西北工业大学《概率论与数理统计》6-3 参数的区间估计.pdf

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1、下下下下回回回回停停停停一、数学期望的置信区间一、数学期望的置信区间二、正态总体方差的区间估计二、正态总体方差的区间估计第三节参数的区间估计第三节参数的区间估计四、两个正态总体方差比的区间估计四、两个正态总体方差比的区间估计三、两个正态总体均值差的区间估计三、两个正态总体均值差的区间估计则称区间则称区间定义定义6.7定义定义6.7112212(,)(,)1.nnP XXXXXX=?样本样本.如果存在两个统计量如果存在两个统计量),(211nXXX?和和212(,)nXXX?，对于给定的，对于给定的(01),21未知参数，是来自总体未知参数，是来自总体),(21nXXX?X的样使得的置信度为为参

2、数的置信区间，的样使得的置信度为为参数的置信区间，1称为置信上限称为置信上限.2称为置信下限，设总体的分布函数为，为称为置信下限，设总体的分布函数为，为);(xFX 1一、数学期望的置信区间一、数学期望的置信区间一、数学期望的置信区间一、数学期望的置信区间X21 1.正态总体正态总体设总体的一个样本，则有设总体的一个样本，则有:(0,1)/XUNn=22(,),XN 的区间估计的区间估计.设是来自总体设是来自总体X),(21nXXX?则则uUP=12/其中为标准正态分布的上侧分位数其中为标准正态分布的上侧分位数.2/2u的方差已知，求的置信区间的方差已知，求的置信区间.已知，求总体均值已知，求

3、总体均值即若给定即若给定unXP=12/nuXnuXP=+=+12/2/05.0=则故的置信度为的置信区间为则故的置信度为的置信区间为:1+nuXnuX2/2/,，查正态分布表得，查正态分布表得96.1025.0=u，于是得，于是得信区间为信区间为:+nXnX96.1,96.1的置信度为的置信度为95%的置的置例例1例例1X)06.0,(N某车间生产的滚珠直径，现从某天生产的产品中抽取某车间生产的滚珠直径，现从某天生产的产品中抽取6个，测得直径分别为个，测得直径分别为(单位单位:mm).14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1试求平均直径置信度为试求平均直径置信度为95%的置

4、信区间的置信区间.，由样本值得，由样本值得解解置信度为置信度为,95.01=05.0=96.1025.02/=uu06.0,6,95.14=nx服从正态分布服从正态分布由公式有由公式有:置信上限置信上限15.1596.195.142/=+=+=+=+nnuX所以平均直径的置信度为所以平均直径的置信度为95%的置信区间为的置信区间为 14.75,15.15.若取，可算出的置信度为若取，可算出的置信度为99%01.0=的置信区间为的置信区间为.21.15,69.14置信下限置信下限75.1496.195.142/=nnuX备用题备用题备用题备用题2.正态总体的方差未知，求的置信区间2.正态总体的方

5、差未知，求的置信区间设总体一个样本，则有设总体一个样本，则有:22(,),XN 2X)1(/*=ntnSXTn从而对于给定的置信度，有从而对于给定的置信度，有 1 ntTP=1)1(2/的区间估计的区间估计.设来自总体设来自总体),(21nXXX?X的未知，求总体均值的未知，求总体均值其中是自由度为的分布关于的上侧分位数，于是有其中是自由度为的分布关于的上侧分位数，于是有)1(2/nt1 nt2/ntnSXPn=1)1(/2/*即即+nSntXnSntXPnn*2/*2/)1()1(故的置信度为的置信区间为故的置信度为的置信区间为 1+nSntXnSntXnn*2/*2/)1(,)1(例2例2

6、例2例22(,),N 2某糖厂用自动包装机装糖，设每包糖的重量服从正态分布工后测得某糖厂用自动包装机装糖，设每包糖的重量服从正态分布工后测得9包糖的重量分别为包糖的重量分别为(单位单位:kg)99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,置信区间置信区间.102.1,100.5试求每包糖平均重量的置信度为试求每包糖平均重量的置信度为95%的的解解 由题设知置信度，由题设知置信度，95.01=查查t306.2)8()1(025.02/=tnt未知未知.某日开分布表得某日开分布表得由样本观测值得则总体区间为由样本观测值得则总体区间为47.1,978.992*=nSxX*

