2023届高考数学专项练习微专题数列的性质、蛛网图、最值问题、恒成立问题、插项问题、公共项问题、规律问题、奇偶问题（解析版）.pdf

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1、微专题 数列的性质、蛛网图、最值问题、恒成立问题、插项问题、公共项问题、规律问题、奇偶问题【秒杀总结】【秒杀总结】1.数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性.2.函数与数列的综合问题，解决该问题应该注意的事项：(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.3.证明数列 an单调性的方法：根据 an+1-an与 0 的关系判断出数列的单调性(当 an恒为正或者负时，

2、可以考虑利用an+1an与1的大小关系判断数列单调性).4.当出现与年份有关的数列选择题，题目本身难度比较大的时候，比如，出现2019、2020、2021类似这样的数字，我们完全可以通过逐个分析选项，通过选项找规律后判断是否符合题意，来决定哪个选项正确.比如求S2021，可以令2021=n，将选项中的所有数字用 n来表示，然后通过S1、S2来验证哪个选项正确.如果题目问的是S2020、S2018之类的偶数年份，最好是通过S2、S4这样的偶数项来验证.【典型例题】【典型例题】例1.例1.(浙江省杭州市第二中学滨江校区浙江省杭州市第二中学滨江校区 2022-20232022-2023 学年高三上学

3、期期中数学试题学年高三上学期期中数学试题)已知数列 an满足an+1=ean-2+1(nN N*，e为自然对数的底数)，且对任意的M0都存在nN N*，使得 an-2M成立，则数列 an的首项a1须满足()A.a11B.1a12C.a12D.a12例2.例2.(2023(2023新蔡县月考新蔡县月考)数列an满足an+1+(-1)n+1an=2n，则数列an的前60项和等于()A.1830B.1820C.1810D.1800例3.例3.(2023(2023江苏模拟江苏模拟)若单调递增数列an满足an+an+1+an+2=3n-6，且a2=12a1，则a1的取值范围是例4.例4.(广东省实验中学

4、广东省实验中学20232023届高三考前热身训练数学试题届高三考前热身训练数学试题)已知Sn为数列 an的前n项和，a1=a2=1，2023届高考数学专项练习平面内三个不共线的向量 OA，OB，OC，满足 OC=an-1+an+1OA+1-anOB，n 2，n N N*，若A，B，C在同一直线上，则S2021=_.例例5.5.(江苏省苏州市吴中区木渎高级中学江苏省苏州市吴中区木渎高级中学20222022-20232023学年高三上学期期中数学试题学年高三上学期期中数学试题)数列 an中，an=-12an-1-32n2,nN*，且a=1，记数列 an的前n项和为Sn，若3 Sn+n4对任意的nN

5、*恒成立，则实数的最大值为_.例例6.6.(江西省临川二中、临川二中实验学校江西省临川二中、临川二中实验学校20232023届高三第二次模拟考试文科数学试题届高三第二次模拟考试文科数学试题)已知数列 an的前n项和为Sn=2an-2n+1，若对一切正整数n，不等式2n2-n-3-2019an恒成立，则满足条件的最小整数为_.【过关测试】【过关测试】一、一、单选题单选题1.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)设数列 an的通项公式为an=-1n2n-1cosn2+1 nN*，其前n项和为Sn，则S120=()A.-60B.-120C.180D.2402.(20232023 山

6、东潍坊山东潍坊 高三统考期末高三统考期末)已知定义在 R 上的函数 f x满足 f 0=1，对 x，y R R，有f xy+1=f xf y-f y-x+2，则2023i=11f if i+1=()A.20234050B.20242025C.20234048D.202320243.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)设数列 an的前n项和为Sn,a1=1，且2Sn=an+1-1 nN*.若对任意的正整数n，都有a1bn+a2bn-1+a3bn-2+anb1=3n-n-1成立，则满足等式b1+b2+b3+bn=an的所有正整数n为()A.1或3B.2或3C.1或4D.2或44

