据题意得到1coscos2AC BCOCOABCOC BCOA BCBCBCOBC ，再根据221111cos2222BCBCBCBC 求解即可.【点睛】如图所示：

9、设OA 与BC 所成角为，第 5页/共 25页因为1coscos2AC BCOCOABCOC BCOA BCBCBCOBC ，因为112cos2BCBCOBCOC ，所以211cos22AC BCBCBC 因为221111cos2222BCBCBCBC ，当0时，等号成立.因为02BC，所以当12BC 时，21122BCBC 取得最小值为18，所以当12BC 时，AC BC 取得最小值为18.故选：A8.设 f x是定义在R上的函数，若 2f xx是奇函数，f xx是偶函数，函数 ,0,121,1,f xxg xg xx，若对任意的0,xm，3g x 恒成立，则实数m的最大值为（）A.133B

10、.174C.92D.143【答案】B【解析】【分析】由 2f xx是奇函数，f xx是偶函数，求出 2f xxx，再根据 ,0,121,1,f xxg xg xx，作出函数 g x的图象即可求解.【详解】因为 2f xx是奇函数，f xx是偶函数，第 6页/共 25页所以 22fxxf xxfxxf xx ，解得 2f xxx，由 ,0,121,1,f xxg xg xx，当1,2x时，则10,1x，所以 2121g xg xf x，同理：当2,3x时，214242g xg xg xf x，以此类推，可以得到 g x的图象如下：由此可得，当4,5x时，164g xf x，由 3g x，得164

11、53xx，解得174x 或194x，又因为对任意的0,xm，3g x 恒成立，所以1704m，所以实数m的最大值为174.故选：B.【点睛】本题考查了奇函数与偶函数的性质，抽象函数的周期性，通过递推关系分析出每一个区间的解析式是本题的关键，数形结合是解题中必须熟练掌握一种数学思想，将抽象转化为形象，有助于分析解决抽象函数的相关问题.二、多项选择题（本题共二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得

12、分，有选错的得 0 分）分）9.已知函数 sin04f xx在区间0,上有且仅有 3 条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（）A.的取值范围是9 13,4 4B.f x在区间0,上有且仅有 3 个不同的零点第 7页/共 25页C.f x的最小正周期可能是45D.f x在区间0,15上单调递增【答案】ACD【解析】【分析】由0,x，得,444x，再根据函数()f x在区间0,上有且仅有3条对称轴，可得57242，可求出的取值范围判断 A，再利用三角函数的性质可依次判断 BCD【详解】由0,x，得,444x，因为函数()f x在区间0,上有且仅有3条对称轴，所以57242，解得91344，故 A

13、正确；对于 B，(0,)x，,444x，5 7,422，当5,342x时，()f x在区间(0,)上有且仅有2个不同的零点；当73,42x时，()f x在区间(0,)上有且仅有3个不同的零点，故 B 错误；对于 C，周期2T，由91344，则414139，88139T，又8458,139，所以()f x的最小正周期可能是45，故 C 正确；对于 D，0,15x，,44 154x，又91344，2 7,0,1545152，所以()f x在区间0,15上一定单调递增，故 D 正确故选：ACD.第 8页/共 25页10.已知抛物线 C：22xy的焦点为 F，准线为l，A，B 是 C 上异于点 O 的

14、两点，O 为坐标原点，则（）A.l的方程为12x B.若32AF，则AOF的面积为24C.若0OA OB ，则9OA OBD.若120AFB，过 AB 的中点 D 作DEl于点 E，则ABDE的最小值为3【答案】BD【解析】【分析】A 选项，由抛物线方程得到准线方程，A 错误；由焦半径公式得到1Ay，进而求出2Ax，从 而 得 到AOF的 面 积，B 正 确；由0OA OB 得 到4ABx x ，4ABy y，表 达 出2222232ABABOA OBx yy x，结合基本不等式求出最值，C 错误；作出辅助线，设,AFa BFb，由焦半径公式得到2abDE，结合余弦定理，基本不等式得到ABDE

15、的最小值.【详解】22xy的焦点为10,2F，准线方程为12y ，故 A 错误；由焦半径公式可知：1322AAFy，解得1Ay，故222AAxy，故2Ax，所以AOF的面积为111222224AOFx，B 正确；若0OA OB ，则0ABABx xy y，即22104ABABx xx x，解得：4ABx x ，则4ABy y，故222222222222232322AABBABABABABOA OBxyxyx yy xx y y x32264ABABx xy y，故8OA OB，当且仅当ABABx yy x时，等号成立，C 错误；过点A作1AAl 于点1A，过点 B 作1BBl 于点1B，设,A

