统计信号处理(电子版).pdf

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1、统计信号处理 东南大学信息科学与工程学院 孟桥 参考书目：1）本讲义 2）管致中等 信号与线性系统下册 高等教育出版社 3）刘福声 罗鹏飞 统计信号处理 国防科技大学出版社 4）沈凤麟等 信号统计分析与处理 中国科技大学出版社 5）美Steven M.Kay 著 统计信号处理基础-估计与检测理论（中文版）电子工业出版社 第一章第一章 随机事件与随机变量随机事件与随机变量$1.1 概述概述 一、统计信号处理的研究的意义 1 研究的必要性 客观世界中干扰存在的必然性 传输信息的不可预知性 对客观时间认识的局限性 2 研究的方法 应用数理统计手段，提出一系列信号处理的手段和方法，对信号进行处理，完成

2、工程应用中的任务。3 应用领域 通信，雷达，声纳，地震，气象，电子仪器，生产，经济，二、统计信号处理的研究的内容 检测：从接受到的信号中，判别是否存在目标信号 估计：从接受到的信号中，估计出有关参数的值 参数估计 频谱估计 。滤波：从接受到的信号中，尽可能地排除干扰，恢复有用信息 识别：从接受到的信号中，识别出目标的类型 三、统计信号处理与确定信号处理的区别 研究的信号不同：确定性信号处理研究的信号具有确定的形式；统计信号处理研究的信号的形式不确定，只能用统计特性描述。研究的目标不同：确定性信号处理研究的系统的响应具有确定的形式，统计信号处理研究的系统的响应的形式不确定，只能用统计特性描述。分

3、析的方法不同：确定性信号处理可以通过求解微分或差分方程得到，统计信号处理得很多结论只能通过数理统计分析得到 研究的内容不同：由于干扰的存在，统计信号处理担负的任务要比确定性信号处理中的工作复杂得多，研究的内容也比之广泛。$1.2 随随机事件，随机变量与随机过程机事件，随机变量与随机过程 本节的内容是对概率论与数理统计中相关内容得复习 一、随机事件 1、定义：在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。几种特殊的事件 必然事件（）与不可能事件（）基本事件与复合事件 2、随机事件的运算 和运算（或运算）：或 差运算：积运算（与运算）：或 3、随机事件之间的关系 包含：等价：互斥:!对立：A 完备 4

4、、概率随机事件出现可能性大小的度量 41 定义 1）古典定义法：通过等概率基本事件的个数定义()AP A 包含的基本事件数基本事件的总数 2）统计定义：根据随机事件在试验中出现的次数 P()AA 事件在试验中出现的次数试验的总次数 42 概率的性质 1）0()1P A 2）()1P 3）()0P 4）()()()()P ABP AP BP AB 5）如果AB，则()()P AP B 6）如果AB，则()()()P B AP BP A 7）()1()P AP A 8）如果事件iA（1,2,.in）之间两两互斥，则11nniiiiPAA 9）如果事件iA（1,2,.in）之间互不相关，则11nni

5、iiiPAA 10）条件概率公式()(|)()P ABP A BP B（定义为在 B 事件发生的前提下 A 事件发生的概率）从这个公式中还可以引出 乘法公式：()(|)()(|)()P ABP A B P BP B A P A 贝叶斯公式：(|)()(|)()P B A P AP A BP B 例题：假设在某数字通信系统中，由于传输通道中的干扰，发送1信号而在接收端误接收到0的概率等于 a，发送0信号而在接收端误接收到1的概率同样等于 a。发送系统发出1和0的概率个为 50。现在在接收端接收到的信号为1，问在发送端发出信号是1的概率有多大？解：以 X 表示发送的数据，Y 表示接收到的数据。根据

6、题意，已知：aXYPXYP1|00|1 误码率 或：aXYPXYP11|10|0 上面这样的概率常常被称为先验概率；以及：5.010XPXP 现在要求出：1|1YXP？这种概率被称为后验概率 aXaPXPaXPaXPXYPXPXYPXPXYPYPYXPYXP101)1(1)1(00|111|111|111,11|1 思考：1、如果 a 变化，1|1YXP如何变化？2、如果0|1XYP和1|0XYP不相等，结果如何？3、如果系统发送1和0的概率不等，结果又如何？例题：假设在某种有关病症的医学化验中：A 表示诊断结论呈阳性（结论表明有病）A 表示诊断结论呈阴性（结论表明没有病）B 表示病人有病 B