7、.(20232023 河北衡水河北衡水 河北衡水中学校考模拟预测河北衡水中学校考模拟预测)已知数列 an、bn，an+1=an2 ，bn+1=bn2，nN+其中 x为不大于 x 的最大整数.若 a1=b1=m，m 1000，m N+，有且仅有 4 个不同的t，使得atbt，则m一共有()个不同的取值.A.120B.126C.210D.2525.(20232023 北京朝阳北京朝阳 高三统考期末高三统考期末)在数列 an中，a1=1,an+1=ka2n+1 nN N，若存在常数c，对任意的nN N，都有anc成立，则正数k的最大值为()A.15B.14C.13D.126.(20232023 湖南

8、长沙湖南长沙 统考一模统考一模)裴波那契数列 Fn，因数学家莱昂纳多 裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列 Fn满足 F1=F2=1，且 Fn+2=Fn+1+FnnN*卢卡斯数列Ln是以数学家爱德华 卢卡斯命名，与裴波那契数列联系紧密，即 L1=1，且 Ln+1=Fn+Fn+2nN*，则F2023=()A.13L2022+16L2024B.13L2022+17L2024C.15L2022+15L2024D.-15L2022+25L20247.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知 Sn是数列 an的前 n 项和，且 a1=a2=1，an=2an-1

9、+3an-2(n 3)，则下列结论正确的是()A.数列 an-an+1为等比数列B.数列 an+1+2an为等比数列C.S40=14320-1D.an=3n-1+-1n-128.(20232023 山西太原山西太原 高三统考期末高三统考期末)如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛”，表中每行每列的数都成等差数列，设 f(m,n)表示该数阵中第m行、第n列的数，则下列说法正确的是()2345673579111247101316195913172125611121263171319253137A.f(3,18)49C.f(7,7)=49D.f(12,4)=499.(20232023 黑龙江哈尔滨黑龙江

10、哈尔滨 高三哈师大附中校考期末高三哈师大附中校考期末)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，向量 OP=n,Snn，OP1=m,Smm，OP2=k,Skkm,n,kN N，且OP=OP1+OP2，则用n,m,k表示，则=()A.m-kn-kB.n-km-kC.m-nk-nD.n-mk-m二、二、多选题多选题10.(20232023 湖北湖北 校联考模拟预测校联考模拟预测)数列 an各项均为正数，其前n项和Sn，且满足anSn=9 nN N，下列四个结论中正确的是()A.an为等比数列B.an为递减数列C.an中存在大于3的项D.an中存在小于12023的项11.(20232023 全国全国

11、 高三专题练习高三专题练习)若数列 an满足a2-12a1a3-12a2an-12an-11，则数列 an为“差半递增”数列C.若数列 an为公差大于0的等差数列，则数列 an为“差半递增”数列D.若数列 an为“差半递增”数列，其前n项和为Sn，且满足Sn=2an-2n+1-t，则实数t的取值范围为-323,+12.(20232023 黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨 高三哈师大附中校考期末高三哈师大附中校考期末)以下为自然数从小到大依次排成的数阵：123456789101112131415第n行有2n-1个数，则()A该数阵第n行第一个数为2n-1B该数阵第n行最后一个数为2n-1C该数阵前n行共

12、有2n-1个数D该数阵前n行所有数的和为22n-2n13.(20232023 山东德州山东德州 高三统考期末高三统考期末)已知数列 an的前n项和为Sn，且a1=1，an+1+an=2n则()A.S6=18B.an=n,n为奇数n-1,n为偶数 C.数列 an为等差数列D.n为奇数时，Sn=n+n-12214.(20232023 湖南株洲湖南株洲 高三校联考期末高三校联考期末)已知数列 an满足a1=1，a1=1,an+1an2+an+1=an(nN),数列an前n项和为Sn，则下列叙述正确的有()A.an+1-an0B.a2023163C.an13n-2D.Snn15.(20232023 春

13、春 浙江浙江 高三校联考开学考试高三校联考开学考试)已知数列 an满足 an ean+1=ean-1，且 a1=1，Sn是数列an的前n项和，则()A.a2023a2022B.S20232C.a2021+a20232a2022D.a2023100且该数列的前N项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是_21.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知数列 bn 满足 bn=3n+(-1)n-12n+1，且对于任意的 n N*，都有bn+1bn恒成立，则实数的取值范围_22.(20232023春春 河南开封河南开封 高三统考开学考试高三统考开学考试)现取长度为2的线段MN的中点M1