7、/2/2(1),(1)nnxtnSnxtnSn+99.9782.3061.47/3,99.9782.3061.47/3=+=+91.100,046.99=的数学期望的置信度为的数学期望的置信度为95%的置信的置信备用题备用题备用题备用题二、正态总体方差的区间估计二、正态总体方差的区间估计二、正态总体方差的区间估计二、正态总体方差的区间估计2(,),XN 2,设总体差或标准差设总体差或标准差),(21nXXX?来自总体的一个样本，则有来自总体的一个样本，则有:X2*222(1)(1)nnSn=从而对于给定的置信度，有从而对于给定的置信度，有 12221/2/2(1)1Pn =的区间估计的区间估计

8、.设是未知，求总体方设是未知，求总体方故故nSnnSnPnn=1)1()1()1()1(22/1*222/*22从而从而:2 1 22/1*22/*22)1(,)1(nnSnSn而的置信度为的置信区间为而的置信度为的置信区间为:1 22/1*22/*22)1(,)1(nnSnSn的置信区间为的置信区间为:的置信度为的置信度为例3例3例3例3),(2N2从自动机床加工的同类零件中抽取从自动机床加工的同类零件中抽取16件，测得长度分别为件，测得长度分别为(单位单位:cm):12.15,12.12,12.01,12.08,12.09,12.16,12.06,12.13,12.07,12.11,12.

9、08,12.01,12.03,12.01,12.03,12.06假设零件长度服从正态分布零件长度方差的置信区间假设零件长度服从正态分布零件长度方差的置信区间.解解 由题意有由题意有05.0,95.01,16=n2，查，分别求和标准差的置信度为，查，分别求和标准差的置信度为95%分布表得，又分布表得，又26.6)15(,5.27)15(2975.02025.0=1112.08,niixxn=037.0)1(2*=nSn置信下限置信下限0013.05.27037.0)1()1(22/*2=nSnn置信上限置信上限0059.026.6037.0)1()1(22/1*2=nSnn故的置信度为故的置信度

10、为95%的置信区间为的置信区间为2,的置信区间为的置信区间为.0059.0,0013.0 077.0,036.0备用题备用题备用题备用题三、两个正态总体均值差的区间估计三、两个正态总体均值差的区间估计三、两个正态总体均值差的区间估计三、两个正态总体均值差的区间估计XY设设221122(,),(,),XN YN ),(121nXXX?为总体的样本，为总体的样本，为总体的样本，为总体的样本，X),(221nYYY?Y求的区间估计求的区间估计.21 由于统计量由于统计量)2(/1/1)()(212121+=nntnnSYXTw其中其中2)1()1(221*22*112122221122+=+=+=+

11、=nnSnSnnnSnSnSw是两个独立的正态总体，且与是两个独立的正态总体，且与于是，对于给定的置信度，有于是，对于给定的置信度，有 1 nntTP=+1)2(212/分布关于的上侧分位数分布关于的上侧分位数.t2/即即2121212/11)2()(nnSnntYXpw+nnSnntYXw=+=+111)2()(21212/其中是自由度为的其中是自由度为的)2(212/+nnt221+nn故的置信度为的置信区间为故的置信度为的置信区间为:21 1,11)2()(21212/nnSnntYXw+/2121211()(2)wXYtnnSnn+例4例4例4例4 机床厂某日从两台机床加工的零件中，分

12、别抽取若干个样品，测得零件的尺寸分别如下（单位机床厂某日从两台机床加工的零件中，分别抽取若干个样品，测得零件的尺寸分别如下（单位:cm）:A台台:6.2，5.7，6.5，6.0，6.3，5.8，5.7，6.0，6.0，5.8，6.0B台台:5.6，5.9，5.6，5.7，5.8，6.0，5.55.7，5.5 假设两台机器加工的零件尺寸均服从正态分布，且方差相等，取置信度为假设两台机器加工的零件尺寸均服从正态分布，且方差相等，取置信度为0.95，试求两台机器加工的零件平均尺寸之差的区间估计，试求两台机器加工的零件平均尺寸之差的区间估计.解解 设设A台机器加工的零件尺寸为总体，台机器加工的零件尺寸