7、 表示病人没有病 已知：95.0|BAPBAP，005.0BP。问：这种化验的有效率（ABP|）是多少？解：087.0995.0*05.0005.0*95.095.0*005.0|,|BPBAPBPBAPBAPBPAPBAPABP 二、随机变量 21 定义：将随机事件用一个实数表示，就构成了随机变量。随机变量与随机事件之间应该是一一对应的。随机变量可能直接含有物理意义。通过随机变量可以扩大随机事件的定义范围，易于定义无穷多的随机事件 连续随机变量：随机变量占有数轴上一个区间中所以可能的数值，其间隔可能中的任意一个实数都对应于一个随机事件；离散随机变量：随机变量只可能取数轴上某些间断的点上的值（

8、总数也可能有无穷多个）22 随机变量的概率分布函数 1）定义：()()F xPx 2）性质：（1）单调性：如果ab，则()()P aP b（2）lim()0 xF x，lim()1xF x+（3）右连续性(0)()F xF x 一般文献上用 p 表示概率密度函数，而用 P 表示概率。用 F（）来表示概率的分布（如果 P 是连续的）。23 随机变量的概率密度函数 1）定义：()()dp xF xdx 2）性质：（1）()0p x，xR （2）()1pd（3）()()xF xpd（4）假设21xx，则2121()()()xxpdF xF x 24 随机变量的数字特征 1）均值（统计平均值，数学期望

9、或期望）()XE Xx p x dx 2）方差：2222()XXEXXXXp x dx 显然这里的 3）矩：()()()E f xf xp x dx ()f xx时，相应的矩称为一阶矩，实际上就是均值；2()f xxX相应的矩称为二阶中心矩，实际上就是方差；()juxf xe，可以得到一个以 u 为自变量的函数，称为特征函数 25 常见随机变量的分布 1、正态分布 1）定义：222)(21)(axexp 2）特性：（1）xa，22x （2）高斯分布随机变量只和依然是高斯型的随机变量（3）中心极限定理：无穷多个相互独立的随机变量的和的分布一定满足高斯分布 3）高斯分布在工程应用中有很重要的作用

10、这种分布最常见 这种分布有利于数学推导 4）应用举例：电路中的热噪声等 5）正态随机变量常常被简单表示为：),(2mNX 其中m为正态随机变量的均值，2为随机变量的方差。2、均匀分布 1)定义：21211()0 xxxxxp x其它 2)特性：212xxx，2221()12xxx 3)应用举例：随机正弦信号的相位，ADC 的量化误差 3、瑞利分布 1）定义：22220()0 xxexp x其它 其实际意义为：两个均值为 0 方差为2的高斯随机变量的平方和。2）特性：2x，2222x 3）应用举例：射击时弹着点与靶心距离的分布；窄带随机过程的振幅的分布 三、多维随机变量 1、定义：用两维以上的变

11、量表示的随机事件 2、联合概率分布函数 1）定义：(,)(,)P x yP Xx Yy 2）性质：(1)0),(P，0),(yP,0),(xP (2)1),(0yxP (3)1),(P (4),(yxP不能随x和y的增加而减少(5),(),(),(),(),(111221222121yxPyxPyxPyxPyYyxXxP(6)(),(xPxPX,)(),(yPyPY 3、联合概率密度函数：1）定义：yxyxPyxp),(),(2 2）性质：(1)0),(yxp (2)1),(dxdyyxp (3),(),(2121yxPddpyx (4),),(21211221yYyxXxPdxdyyxpxx

12、yy 3）边界概率密度公式：dxyxpypdyyxpxpYX),()(,),()(4、条件概率公式与贝叶斯公式 000(,)(|)()p x yp x yyp y(|)()(|)()p x y p yp y xp x 5、统计独立 1）各个随机事件之间没有相互联系，互相不相关，则称两个事件统计独立。2）统计独立的另外一个定义：()()()P ABP A P B，或(,)()()p x yp x p y 3）根据统计独立的定义以及条件概率公式，可以得出：(|)()P A BP A A 事件出现的概率与 B 事件无关 或：(|)()p x yp x (|)()P BAP B B 事件出现的概率与