14、，以MM1为直径作半圆，该半圆的面积为S1(图1)，再取线段M1N的中点M2，以M1M2为直径作半圆所有半圆的面积之和为S2(图2)，再取线段M2N的中点M3，以M2M3为直径作半圆，所有半圆的面积之和为 S3，以此类推，则ni=1iSi=_23.(20232023 山东日照山东日照 高三校联考期末高三校联考期末)设正项等比数列a1,a2,a5的公比为q，首项a1=1，关于x的方程akx2+2x+ak=0 有两个不相等的实根 x1,x2，且存在唯一的 akk=1,2,5，使得 x1-x20都存在nN N*，使得 an-2M成立，则数列 an的首项a1须满足()A.a11B.1a12C.a12D

15、.a12【答案】C【解析】设 f(x)=ex-x-1，令 f(x)=ex-1=0，得到x=0.当x(-,0)时，f(x)0，f(x)单调递增.故 f(x)f(0)=0，即exx+1(当且仅当时x=0取等号).故an+1=ean-2+1an-2+1+1(当且仅当时an=2取等号).即an+1an.要使对任意的M0都存在nN N*，使得 an-22时，an2，如图此时不满足题意；当a12时，an2，如图此时满足题意；综上，a12.故选：C例例2.2.(20232023 新蔡县月考新蔡县月考)数列an满足an+1+(-1)n+1an=2n，则数列an的前60项和等于()A.1830B.1820C.1

16、810D.1800【解析】解：由an+1+(-1)n+1an=2n，可得数列an的前60项和为(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+(a59+a60)=2+6+10+118=1230(2+118)=1800故选：D例例3.3.(20232023 江苏模拟江苏模拟)若单调递增数列an满足an+an+1+an+2=3n-6，且a2=12a1，则a1的取值范围是【解析】解：单调递增数列an满足an+an+1+an+2=3n-6，且a2=12a1，a1+12a1+a3=-3，解得a3=-3-32a1，12a1-3-32a1+a4=0，解得a4=a1+3，由条件可以得出an+3-an=3，也就

17、是隔3项成等差数列，公差为3只要保证a1a2a3a2，a4a3，-3-32a112a1a1+3-3-32a1，解得-125a111-0=1，所以1，综上得23，所以实数的最大值为23，故答案为：23.例例6.6.(江西省临川二中、临川二中实验学校江西省临川二中、临川二中实验学校20232023届高三第二次模拟考试文科数学试题届高三第二次模拟考试文科数学试题)已知数列 an的前n项和为Sn=2an-2n+1，若对一切正整数n，不等式2n2-n-3-2019an恒成立，则满足条件的最小整数为_.【答案】2020【解析】解：当n=1时，S1=2a1-22，得a1=4，当n2时，an=Sn-Sn-1=

18、2an-2n+1-2an-1-2n，整理得an=2an-1+2n，等式两边同除2n得an2n=an-12n-1+1，则数列an2n 是以a12=2为首项，1为公差的等差数列，an2n=2+n-1=n+1，则an=n+12n，所以不等式2n2-n-3-2019n+12n对一切正整数n恒成立，即2n2-n-3n+12n=n+12n-3n+12n=2n-32n38，即38+2019。所以满足条件的最小整数为2020.故答案为：2020【过关测试】【过关测试】一、一、单选题单选题1.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)设数列 an的通项公式为an=-1n2n-1cosn2+1 nN

19、*，其前n项和为Sn，则S120=()A.-60B.-120C.180D.240【答案】D【解析】当n=4k-3，kN*时，cosn2=0，a4k-3=1；当n=4k-2，kN*时，cosn2=-1，a4k-2=2 4k-2-1-1+1=-8k+6；当n=4k-1，kN*时，cosn2=0，a4k-1=1；当n=4k，kN*时，cosn2=1，a4k=24k-1+1=8k.a4k-3+a4k-2+a4k-1+a4k=1+-8k+6+1+8k=8，S120=12048=240.故选：D2.(20232023 山东潍坊山东潍坊 高三统考期末高三统考期末)已知定义在 R 上的函数 f x满足 f 0