16、Fa BFb，所以2abDE，第 9页/共 25页因为2222222cosABababAFBabababab22223342abababDE，所以3ABDE，ABDE的最小值为3.故选：BD【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围11.如图，正方体1111ABCDABC D中，顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，顶点1,B C A到的距离分别为1,2,3，则（）A.BD平面B.平面1A AC 平面C.直线1A

17、B与所成角比直线1AA与所成角大D.正方体的棱长为11【答案】ABD【解析】【分析】根据点到面的距离的性质，结合线面垂直的判定定理、线面角的定义、面面相交的性质进行求解第 10页/共 25页判断即可.【详解】解：设,AC BD的交点为O，显然O是AC、BD的中点，因为平面ABCDA，C到平面的距离为2，所以O到平面的距离为1，又B到平面的距离为1，所以/BO平面，即/BD平面，即 A 正确；设平面ABCDl，所以/BD l，因为ABCD是正方形，所以ACBD，又因为1AA 平面ABCD，BD平面ABCD，所以1AABD，因为11,AAACA AA AC平面1A AC，所以BD平面1A AC，因

18、此有l平面1A AC，而l，所以平面1A AC 平面，因此选项 B 正确；设1B到平面的距离为d，因为平面11AAB BA，11AAB B是正方形，点1A，B 到的距离分别为3，1，所以有3 1422dd，设正方体1111ABCDABC D的棱长为a，设直线1AB与所成角为，所以1442 2sin2ABaa，设直线1AA与所成角为，所以133sinAAa，因为32 2，所以sinsin，因此选项 C 不正确；第 11页/共 25页因为平面1A AC 平面，平面1A AC平面A，所以1,C A在平面的射影,E F与A共线，显然1112,3,2,CEAFACa AAa AAAC，如图所示：由11E

19、CACAECAEA AFECAA AF ，111cos,sinAFCEECAA AFACAA，由2212249cossin11112ECAA AFaaa （负值舍去），因此选项 D 正确，故选：ABD12.已知a，b为正实数，且26abab，则（）A.ab的最大值为 2B.2ab的最小值为 5C.1211ab的最小值为98D.0,3ab【答案】AC【解析】【分析】由已知条件结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可求解.【详解】依题意，对于 A：因为26abab，所以622 2abababab，当且仅当2ab时取等号，令0tab，则有22 260tt，解得3 22t，又因为0tab，所以02t

20、，即02ab，ab的最大值为 2，故 A 选项正确；对于 B：因为26abab，所以221162222224abababababab，当且仅当2ab时取等号，令20tab，则有28480tt，解得4t 或t12（舍去），即24ab，所以2ab的最小值为 4，第 12页/共 25页故 B 选项错误；对于 C：因为26abab，所以12111888bba，所以8182211119288821111abbbbb，当且仅当2118bb，即3b 时等式成立，所以1211ab的最小值为98，故 C 选项正确；对于 D：当14a，225b 时，4.150,3ab，所以 D 选项错误；故选：AC.三、填空题（

21、本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13.设直线10 xy 是曲线lnyax的一条切线，则a_【答案】2【解析】【分析】设切点为00,xy，根据导数的几何意义求出切点的横坐标，再根据切点即在曲线上又在切线上即可得解.【详解】设切点为00,xy，1yx ，则0011x xyx ，所以01x，所以切点为1,a，又切线为10 xy，所以110a，解得2a .故答案为：2.14.楼道里有 8 盏灯，为了节约用电，需关掉 3 盏互不相邻的灯，则关灯方案有_种【答案】20【解析】【分析】根据题意，原问题等价于在 5 盏亮灯的 6 个空隙中插入 3 盏不亮

22、的灯，由组合公式计算即可求解.第 13页/共 25页【详解】依题意，原问题等价于在 5 盏亮灯的 6 个空隙中插入 3 盏不亮的灯，则有36C20种方案.故答案为：20.15.过双曲线C：222210,0 xyabab右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为 A，直线l与另一条渐近线交于点 B且点 A，B 位于 x 轴的异侧，O 为坐标原点，若OAB的内切圆的半径为23b，则双曲线 C 的离心率为_【答案】52【解析】【分析】作出图象，设OAB的内切圆的圆心为M，易知M在AOB的平分线Ox上，过M分别作MNOA于N，MTAB于T，则有四边形MTAN为正方形，则2|3bNAM