13、A 事件无关】或：(|)()p y xp y 6、多维随机变量的统计特性 1）矩：(,)(,)(,)E f x yf x y p x y dxdy 2）当(,)mnf x yx y的情况下：（1）当 m 和 n 其中一个为零，一个为 1 时，相应的矩就是随机变量 x 或 y的均值，记为x或y；（2）当1mn时，称为二阶联合矩或两个随机变量的相关，记为XYR a、如果0XYR，则称随机变量 x 和 y 正交-不相关 b、如果XYRx y，则称 x 和 y 统计独立“统计独立”和“不相关”两者之间不等价。但是：如果变量的分布是高斯的，则其“统计独立”与“不相关”之间一定等价。3）联合正态分布函数(

14、1)定义 设：YXX，YXX，YYYXXYXXCCCC,yxx 则：)()(212/1121),(XxXxTeyxpXY(2)如果随机变量X和Y不相关，即0YXXYCC，则协方差矩阵非对角线上的矩阵元素全为零，成为对角线矩阵：220000YXYYXXCC 此时有：22YX，22100YX 则其分布为：2222)()(2121),(YXYyXxYXXYeyxp(3)联合正态分布的随机变量的边界概率密度 22)(21221),()(XXxXXYXedyyxpxp 22)(21221),()(YYyYXYYedxyxpxp 联合正态分布的随机变量X和Y的一维边界概率密度函数也满足正态分布。(4)当X

15、和Y不相关时，有：)()(),(ypxpyxpYXXY 应用举例：电压表设计 图示一电压表电路，表头满程电流为 100A，表头电阻 1000。R 为扩程电阻。要求：制作一个满程为 10V 的直流电压表。但是：由于制造容差，扩程电阻扩程电阻的阻值不可能很精确，而是作随机分布的高斯型变量，其平均值等于其标称值，标准差分为标称值的 1。如果用了这样的电阻后，试问此电压表测量误差不超过 2%的概率是多少，不超过 3%的概率又是多少?解：按照电路理论，容易求得这个扩程电阻阻值应该为 46109.910001010010 现在假定从库房中随机选用阻值为 100K的电阻。由于制造容差，这些电阻的阻值不可能正

16、好都是 100K而是作随机分布的。根据题意，得知电阻的平均值和标准差分别为 100K和 1K。在外加电压为 10V 的条件下，电压表的读数误差直接产生于电路中电阻的误差。在没有误差的情况下电路的电流应该为100 A 如果电阻值偏小而导致电流增加 2，则会使电压读数增加 2%，此时的电阻值应该为：561097.0100002.11010010 同样，如果电压表的读数降低 2，则电阻的阻值应该等于 561001.1100098.01010010。所以，电压表的测量误差在 2以内的概率就应该等于电阻取值在51097.0到51001.1之间的概率：551001.11097.055)(1001.1109

17、7.0P2drrpRPR电压表误差小于 现已知)(rpR是高斯型随机变量 R 的密度函数，由其已给的平均值和标准差可知 625102)10(210001)(rRerp 所以：556251001.11097.0102)10(2100012drePr电压表误差小于 将此密度函数代入，不难用计算机或可利用归一化高斯分布函数表求出此积分。如何计算上面的积分？Step1：化为标准的归一化的高斯分布函数形式：xdex2221)(具体过程：56255625556251097.0102)10(1001.1102)10(1001.11097.0102)10(2100012100012100012dredredr

18、ePrrr电压表误差小于 而：)(2110001021210001)(1252)1010(1001.1102)10(1001.112123556255xderdedredrrpxxrrR 其中 110101001.13551x)(21)(221097.0215xdedrrpxR 其中 310101097.03552x Step 2：方法 1：查表 方法 2：计算机辅助计算 例如：在 Matlab 中，提供了函数：xdexerf022)(经过计算，可以得到：8413.0)1(,0013.09987.01)3(1)3(。由此可得所求概率为 8400.0)3()1(1001.11097.055RP

19、可见，电压表读数误差不超过 2%的概率为 84。用同样方法，可以计算出电压表读数误差不超过 3%的概率为 97.72%由此可见，扩程电阻的阻值虽然没有严格按计算值 9.9105选用，但由于阻值的随机分布性质，电表测量的精确度还是可以认为有一定程度的保证的。四、切比雪夫不等式 1、切比雪夫不等式：假设X是一个随机变量，其均值为xm，方差为2x。则对于任意大于零的，有：22xxmXP 证明：假设X的概率密度函数为)(xp，则：xmxmxxxxmXPdxxpdxxpmxdxxpmxxx22222)()()()()(或者：22xxmXP 命题得证。引理：221xxmXP 切比雪夫定理说明，随机变量的方