20、=1，对 x，y R R，有f xy+1=f xf y-f y-x+2，则2023i=11f if i+1=()A.20234050B.20242025C.20234048D.20232024【答案】A【解析】令x=y=0，由已知可得 f 1=f20-f 0+2=2.令y=1，由已知可得 f x+1=f xf 1-f 1-x+2=2f x-x，设an=f n,nN N*，则an+1=2an-n，整理可得an+1-n+2=2 an-n+1.又a1=2，所以an+1-n+2=2 an-n+1=0，所以an=n+1.则1f if i+1=1aiai+1=1i+1i+2=1i+1-1i+2，所以202

21、3i=11f if i+1=12-13+13-14+14-15+12024-12025=20234050.故选：A.3.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)设数列 an的前n项和为Sn,a1=1，且2Sn=an+1-1 nN*.若对任意的正整数n，都有a1bn+a2bn-1+a3bn-2+anb1=3n-n-1成立，则满足等式b1+b2+b3+bn=an的所有正整数n为()A.1或3B.2或3C.1或4D.2或4【答案】A【解析】2Sn=an+1-1,nN*，n2时，2Sn-1=an-1，相减可得：2an=an+1-an，即an+1=3an(n2)又n=1时，2S1=a2-

22、1，解得a2=3，满足a2=3a1，数列 an是首项为1，公比为3的等比数列，所以an=3n-1,nN*对任意正整数n，都有a1bn+a2bn-1+a3bn-2+anb1=3n-n-1成立，得bn+3bn-1+32bn-2+3n-1b1=3n-n-1，又bn+1+3bn+32bn-1+3nb1=3n+1-(n+1)-1，-3得：bn+1=2n+1,nN*，又a1b1=3-1-1=1，所以b1=1，得bn=2n-1,nN*，进而b1+b2+b3+bn=n2，由b1+b2+b3+bn=an，得n2=3n-1，即n23n-1=1，记 f(n)=n23n-1，则 f(1)=1,f(2)=43,f(3)

23、=1,f(4)=1627，以下证明n4时，f(n)1，因为 f(n+1)-f(n)=(n+1)23n-n23n-1=-2n2+2n+13n=2n(1-n)+13n0，即n4时，f(n)单调递减，f(n)1，综上可得，满足等式b1+b2+b3+bn=an的所有正整数n的取值为1或3故选：A4.(20232023 河北衡水河北衡水 河北衡水中学校考模拟预测河北衡水中学校考模拟预测)已知数列 an、bn，an+1=an2 ，bn+1=bn2，nN+其中 x为不大于 x 的最大整数.若 a1=b1=m，m 1000，m N+，有且仅有 4 个不同的t，使得atbt，则m一共有()个不同的取值.A.12

24、0B.126C.210D.252【答案】C【解析】设m=c020+c121+c222+c323+c929，其中c0,c1,c9 0,1，且c0,c1,c9不全为0，m1000，若c0=1，则m=1+c121+c222+c323+c929，a1=b1=m，a2=m-12=1+c221+c322+c423+c829，b2=m2，若c0=0，则m=c121+c222+c323+c929，a1=b1=m，a2=m2，b2=m2，所以若c0=1则，a2b2，若c0=0，则a2=b2，若c0=0，c1=0，则m=c222+c323+c929，a1=b1=m，a2=m2，b2=m2，a3=m4，b3=m4，

25、若c0=0，c1=1，则m=2+c222+c323+c929，a1=b1=m，a2=m2，b2=m2，a3=m-24，b3=m4，若c0=1，c1=0，则m=1+c222+c323+c929，a1=b1=m，a2=m-12，b2=m2，a3=m-14，b3=m-14，若c0=1，c1=1，则m=1+2+c222+c323+c929，a1=b1=m，a2=m-12，b2=m2，a3=m-34，b3=m-14，所以c1=0时，a3=b3，c1=1时，a3b3，同理可以证明ck=0时，ak+2=bk+2，ck=1，ak+2bk+2，因为有且仅有4个不同的t，使得atbt，即c0,c1,c2,c9中有