23、N，2|3bONa，由tanMNbAOFONa，可得2ab，由斜率公式即可得答案.【详解】解：如图所示：设 A 在第一象限，由题意可知22bcAFdbab，其中d为点(c,0)F到渐近线byxa的距离，|OFc，所以2222|OAOFAFcba，设OAB的内切圆的圆心为M，则M在AOB的平分线Ox上，过M分别作MNOA于N，MTAB于T，又因为FAOA于A，所以四边形MTAN为正方形，所以2|3bNAMN，第 14页/共 25页所以2|3bONOANAa，又因为2|3tan2|3bMNbAOFbONaa，所以2233aba，2ab，所以22225cabb，所以5cb，所以5522cbeab.故

24、答案为：52.16.小说三体中，一个“水滴”摧毁了人类整个太空舰队，当全世界第一次看到“水滴”的影像时，所有人都陶醉于它那绝美的外形这东西真的是太美了，像梦之海中跃出的一只镜面海豚，仿佛每时每刻都在宇宙之夜中没有尽头地滴落着有科幻爱好者为“水滴”的轴截面设计了二维数学图形，已知集合 22,cossin4,0Px yxy 由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分就如美丽的“水滴”则图中“水滴”外部阴影部分的面积为_【答案】162 33【解析】【分析】根据图形与 22,cossin4,0Px yxy，建立直角坐标系，画出图形，求出相应的坐标，先求第一、二象限的阴影面积，再求第三

25、象限的阴影面积，再求和即可求解.【详解】根据题意，建立直角坐标系，如图所示：第 15页/共 25页在方程22cossin4xy，0中，令0 x，则有222cos2 sinsin4yy，所以12sinyy，其中0，所以sin0,1，所以12sin0,2yy，解得3,13,3y，所以0,3A，0,3E，0,1G，0,3D，令0，则有2214xy，所以1,0C，3,0N，令，则有2214xy，所以1,0B，3,0M.由3,0M，3,0N，0,3E易得MEN与线段MN组成的图形为229xy的上半圆，由此可知，在第一、第二象限中的阴影面积是由229xy的上半圆减去2214xy上半圆与2214xy上半圆相

26、交的部分形成，即BAC与线段BC组成的面积，设为S水滴上部.由0,3A，1,0B，1,0C三点易得ABC为边长为 2 的等边三角形，所以2122363ABCAnCSS 弓形，第 16页/共 25页所以4233ABCAnCSSS弓形水滴上部，设第一、二象限的阴影面积为1S，则199419332236SS水滴上部.由1,0B，1,0C，0,1G易得BGC与线段BC组成的图形为221xy的下半圆，设在第三象限中的阴影面积为2S，则有24MODMpDSSS弓形，由图知113 333222MODSMOOD 1123322MBDSMBOD，23MBD，所以2142333MBDMpDSS 弓形，所以23 3

27、413334234122MODMpDSSS弓形，所以图中“水滴”外部阴影部分的面积为：1219133162322 361223SSS.故答案为：162 33.【点睛】本题考查了圆与三角函数综合的知识点，可以根据图形的对称性建立直角坐标系，将图形转化为实际的数据，割补法是求阴影面积常用的方法，需要考生有一定的分析转化能力.四、解答题（本题共四、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.记nS为正项数列 na的前n项和，已知1na是 4 与nS的等比中项（1）求 na的通项分式；（2）证明：22221231

28、11154naaaa【答案】（1）21nan（2）证明见解析【解析】第 17页/共 25页【分析】(1)由等比中项得214nnaS，进而由递推式计算出11a，并得到12nnaa，得数列 na是等差数列，进而可求解；(2)由22111114121nannn，从第二项开始放缩即可证明.【小问 1 详解】1na是 4 与nS的等比中项，214nnaS当1n 时，2111144aSa，11a 当2n时，21114nnaS，由-得，22111144nnnnnaaSSa，1120nnnnaaaa，0na，12nnaa，数列 na是首项为 l，公差为 2 的等差数列，na的通项公式21nan【小问 2 详解