20、差表明了随机变量分布的集中程度。随机变量分布在其均值左右，其误差：超过的概率小于 1（useless）超过 2的概率小于41 超过 3的概率小于91 超过k的概率小于21k 这个概率也被称为切比雪夫界（Chebyshev Bound，CV）。它可以用于估计误差超过一定范围的概率的最大值。利用 CV，即使不知道随机变量的分布，也可以估计出随机变量的大致分布情况。2、非负的随机变量的误差界 对于一个非负的随机变量X，有：xmXP （0）证明：假设X的概率密度函数为)(xp，则：XPdxxpdxxxpdxxxpdxxxpmx)()()()(0 或者：xmXP 命题得证。例题：某电阻厂生产一种质量要求

21、不高的小阻值电阻，电阻存在一定的误差，其均值为 100。假设电阻值只要在 1000 以内就合格，问其不合格率最大为多少？解：根据上面的定理，有：10010000.11000 xmP X 既：无论电阻值的分布和方差怎样，其不合格率都不会超过 10%。在这个定理中，不仅可以不知道随机变量的分布，而且可以不知道其方差。第二章随机信号分析第二章随机信号分析 2.1 概述概述 一、概念与定义 随机过程是随机事件含义的进一步推广。在随机过程中，每一个事件再也不能用一个实数（或向量）来表示，而必须用一个时间变量函数 f(t)或者其它自变量的函数来描述。这可以被认为是概率事件的函数化。随机过程的样本空间由很多

22、函数组成；随机事件为其中的某一个函数；每个函数都有其出现的概率。在随机实验中，每次得到的结果都是样本空间中的一个函数，这被称之为随机过程的一个实现。二、随机过程的分类 按照信号的性质，随机过程可以分为：连续随机过程与离散随机过程。按照随机过程的随机特性，随机过程又可以分为：确定性随机过程与不确定性随机过程。此外随机过程还有其它分类方法。三、随机过程与随机变量的关系 随机事件随机变量随机过程：随机事件概念的进一步延伸。当固定观测时间 t 以后，此时的观测结果就是一个随机变量。2.2 随机过程的概率随机过程的概率 一、一维描述 用随机过程各个时刻观测到的随机变量的概率密度函数来描述：(;)p x

23、t【有些文献上记为：(|)p x t】优点：简单，方便 缺点：不能准确反映各个时间点上的随机变量之间的相互关系，不全面。二、多维描述 用多个时间点上的随机变量的联合概率密度函数来描述：1212(,.,;,.,)nnp x xx t tt 它可以描述多个时间点上随机变量之间的关系，点数 n 越大描述越全面。但是这是一个多变量的函数，显然比较复杂。当各个不同的时间点上取得的随机变量之间相互统计独立时，有：12121122(,.,;,.,)(;)(;).(;)nnnnp x xx t ttp x t p x tp x t 此时只要得到了一维分布就可以得到其任意 n 维分布。这种随机过程称为独立随机过

24、程。三、常见的随机过程概率分布：高斯分布，白噪声等。见下面各节专门介绍。2.3 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 随机过程是（时间的）函数，所以其数字特征往往也是一个（时间的）函数。一、均值()()(;)xm tE x txp x t dx 二、方差 222()()()()(;)xxxtEx tm txm tp x t dx 三、相关函数 1、自相关函数 212121212121),;,()()(),(dxdxttxxpxxtXtXEttRXX 性质：1）对称性：1221(,)(,)XXXXRt tRt t 2）22(,)()()XXXxRt ttmt 相关系数：121212(,)(,)(

25、)()XXXXxyRt tt ttt 2、互相关函数 dxdyttyxxyptYtXEttRXY),;,()()(),(212121 注意：互相关函数没有对称性。四、自协方差函数 2121212211221121),;,()()()()()()(),(dxdxttxxptXxtXxtXtXtXtXEttCXX 协方差系数：121212(,)(,)()()XXXXxyCt tt ttt 例 求随机过程)2cos()(tAtX的平均值和相关函数，其中A和分别是两个相互独立的随机变量。A 的均值为 0，方差等于2A；在20之间均匀分布。解：0)2cos()2cos()(tEAEtAEtXE )224