26、且仅有4个变量取值为1，其余变量取值为0，又从c0,c1,c2,c9中任选4个变量有C410种取法，故满足条件的m的个数为C410，即210个，故选：C.5.(20232023 北京朝阳北京朝阳 高三统考期末高三统考期末)在数列 an中，a1=1,an+1=ka2n+1 nN N，若存在常数c，对任意的nN N，都有an0，所以an+1-an=ka2n-an+1=k a2n-1kan+14k2-14k2+1=k an-12k2-14k+11-14k，所以an=a1+n-1m=1am+1-am1+n-11-14k,n2，由于a1=1满足上式，故an1+n-11-14k,当k14时，有n趋近于+时

27、，n-11-14k趋近于+此时an没有最大值，故不满足题意，舍去；所以k14，当k=14时，可证对任意的nN N，都有an1，由题知，若存在常数c，对任意的nN N，都有an1，以下进行证明：存在常数c=2，对任意的nN N，都有an2成立.当n=1时，a1=12，结论成立假设n=m m1时结论成立，即1am2则1am+1=ka2m+11+1422=2，则存在常数c=2，对任意的nN N，都有an2成立故正数k的最大值为14.故选：B.6.(20232023 湖南长沙湖南长沙 统考一模统考一模)裴波那契数列 Fn，因数学家莱昂纳多 裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列

28、Fn满足 F1=F2=1，且 Fn+2=Fn+1+FnnN*卢卡斯数列Ln是以数学家爱德华 卢卡斯命名，与裴波那契数列联系紧密，即 L1=1，且 Ln+1=Fn+Fn+2nN*，则F2023=()A.13L2022+16L2024B.13L2022+17L2024C.15L2022+15L2024D.-15L2022+25L2024【答案】C【解析】因为Fn+2=Fn+1+FnnN*，所以当n3时，Fn=Fn-1+Fn-2，所以3Fn=Fn-1+Fn-2+2Fn=Fn-2+Fn-1+Fn+Fn=Fn-2+Fn+1+Fn=Fn-2+Fn+2，故3F2023=F2021+F2025，因为Ln+1=

29、Fn+Fn+2nN*，所以L2022=F2021+F2023，L2024=F2023+F2025，故L2022+L2024=F2021+F2023+F2023+F2025=2F2023+F2021+F2025=5F2023，所以F2023=15L2022+15L2024.故选：C.7.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)已知 Sn是数列 an的前 n 项和，且 a1=a2=1，an=2an-1+3an-2(n 3)，则下列结论正确的是()A.数列 an-an+1为等比数列B.数列 an+1+2an为等比数列C.S40=14320-1D.an=3n-1+-1n-12【答案】D

30、【解析】由题意得：a3=2a2+3a1=5，a4=2a3+3a2=10+3=13，由于a1-a2=0，故数列 an-an+1不是等比数列，A错误；则a2+2a1=1+2=3，a3+2a2=5+2=7，a4+2a3=13+10=23，由于73237，故数列 an+1+2an不为等比数列，B错误；n3时，an=2an-1+3an-2，即an+an-1=3 an-1+an-2，又a1+a2=1+1=2，故 an+1+an为等比数列，首项为2，公比为3，故an+1+an=23n-1，故a2+a1=2，a4+a3=232，a40+a39=2338，以上20个式子相加得：S40=2 1+32+34+338

31、=21-3401-9=340-14，C错误；因为an+1+an=23n-1，所以an+2+an+1=23n，两式相减得：an+2-an=23n-23n-1=43n-1，当n=2k时，a2k-a2k-2=432k-3，a2k-2-a2k-4=432k-5，a4-a2=43，以上式子相加得：a2k-a2=4 3+33+32k-3=43-32k-11-9=32k-1-32，故a2k=32k-1-32+a2=32k-1-12，而a2=1也符和该式，故a2k=32k-1-12，令2k=n得：an=3n-1-12=3n-1+-1n-12，当n=2k-1时，a2k-1-a2k-3=432k-4，a2k-3-