29、】由（1）得2111a，当2n时，22221111111441444121nannnnnnn，22222221232311111111nnaaaaaaa 1111111115151114122314444nnnn 18.已知 a，b，c 分别为ABC三个内角 A，B，C 的对边，且cos3 sinaCaCbc（1）求 A；（2）已知ABC的面积为3 34，设 M 为 BC 的中点，且3AM，BAC的平分线交 BC 于 N，求线段 AN 的长度【答案】（1）3A 第 18页/共 25页（2）3 55AN【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化将原式化简，再结合三角恒等变换即可求得结果

30、；（2）根据题意，可得22222242AMABACABAB ACACcbbc ，再结合三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果.【小问 1 详解】由题意知ABC中，cos3 sinaCaCbc，由正弦定理边角关系得：则sincos3sinsinACACsinsinsinsinsincoscossinsinBCACCACACC，3sinsincossinsinACACC，0,C，sin0C，3sincos1AA，2sin16A，1sin62A，又0,A，5,666A，所以=66A，即3A【小问 2 详解】如下图所示，在ABC中，AM为中线，2AMABAC ，22222242AMABACABAB

31、ACACcbbc ，2212bcbc3 34ABCS，133 3sin244bcAbc，3bc，22215bcbbcc，第 19页/共 25页ABCABNACNSSS，3 3115sin4264bc ANAN，3 55AN 19.近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封装技术 XDFOI，可以实现 4nm 手机 SOC 芯片的封装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的发展具有极为重要的意义可以说国产 4nm 先进封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，证明了知名院士倪光南所说的先进技术是买不来的、求不来的，自主研发才是最终的出路研发团队准备在国内某著名大学招募人才，准备了 3

32、道测试题，答对两道就可以被录用，甲、乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为01pp，且相互独立，若甲选择了全部 3 道试题，乙随机选择了其中 2 道试题，试回答下列问题（所选的题全部答完后再判断是否被录用）（1）求甲和乙各自被录用的概率；（2）设甲和乙中被录用的人数为，请判断是否存在唯一的p值0p，使得 1.5E？并说明理由【答案】（1）甲被录用的概率为2332pp，乙被录用的概率为2333pp（2）不存在；理由见解析【解析】【分析】(1)分析已知，甲被录用符合二项分布，乙被录用符合组合排列，分别利用对应求概率公式计算即可.(2)先分析的可能取值，然后分别求解对应概率，再利用离散型数学

33、期望的公式表示出数学期望，然后构造函数，利用求导分析函数单调性，进而判断即可.【小问 1 详解】由题意，设甲答对题目的个数为X，得3,XBp，则甲被录用的概率为2232313C132Pppppp，乙被录用的概率为222332C133Ppppp【小问 2 详解】的可能取值为 0，1，2，则12011PPP，1212111PPPP P，122PPP，121212120111112EPPPPP PPP 232323123233651.5PPpppppp，第 20页/共 25页32101230pp，设 32110123 0fpppp，则 23024fppp当405p时，fp单调递减，当415p时，fp

34、单调递增，又 03f，11f，4110525f，所以不存在p的值0p，使得00fp.20.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为 2 的正方形，2PAPB（1）证明：PADPBC；（2）当直线 PA 与平面 PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角PABC-的大小【答案】（1）证明见解析（2）6【解析】【分析】(1)分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，EF，PF，证明出PCPD，可得PADPBC，由此可证得结论成立；(2)先根据条件推出PEF为二面角PABC-的平面角，设PEF，建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合基本不等式求出直线PA与平面PCD所成角的正弦值的最大值，求出对应

35、的角的值，即可求解.【小问 1 详解】分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，EF，PF，PAPB，E为AB的中点，PEAB四边形ABCD为正方形，则ABCD且ABCD，CDPEE，F分别为AB，CD的中点，EFAD，EFCD，EFPEE，CD 平面PEF第 21页/共 25页PF 平面PEF，CDPF在PCD中，F为CD的中点，CDPF，PCPD又PAPB，ADBC，PADPBC，从而可得PADPBC【小问 2 详解】由（1）可知PEAB，EFAB，PEF为二面角PABC-的平面角，且223PEPAAE，以点E为坐标原点，EB，EF所在直线分别为 x，y轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设P

36、EF，其中0，则1,0,0A，1,0,0B，1,2,0C，1,2,0D，0,2,0F，0,3cos,3sinP，1,3cos,3sinAP，2,0,0DC uuu r，0,3cos2,3sinFP 设平面PCD的法向量为,nx y z，由00n DCn FP，即20(3cos2)3sin0 xyz，取3siny，则23cosz，0 x，0,3sin,23cosn，222 3 sincos,3sin23cos2n APn APnAP 22sin1 cos3374 3cos74 3cos，令74 3cos74 3,74 3t，则7cos4 3t，第 22页/共 25页则271111134 3cos