13、为总体，B台机器加工的零件尺寸为总体查表经计算得两台机器加工的零件平均尺寸分别为台机器加工的零件尺寸为总体查表经计算得两台机器加工的零件平均尺寸分别为XY度度9,11,95.0121=nnt1009.2)18(025.0=t7.6,0.6=BAyx64.021122111=AniixnxSn24.022122222=BniiynySn分布表得，由题设知置信分布表得，由题设知置信则则21 12)1()1(21*22*1122+=+=nnSnSnSw0.640.240.22111192+=+=+5088.0,0912.0置信下限置信下限0912.091111)18(025.0=+=+wStYX置信

14、上限置信上限5088.091111)18(025.0=+=+wStYX故的置信度为故的置信度为95%的置信区间为的置信区间为21 的置信上下限分别为的置信度为的置信上下限分别为的置信度为备用题备用题备用题备用题四、两个正态总体方差比的区间估计四、两个正态总体方差比的区间估计四、两个正态总体方差比的区间估计四、两个正态总体方差比的区间估计XY设为总体由于统计量设为总体由于统计量X，为总体的样本，为总体的样本，Y),(222NY),(221nYYY?222121,，未知，未知.求此两个总体的方差比的区间估计求此两个总体的方差比的区间估计.2221)1,1(1222*121*222=nnFSSF21

15、1(,),XN ),(121nXXX?的样本，是两个独立的正态总体，且与的样本，是两个独立的正态总体，且与于是对给定的置信度从而可得于是对给定的置信度从而可得 1 )1,1()1,1(122/122/1 nnFFnnFP有有:)1,1()1,1(122/2221*2*1122/122nnFSSnnFP=1=1故故2221 1,)1,1(22*2*1122/1SSnnF 的置信度为的置信区间为的置信度为的置信区间为)1,1(22*2*1122/SSnnF例5例5例5例5X),(211NXY为了考查温度对某物体断裂强度的影响，在为了考查温度对某物体断裂强度的影响，在70与与80分别重复做了分别重复

16、做了8次试验，测得断裂强力的数据如下次试验，测得断裂强力的数据如下(单位单位:MPa):70：20.5，18.8，19.8，20.9，21.5，19.5，21.0，21.280：17.7，20.3，20.0，18.8，19.0，20.120.2，19.1假设假设70下的断裂强度用下的断裂强度用80下的断裂强度用度为下的断裂强度用度为90%的置信区间的置信区间.表示，表示，表示，表示，222(,)YN ，且试求方差比的置信度为，且试求方差比的置信度为YX与相互独立与相互独立.2221解解 由题设知置信度为查经计算得两正态总体的样本均值和样本修正方差分别为由题设知置信度为查经计算得两正态总体的样本

17、均值和样本修正方差分别为,8,9.0121=nnF分布表得分布表得79.3)7,7(05.0=F由分布分位数的性质得由分布分位数的性质得F2639.079.31)7,7(1)7,7(05.095.0=FF,4.20=x,4.19=y8286.0,8857.022*2*1=SS则的置信度为则的置信度为90%置信区间为置信区间为2221=8286.08857.079.3,8286.08857.02639.0 0515.4,2821.0=2222*2*1122/*2*1122/1)1,1(,)1,1(SSnnFSSnnF备用题备用题备用题备用题求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤(分三步分三步)

18、.，有于任意的知参数具有预先给定的高概率（置信度），即对它覆盖未置信区间是一个随机区间，有于任意的知参数具有预先给定的高概率（置信度），即对它覆盖未置信区间是一个随机区间 ,21.1)(21P=点估计不能反映估计的误差和精度点估计不能反映估计的误差和精度,因此，本节引入了区间估计因此，本节引入了区间估计.内容小结内容小结内容小结内容小结正态总体均值与方差的区间估计正态总体均值与方差的区间估计1.单个总体均值单个总体均值2.)1()2(.)1(2/*22/2ntnSXunXn未知，已知，未知，已知，的置信区间的置信区间2.单个总体均值的置信区间单个总体均值的置信区间.)1()1(,)1()1(2