32、a2k-5=432k-6，a3-a1=430，以上式子相加得：a2k-1-a1=4 32k-4+32k-6+30=41-32k-21-9=32k-2-12，故a2k-1=32k-2-12+a1=32k-2+12，而a1=1也符号该式，故a2k-1=32k-2+12，令2k-1=n得：an=3n-1+-1n-12，综上：an=3n-1+-1n-12，D正确.故选：D8.(20232023 山西太原山西太原 高三统考期末高三统考期末)如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛”，表中每行每列的数都成等差数列，设 f(m,n)表示该数阵中第m行、第n列的数，则下列说法正确的是()23456735791112

33、47101316195913172125611121263171319253137A.f(3,18)49C.f(7,7)=49D.f(12,4)=49【答案】D【解析】对于A，f(3,18)表示第3行第18个数字，由数阵可知：第3行是以4为首项，以3为公差的等差数列，则第18个数字为4+(18-1)3=5549，故选项A错误；对于B，f(6,8)表示第6行第8个数字，由数阵可知：第6行是以7为首项，以6为公差的等差数列，则第8个数字为7+8-16=49=49，故选项B错误；对于C，f(7,7)表示第7行第7个数字，由数阵可知：第7行是以8为首项，以7为公差的等差数列，则第7个数字为8+(7-1

34、)7=5049，故选项C错误；对于D，f(12,4)表示第12行第4个数字，由数阵可知：第12行是以13为首项，以12为公差的等差数列，则第4个数字为13+(4-1)12=49，故选项D正确，故选：D.9.(20232023 黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨 高三哈师大附中校考期末高三哈师大附中校考期末)已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，向量 OP=n,Snn，OP1=m,Smm，OP2=k,Skkm,n,kN N，且OP=OP1+OP2，则用n,m,k表示，则=()A.m-kn-kB.n-km-kC.m-nk-nD.n-mk-m【答案】B【解析】由OP=OP1+OP2 得：n=m+kSnn=

35、Smm+Skk，即=n-kmSnn=Smm+Skk ，Snn=Smmn-km+Skk=nSmm2-kSmm2-Skk，nSnn2-Smm2=kSkk2-Smm2，=nSnn2-Smm2kSkk2-Smm2；Sn为等差数列 an的前n项和，设其公差为d，Snn2-Smm2=na1+n n-12dn2-ma1+m m-12dm2=a1+n-12dn-a1+m-12dm=2ma1-md-2na1+nd2mn=m-n2a1-d2mn，同理可得：Skk2-Smm2=m-k2a1-d2mk，=m-n2a1-d2mm-k2a1-d2m=m-nm-k，=n-k m-nm-km=n m-k-k m-nm m-k

36、=mn-mkm m-k=n-km-k.故选：B.二、二、多选题多选题10.(20232023 湖北湖北 校联考模拟预测校联考模拟预测)数列 an各项均为正数，其前n项和Sn，且满足anSn=9 nN N，下列四个结论中正确的是()A.an为等比数列B.an为递减数列C.an中存在大于3的项D.an中存在小于12023的项【答案】BD【解析】对于A：假设数列 an为等比数列，设其公比为q，则a22=a1a3，即9S22=81S1S3，所以，S21=S1S3，可得a21(1+q)2=a211+q+q2，解得q=0，不合乎题意，故数列 an不是等比数列，故A错；对于B：当n2时，an=Sn-Sn-1

37、.因为anSn=9 nN N，所以Sn=9an，所以an=9an-9an-1=9 an-1-ananan-10，可得an0，当n=1时，a21=9，可得a1=3；由B知数列 an为递减数列，故C错；对于D：因为数列 an各项均为正数，其前n项和Sn，所以随着n的增大，Sn递增.而anSn=9 nN N恒成立，所以an=9Sn递减，且an0，所以 an中必存在小于12023的项故选：BD.11.(20232023 全国全国 高三专题练习高三专题练习)若数列 an满足a2-12a1a3-12a2an-12an-11，则数列 an为“差半递增”数列C.若数列 an为公差大于0的等差数列，则数列 an