26、cos(212cos21)224cos()2cos(21)22cos()2cos()()(222tEtEAEttAEtXtXEA 其中：0)224cos(21)()224cos()224cos(20dtdpttE 所以：XXAXXRtXtXEttR2cos2)()(),(2 上述结果证明了这个随机过程的平均值不随时间变化，自相关函数只与时间差有关，是一个平稳随机过程（有关概率下节进行介绍）。相关函数的波形如图所示。这个随机过程的均值等于零，所以其自相关函数就等于其自协方差函数，2cos22AXXXXRC 此外，其方差为：22(,)2AXX XRt t (,)(,)cos 2t tt t 2.4

27、 平稳随机过程和各态历经过程平稳随机过程和各态历经过程 一、平稳随机过程 (a)自相关函数 (b)随机过程的部分样本 例题的自相关函数 1、定义：概率分布与时间起点无关的过程，即对于任意的t，有：);();(1111ttxptxpX),;,(),;,(21212121ttttxxpttxxpX),.,;,.,(),.,;,.,(21212121ttttttxxxptttxxxpnnnnX这样的过程有被称为严平稳随机过程或狭义随机过程。2、对于平稳随机过程 (;)(;)p x tp x tt(;)p x t与 t 无关，可以记为()p x()xm t也与 t 无关，可以记为xm ),;,(),;

28、,(21212121ttttxxpttxxpX),;,(2121ttxxpX只与12tt有关，与其绝对位置无关12(,)XXRt t只与12tt有关，或1212(,)()()XXXXXXRt tRttR 3、广义平稳过程：一维和二维概率分布函数与时间无关的过程。广义平稳过程包含严平稳过程。广义平稳过程的均值和自相关函数与时间无关。对于高斯随机过程而言，广义平稳与严平稳等价。4、平稳随机过程的性质：1）()XXmtm 2）1212(,)()()XXXXXXRt tRttR 3）()()XXXXRR 4）2(0)XXXR 5）()(0)XXXXRR 此性质可由 0)()(221tXtXE得到。对于

29、相关系数有：()(0)1 5、平稳随机过程的产生条件 产生平稳随机过程的系统的主要物理条件不随时间变化。大部分随机过程都满足这个条件。二、各态历经过程 1、定义：各态历经性：随机信号的时间平均等于统计平均。各态历经过程：具有各态历经性的平稳随机过程。随机样本的时间平均值用符号 A或表示，其定义为 TTTdtTA21lim 其中，随机变量的时间平均值为 TTTdttxTtxAx)(21lim)(和时间自相关函数)()()(txtxAXXTTTdttxtxT)()(21lim 各态历经过程一定是平稳随机过程；但是平稳随机过程未必是各态历经过程。例如：()x tA，其中 A 是一个随机变量。2、意义

30、：对于各态历经随机过程，可以采用时间平均替代其统计平均，通过一个样本就可以计算出其统计特性 TTTTTTdttxETdttxTExE)(21lim)(21lim XdtXTTTT21lim dttxtxETdttxtxTEtETTTTTTXX)()(21lim)()(21lim)()()(21limXXTTXXTRdtRT 在实际工程中，T 一般无法取得无穷大，只要足够大就可以了。思考：离散随机过程的时间平均定义和计算。3、各态历经过程的条件 随机过程满足各态历经性的条件很复杂。维纳证明：平稳随机过程具有各态历经性的充分条件：lim()0R。对于零均值高斯随机过程，该条件同时也是必要条件。2.

31、5 平稳随机过程的频域分析平稳随机过程的频域分析 一、随机信号的傅里叶变换 随机信号的傅里叶变换一般不存在 平稳随机过程是在时间上无始无终地向正负方向无限延伸的函数集合，若以其中一个样本函数 x(t)取绝对值x(t)进行积分，则积分值将无限趋大，不满足绝对可积条件。无法求傅里叶变换。即使取有限时间区间，从T到T进行积分，得到傅里叶变换 dtetxjXtjTTT)()(因为这里出现的 x(t)是哪一个样本函数是随机的，所以在为某定值时，)(jXT也是一个不确定的值，它也是一个随机变量，它的各统计平均量值一般很难计算。虽然随机过程的傅里叶变换不存在，但是它也可以用傅里叶变换进行分析，只不过这里要讨