37、,314142442tn APttttt ，当且仅当1t 时，即当3cos2时，即当6时，等号成立所以当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时，二面角PABC-为621.已知1,0F，D 是圆 C：22116xy上的任意一点，线段 DF 的垂直平分线交 DC 于点 P（1）求动点 P 的轨迹的方程：（2）过点,0M t的直线l与曲线相交于 A，B 两点，点 B 关于x轴的对称点为B，直线AB交x轴于点N，证明：OM ON 为定值【答案】（1）22143xy（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由中垂线性质，可知42PCPFPCPDDCFC，得动点 P 的轨迹以C，F 为焦点的椭圆；（2）将直

38、线l与曲线方程联立，利用韦达定理及题目条件表示出点 N 坐标，后可得答案.【小问 1 详解】圆C：22116xy，圆心为1,0，半径为 4，因为线段 DF 的垂直平分线交 DC 于 P 点，所以PDPF，所以42PCPFPCPDDCFC，所以由椭圆定义知，P 的轨迹是以C，F 为焦点的椭圆，则242aa，221cc，2223bac.故轨迹方程为：22143xy【小问 2 详解】依题意，直线l不垂直于坐标轴，设直线l的方程为0 xmyt m，将其与方程联立：22143xmytxy，消去 x 得2223463120mymtyt.第 23页/共 25页方程判别式2248 430mt，设11,A x

39、y，22,B xy，则22,B xy，由韦达定理有122634mtyym，212231234ty ym，则直线AB的方程为121112yyyyxxxx，令1212211212N121212202my yt yyx yx yy yyxmtyyyyyy2312426tmtmtt，则40,Nt，得400,，,OMtONt.44OM ONtt 即OM ON 为定值 422.已知函数 1elnaxf xxx，aR（1）当1a 时，求函数 f xx的最小值；（2）若函数 f xx的最小值为a，求a的最大值【答案】（1）0（2）1【解析】公众号：高中试卷君【分析】（1）当1a 时，令 F xf xx，求得

40、121 exxxxFx，根据 Fx在不同区间的符号判断 F x的单调性，由单调性即可求出 F xf xx的最小值；（2）将 f xax等价变换为 0f xax，借助第（1）问中判断 121 exxxxFx的符号时构造的 1exg xx在1x 时取最小值，取lng axx，将问题转化为ln1axx有解问题即可.【小问 1 详解】当1a 时，令 1elnxxxF xf xxx，0,x，则 11112221 ee11ee11xxxxxxxxxxxxFxxx ，令 1exg xx，xR，则 1e1xgx，易知 gx在R上单调递增，且 10g，第 24页/共 25页当0,1x时，0gx，g x在区间0,

41、1上单调递减，且 110exg xxg，当1,x时，0gx，g x在区间1,上单调递增，且 110exg xxg，当0,1x时，121 e0 xxxFxx，F x在区间0,1上单调递减，当1,x时，121 e0 xxxFxx，F x在区间1,上单调递增，当1x 时，F x取得极小值，也是最小值，1 1mine1ln1 101F xF，当1a 时，函数 f xx的最小值为0.【小问 2 详解】由已知，f x的定义域为0,，若函数 f xx的最小值为a，则有 f xax，f xax，0f xax，令 h xf xax，即 1elnaxxaxh xxaxxf的最小值为0，由第（1）问知，当且仅当1x

42、 时，1exg xx取最小值 10g，当且仅当ln1axx时，lng axx取得最小值0，又 l1l1n1nneelnllnlneeaxaxaxxxg axxaxxxaxxaxh xx，只需令ln1axx有解，即ln1xax有解，令 ln1xH xx，0,x，则 221ln1lnxxxxHxxx ，当0,1x时，2ln0 xHxx，H x在区间0,1上单调递增，当1,x时，2ln0 xHxx，H x在区间1,上单调递减，ln111xaH xHx，综上所述，若函数 f xx的最小值为a，则a的最大值为1.【点睛】在导数压轴题中，常常会使用前问的结论或某一步构造的函数，解决后面的问题.本题第（2）问中第 25页/共 25页直接求导分析 1elnaxxaxh xxaxxf的单调性较为困难，这里使用了换元思想，借助第（1）问构造的 1exg xx，使 lng axxh x，以达到简化运算的目的.