38、为“差半递增”数列D.若数列 an为“差半递增”数列，其前n项和为Sn，且满足Sn=2an-2n+1-t，则实数t的取值范围为-323,+【答案】BCD【解析】对于A，假设一个正项递增数列为：1,4,5，则4-12=72,5-2=3，则723，不满足“差半递增”数列，A错误；对于B，因为an=qnq1，所以an-12an-1=qn-12qn-1,an+1-12an=qn+1-12qn,an+1-12an-an-12an-1=qn+1-12qn-qn-12qn-1=12qn-1(2q2-3q+1)，因为q1，所以函数y=2q2-3q+1单调递增，所以当y2-3+1=0，即 an+1-12an a

39、n-12an-1恒成立，所以数列 an为“差半递增”数列，B正确；对于C，设公差d0，an=a1+(n-1)d，an-1=a1+(n-2)d，an+1=a1+nd，所以an-12an-1=a12+12nd,an+1-12an=a12+12nd+12d，所以 an+1-12an an-12an-1，数列 an为“差半递增”数列，C正确；对于D，因为Sn=2an-2n+1-t，所以a1=S1=2a1-4-t，所以a1=4+t，当n2时，an=Sn-Sn-1=2an-2an-1-2n，所以an-2n=2an-1，所以an2n-an-12n-1=1，所以数列an2n 为等差数列，公差为1，所以an2n

40、=a12+(n-1)=n+12t+1，所以an=2nn+12t+1，所以对任意nN N,n2，an+1-12an an-12an-1，即2n+1n+12t+2-122nn+12t+12nn+12t+1-122n-1n+12t，所以8 n+12t+2-2 n+12t+14 n+12t+1-n+12t，所以t-6n-203，因为nN N,n2,所以当n=2时-6n-203有最大值为-323，所以t-323，D正确；故选:BCD.12.(20232023 黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨 高三哈师大附中校考期末高三哈师大附中校考期末)以下为自然数从小到大依次排成的数阵：1234567891011121314

41、15第n行有2n-1个数，则()A该数阵第n行第一个数为2n-1B该数阵第n行最后一个数为2n-1C该数阵前n行共有2n-1个数D该数阵前n行所有数的和为22n-2n【答案】ABC【解析】对于A，该数阵每行第一个数分别为20，21，22，归纳可得数阵第n行第一个数为2n-1，故A正确；对于B，由A知，第n+1行的第一个数为2n，故第n行的最后一个数为2n-1，故B正确；对于C，数阵前n行共有1+2+4+2n-1=1-2n1-2=2n-1个数，故C正确；对于D，数列前n行总和为1+2+3+2n-1=1+2n-12n-12=22n-1-2n-1，故D不正确故选：ABC13.(20232023 山东

42、德州山东德州 高三统考期末高三统考期末)已知数列 an的前n项和为Sn，且a1=1，an+1+an=2n则()A.S6=18B.an=n,n为奇数n-1,n为偶数 C.数列 an为等差数列D.n为奇数时，Sn=n+n-122【答案】ABD【解析】对于A选项，S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=2 1+3+5=18，A对；对于B选项，因为a1+a2=2，则a2=2-a1=1，对任意的nN，由an+1+an=2n可得an+2+an+1=2 n+1，上述两个等式作差可得an+2-an=2，所以，数列 an中的奇数项成以1为首项，公差为2的等差数列，数列 an中的偶数项成以1为首项，公差为2的等

43、差数列，当n为奇数时，设n=2k-1 kN，则an=a2k-1=a1+2 k-1=2k-1=n，当n为偶数时，设n=2k kN，则an=a2+2 k-1=2k-1=n-1，综上所述，an=n,n为奇数n-1,n为偶数，B对；对于C选项，a3-a2=1a2-a1，故数列 an不是等差数列，C错；对于D选项，当n为奇数时，设n=2k-1 kN，则k=n+12，则Sn=S2k-a2k=a1+a2+a3+a4+a2k-1+a2k-a2k=2 1+3+2k-1-2k-1=2k 1+2k-12-2k-1=2k2-2k+1=2n+122-n+1+1=n22+12=n+n-122，D对.故选：ABD.14.(