32、论的信号的谱是功率谱密度函数。二、随机过程的功率谱 1、定义 令 xT(t)是从随机过程 X(t)的样本函数 x(t)截取一部分所形成的函数，定义为 值其它tTtTtxtxT0)()(当 T 值有限时，xT(t)绝对可积。当 T时，xT(t)x(t)。取 xT(t)的傅里叶积分 TTtjTTdttxdtetxXe)()()j(tj-根据帕色伐尔定理，xT(t)的能量为 djXdttxdttxWTTTT222)(21)()(对于时间间隔-T，T取上式的时间平均值，得 x(t)在此时段的平均功率 TTTTdttxTdttxTP)(21)(2122 dTjXT2)(212 但此平均功率只是由样本函数

33、的一段得出，在 T之前，它不能代表整个样本函数的平均功率；而且如前所述，x(t)只是过程的随机出现的一个样本函数，因此 PT是一随机变量。由此可见，欲求随机过程 X(t)的平均功率 PXX，则应求式的统计平均值，并求 T的极限值，即 dttXTEPEPTTTTTXX)(21limlim2 dttXETTTT)(21lim2 （1）dTXTT2)j(Elim212 （2）若将此频域积分的被积函数定义为随机过程 X(t)的功率谱密度 Sxx()，即 TXSTTXX2)j(Elim)(2 代入，则有 dffSdSPXXXXXX)2()(21 根据上式，可以看出()XXS具有单位频带内信号分量的功率的

34、意义，故被称为功率谱密度函数，或简称功率谱。3、性质：1）()0XXS 2）()()XXXXSS 4、功率谱与相关函数的关系维纳一欣钦定理 TXXTXSTTTTTXX2)j()j(Elim2)j(Elim)(*2 TTtTTTtjTTdtetXdtetXET2j21121)()(21lim 式中 t1和 t2是用来区别积分变量的，使在后面的推演中不致发生混淆。将上式改写成重积分，并变更积分和取统计平均的次序，则得 TT-1221)(j-)()(eE21lim)(12TTTTttTXXdtdttXtXTS TTTTTTttTdtdttXXT1221)-(j-)()(tEe21lim12 考虑到当

35、Tt 时，0)(tXT，所以 其它0,),()()(212121TttttRtXtXEXXTT 故可以将式中的关于变量2t的上下限改为正负无穷大而不影响结果，由此可得 TTTTttTXXdtdttXXTS1221)-(j-)()(tEe21lim)(12 对积分变量 t2进行代换，令12tt，代入上式，可得：ddttXXTdtdtXXTSTTTTTTTTTTXXj-111111j-e)()(tE21lim)()(tEe21lim)(当T时，),(R)()(tE11XX11tttXXTT。如果)(tX又是平稳随机过程，自相关函数只与其时间差有关，即)(R),(tRXX11XXt，则 dRddtR

36、TSXXTTXXTXXj-j-1e)(e)(21lim)(此式说明，平稳随机过程的功率谱密度是过程的自相关函数的傅里叶变换。三、各态历经的随机过程的功率谱 1212122*1122()1212111111()()()()()()()()()()()TTTj tj tTTjttTTttjTTjTTXjXjXjx t edtx t edtx t x t edt dtx t x tedt dx t x tdted 取其时间平均值：2111()21()()2TjTTXjTx t x tdtedT 2111()lim21lim()()2()()TTjTTTjXXXXXjTx t x tdtedTRedS

37、 2()()lim2TXXTXjST 对照功率谱密度的原来的定义：TXSTTXX2)j(Elim)(2 可见，对于各态历经随机过程，统计平均运算可以省略。通过一个样本可以计算出其功率谱。思考：这个等式中如何体现“功率”这个概念？四、互功率谱：1、定义：TjYjXSTTTXY2)()(Elim)(*TjXjYSTTTYX2)()(Elim)(*2、与互相关函数的关系)()()(XYjXYXYRFdeRS)()(21)(1XYjXYXYSFdeSR)()()(YXjYXYXRFdeRS)()(21)(1YXjYXYXSFdeSR 2.6 白噪声与高斯随机过程白噪声与高斯随机过程 一、白噪声 白噪声

38、是根据信号的频谱特性而定的。1、定义：均值为零，功率谱为0()SN的平稳随机过程 2、性质：10()()()RFTSN 10()()()0(0)RR 其他 通过协方差系数，可以看出白噪声各时间点的数值之间互不相关，可见它是由很多相互独立的随机脉冲组成。白噪声的功率为无穷大，在实际应用中并不存在。但是由于这种模型分析方便，且很多信号可以近似认为是白噪声，所以它在实际应用中由很大价值。二、高斯随机过程 高斯随机过程是从概率分布上定义的。1、定义：概率分布满足高斯分布的随机过程。1）一维分布：22()2()1(;)2()xxx mttxp x tet 2）二维分布：略。2、平稳高斯随机过程 2221

39、()2xxx mxp xe 对于高斯随机过程而言，广义平稳与严平稳等价。3、对于高斯随机过程而言，“统计独立”与“不相关”等价。三、白高斯随机过程 1、定义：服从高斯分布的白噪声。2、高斯白噪声的统计分布 高斯白噪声各个时间点上的随机变量的分布一定是统计独立的，212121211222(,.,|,.,)(|)(|).(|)12nixixnnnnxmnnxp x xxt ttp xt p xtp xte 3、高斯白噪声的频谱特征（这里指一般意义上的频谱）各个频谱分量的大小呈高斯分布 各个频率分量之间互不相关或统计独立 思考：高斯白噪声的功率谱怎样？四、窄带高斯随机过程 1、定义：功率谱只集中在某

40、固定频率0附近很小的频带内的随机过程。“小频带”指频带宽度比中心频率0小得多。一般认为在频带范围内得各个频率点上，功率谱大小相等 2、窄带高斯随机过程的表达式 实窄带随机过程：000()()cos()cossinriX tu tttutut 其中的()u t、()ru t、()iu t、()t都是随时间缓慢变化的随机过程。复窄带随机过程：00()()()()jttjtX tu t eu t e 3、窄带高斯随机过程幅度和相位的分布 可以证明：1）()ru t、()iu t满足高斯分布 2）()ru t、()iu t之间相互独立 由此可以得到：窄带高斯随机过程的幅度满足瑞利分布 窄带高斯随机过程

41、的相位满足均匀分布 4、窄带高斯随机过程的相关函数 窄带高斯随机过程的相关函数为 Sinc 函数 如果0，则其相关函数为余弦函数，见前面的例题。2.7 线性系统对平稳随机过程的响应线性系统对平稳随机过程的响应 一、线性系统对随机过程样本的相应 随机过程的每一个样本都是一个确定性的信号，线性系统对这个信号的响应可以沿用确定性信号分析的结论，例如：()()*()y te th t 但是对于随机过程而言，仅仅研究系统对一个或几个样本的响应是不够的，而计算系统对所有的样本的响应又是不可能的。必须有其他的方法。对于随机过程而言，一般不关心每个样本经过系统后的相应，而是关心经过系统后信号的统计特性的变化情

42、况。与系统的确定性信号响应求解方法一样，系统对随机信号的响应同样也可以用时域法和频域法（变换域法）求解。二、时域分析法 1、系统输出的均值 ()()()*()()()()()()yxm tE Y tE X th tEX thdE X thdmhd 可见，系统的输出均值是一个与时间无关的常数。2、系统输出的方差 22211122)()()()()()(dtXhdtXhEtYEtY 212121)()()()(ddhhtXtXE 设：)()()(2121XXRtXtXE 则：21212122)()()()()(ddhhRtYEtYXX 可见，系统的方差也是一个与时间无关的常数。3、系统输出的相关函

43、数)()(E),(tYtYttRYY 222111)()()()(dtXhdtXhE 212121)()()()(ddhhtXtXE 112221)()()(dhdhRXX 对此式中积分变量2进行置换，令12,2dd，则有 111)()()(),(dhdhRttRXXYY ddhhRXX111)()()(若令系统的滤波器自相关函数)(*)()()()(111hhdhhg 则)(*)()()(),(gRdgRttRXXXXYY)(*)(*)(hhRXX 可见，系统输出的自相关函数也是一个与时间起点无关的函数。综合上面的三个结论，可以得出：如果系统的激励信号是一个广义平稳随机过程，则系统的输出也是

44、一个广义平稳随机过程。4、系统输入信号与输出信号之间的互相关函数)()()(tYtXERXY dtXhtXE)()()(dhtXtXE)()()(dhRXX)()()(*)(hRXX 另一个互相关函数及 RYX(t)可以用类似的方法求得为)()(tYtXERYX dtXhtXE)()()(dhtXtXE)()()()(*)()()(hRdhRXXXX 可见 RYX()和 RXY()是不相等的，而且)()(YXXYRR。YYR与XYR和YXR的关系如下：)(*)(*)()(hhRRXXYY)(*)(hRXY)(*)(hRYX 5、线性系统对白噪声的响应 白噪声的均值为 0，自相关函数为)()()