44、20232023 湖南株洲湖南株洲 高三校联考期末高三校联考期末)已知数列 an满足a1=1，a1=1,an+1an2+an+1=an(nN),数列an前n项和为Sn，则下列叙述正确的有()A.an+1-an0B.a20230，归纳可得an0，an-an+1anan+1=an0,an+1-anan+1,数列 an单调递减，当 n=1 时，S1=1；当 n2 时，Sn=a1+a2+an1a2n+2，1a2n+1-1a2n2,，1a2n-1a212(n-1)1a2n2n-1，an12n-1，又1a2n+1=1an+an2=a2n+2+1a2n1a2n+3，1a2n+1-1a2n3，1a22-1a2

45、13，1a23-1a223,1a2n-1a2n-13，1a2n-1a213(n-1),1a2n13n-2，所以当n2时，13n-2an12n-1.故选项C错误；a202314045163，故选项B正确；故选：ABD.15.(20232023 春春 浙江浙江 高三校联考开学考试高三校联考开学考试)已知数列 an满足 an ean+1=ean-1，且 a1=1，Sn是数列an的前n项和，则()A.a2023a2022B.S20232C.a2021+a20232a2022D.a20230时，g(x)0,g(x)单调递减，当x0,g(x)单调递增.所以g(x)ex-1,所以aneanean-1,由h

46、x=ex-x-10,当x0时,ex-1x1因为a1=1，所以ea2=ea1-1a1=e-111,则a20,同理得a30,an0当an0时，eanean-1an=ean+1,anan+1；所以anan+1，所以数列 an单调递减.则a2023a2022,所以选项A正确.对于B：由前面得0an+112an只需证明an+1an12lnean-1anan12lnean-1an12anean-1ane12an，令b=ean，b-1lnbb12b12-b-12-lnb0,10，m bm 1=0成立所以an+112an，所以S2023a1+a2+12a2+122021a2=a1+2-122021a2=1+2

47、ln(e-1)-122021ln(e-1)2，所以选项B错误；对于C：an+1-an=ln ean-1-lnan-an，设an=x,x(0,1，设 f(x)=ln ex-1-lnx-x,x(0,1，则 f(x)=exex-1-1x-1=1ex-1-1xa2022-a2021，即2a2022a2021+a2023所以C错误对于D：一般地，证明：an23n-1只需证明an+1an23lnean-1anan23lnean-1an23anean-1ane23anx-1lnxx23x13-x-23-lnx0,1xe令k(x)=x13-x-23-lnx,x(1,e，则k(x)=13x1-13x3x-23x

48、-20，k(x)0，则a1+2a1-30，即a+2a-30，当a0时，a2-3a+20解得0a2；当a0，所以a3-a20即a3-a2=a2+2a2-30，又a0，所以a22-3a2+20即a22-3a2+2=a2-2a2-1=2a2-4a+2a2a2-5a+2a0；又因为a(0,1)(2,+)，易得2a2-4a+2=2(a-1)20所以，2a2-5a+2=(2a-1)(a-2)0，解得a2利用对勾函数性质可知，函数 f(x)=x+2x-3在 0,12(2,+)上满足 f(x)0恒成立，所以实数a的取值范围为a 0,12(2,+).故答案为：0,12(2,+)19.(20232023 全国全国

49、 高三对口高考高三对口高考)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 20dm 12dm 的长方形纸，对折 1 次共可以得到 10dm 12dm，20dm 6dm 两种规格的图形，它们的面积之和S1=240dm2，对折2次共可以得到5dm12dm，10dm6dm，20dm3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2=180dm2，以此类推，对折n次，那么S1+S2+Sn=_dm2【答案】720-15 n+32n-4【解析】由对折2次共可以得到5dm12dm，10dm6dm，20dm3dm三种规格的图形，所以对着三次的结果有：5212，56，103；2032，共

50、4种不同规格(单位dm2)；故对折4次可得到如下规格：5412，526，53，1032，2034，共5种不同规格；由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形，不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为120 dm2，第n次对折共有n+1种规格，其面积均为12012n-1，则对于第n次对折后的图形的面积之和Sn=120 n+12n-1，设S=nk=1Sk=120220+120321+120422+120 n+12n-1，则12S=120221+120322+120n2n-1+120 n+12n，两式作差得：12S=240+12012+122+12n-1-120 n+