45、(0NRRNNXX 将其输入系统后，1）输出信号的均值 0)0(HNY 即：系统的输出信号的平均值一定也等于零。2）输出信号的方差 2121212)()()(ddhhRYNN 2211210)()()(dhdhN 2220)()(dhhN dhN)(20 即：线性系统对白噪声过程响应的方均值正比于系统单位冲激响应平方的面积。3）输出信号的自相关函数：)()(*)()(*)()(00gNgNgRRNNYY 即：线性系统对白噪声过程响应的自相关函数正比于滤波器自相关函数。4）输出信号的互相关函数)(*)()(*)()(*)()(0hNhRhRRNNXXXY)(0hN 即：系统的输入和输出之间的互相

46、关函数正比于系统的冲激响应。例：试求如图示的简单 RC 滤波器对白噪声信号的响应（即输出信号的平均值、方均值、自相关函数等统计量）。解：该 RC 滤波器的冲激响应为)()(1)(1taeteRCthattRC 其中RCa1为 RC 滤波器的衰减常数，它等于此滤波器的 3dB 通频带dB3。根据公式，可以直接得到输出的平均值 0Y 2203002202NNadeaNYdBa 此式说明，滤波器输出的噪声平均功率正比于此滤波器的通带带宽。这一结论，对于更为复杂的滤波电路也是成立的，它在系统分析中有重要意义。该 RC 滤波器的自相关函数为 daeaegaa)()()()(deeaaa)()(22 当0

47、时，上式中的积分计算的积分区间下限可以改成 0；当0时，积分区间的下限可以改成。由此可以得到 020222022aaaaaaeadeeaeadeeag 或：aeag2)(图 141 简单 RC 电路 将其代入输出自相关函数计算公式，可以得 RC 电路的输出过程的自相关函数 aYYeaNR2)(0 此函数的图形如图所示。当0时，得2)0(0aNRYY，它等于式输出信号的方均值2Y,而这正符合自相关函数的性质。将 RC 电路的冲激响应代入，可以得到 RC 电路输入和输出之间的相关函数为：)()(0aXYaeNR 当0时，0)(XYR，这表明 RC 滤波器0t时刻的输入与0t以前系统的输出不相关。显

48、然，不仅是 RC 电路，所有的因果系统都具有这个特性。此外，根据公式)()(0hNRXY，可以得到系统的冲激响应的一种测量方法，框图如下：被测系统h(t)可调节延时器低通滤波器x(t)y(t)()x tz(t)Az(t)输入信号()x t是一个零均值的各态历经的白噪声。通过调节延时并计算其时间平均，可以得到系统的互相关函数()R，由此可以得到系统的冲激响应()h t。三、频域分析法 1、输出信号的均值 ()()(0)yxxm tmhdm H 2、输出信号的自功率谱 对输出过程自相关函数等式双方取傅里叶变换)(*)(*)()(hhRFRFXXYY 图 142 RC 电路的输出的自相关函数 所以，

49、2)()()()()()(jHSjHjHSSXXXXYY 此式说明，输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度与系统传输函数模量平方之乘积。这里的2)(jH被称为功率传输函数或功率转移函数。可以证明：)()(2gFjH 即：滤波器自相关函数与功率传输函数是一傅立叶变换对。3、系统输入和输出信号的互功率谱密度)()()(jHSSXXXY )()()(jHSSXXYX 例题例题 试用频域法求上例中所示 RC 滤波器的输出的功率谱及方均值。解：图示 RC 电路的传输函数是 jaaCRjjH11)(其中RCa1是电路的衰减常数。由此得此电路的功率传输函数 jaajaajHjHjH)()()(2 222

50、aa 白噪声的功率谱为一常数，即0)(NSNN，故得输出过程的功率谱密度为 22022)()()(aNajHSSNNYY 容易证明，此式就是式滤波器自相关函数的傅里叶变换。输出过程的方均值或平均功率为 daNaPYYY2202221 2arctan12002aNaaNa 例题例题，假设上题中 RC 滤波器的输入为：)()()(tNtStX 其中)(tS是一个具有随机初相位的余弦函数随机过程 tatS00cos)(这里为在区间0，2内作均匀分布的随机变量。)(tN为白噪声，其平均值为零，功率谱 密 度 为 常 数0)(NSNN。随 机 信 号)(tS和 噪 声)(tN间 不 相 关。随 机 过