19、2/1*22/*22 nSnnSnnn3.两个总体均值差两个总体均值差21 的置信区间的置信区间均为已知，和均为已知，和2221.2221212/+nnuYX为未知，但为未知，但222221,=.11)2(21212/+nnSnntYXw4.两个总体方差比两个总体方差比2221的置信区间的置信区间,21为未知总体均值为未知总体均值.)1,1(1,)1,1(1212/1*2*1212/*2*12222 nnFSSnnFSS某商店每百元投资的利润服从正态分布，某商店每百元投资的利润服从正态分布，,4.02=,，2均值为方差为其中现随机抽取的五天的利润率为均值为方差为其中现随机抽取的五天的利润率为-

20、0.2，0.1，0.8，-0.6，0.9，试求，试求,的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间为使的置信区间为使,的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间长度不超过的置信区间长度不超过0.4，则至少应随机抽取多少天的利润才能达到，则至少应随机抽取多少天的利润才能达到.解解 以以X表示每天的利润率，方差表示每天的利润率，方差2已知，则已知，则的置信区间为的置信区间为.,2/2/+nuXnuX例例1-1例例1-1由题意可得置信度为由题意可得置信度为/21.96u=.5,2.0,95.01=nx查标准正态分布表得故的置信水平为查标准正态分布表得故的置信水平为0.95的置信区间为的置信区间为 .7

21、54.0,354.0 当当n,05.0=未定时，置信区间长度为未定时，置信区间长度为nnuL04.096.1222/=由由0.4L，则，则46.3844.096.122=n.39 n所以所以例例1-2例例1-2,X.)(,)(2XDXE=X某单位要估计平均每天职工的总医疗费，观察了某单位要估计平均每天职工的总医疗费，观察了30天天,其总金额的平均值是其总金额的平均值是170元，标准差为元，标准差为30元，试决定职工每天总医疗费用平均值的区区间估计（置信水平为元，试决定职工每天总医疗费用平均值的区区间估计（置信水平为0.95）.解解 设每天职工的总医疗费为大样本，由中心极限定理得，设每天职工的总

22、医疗费为大样本，由中心极限定理得，),(2nN近似服从正态分布近似服从正态分布未知，用样本标准差未知，用样本标准差S近似代替近似代替.取统计量取统计量nSXU/=.)1,0(N近似服从正态分布对给定的置信水平近似服从正态分布对给定的置信水平 12/u,确定分位数使确定分位数使unSXP=1/2/故均值的置信水平为故均值的置信水平为 1.,2/2/+unSXunSX的区间估计为的区间估计为30,96.1,30,1702/=nuSx将代入上述区间得，将代入上述区间得，的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间是的置信区间是 .74.180,27.159两台机床生产同一个型号的滚珠，从甲机床生产的滚

23、珠中抽取两台机床生产同一个型号的滚珠，从甲机床生产的滚珠中抽取8个，从乙机床生产的滚珠中抽取个，从乙机床生产的滚珠中抽取9个，测得这些滚珠的直径（个，测得这些滚珠的直径（mm）如下）如下:甲机床甲机床:15.0，14.8，15.2，15.4，14.9，15.1，15.2，14.8乙机床乙机床:15.2，15.0，14.8，15.1，15.6，14.8，15.1，14.5，15.0（1）若两台机床生产的滚珠直径的标准差分别是）若两台机床生产的滚珠直径的标准差分别是24.0,18.021=21 ，求这两台机床生产的滚珠直径均值差的置信度为，求这两台机床生产的滚珠直径均值差的置信度为0.90的置信区

24、间的置信区间.例例4-1例例4-1（2）若）若=2121 0.15,0.1521=未知，求度为未知，求度为0.90的置信区间的置信区间.的置信（的置信（3）若两台机床生产的滚珠直径的均值分别是，求方差比）若两台机床生产的滚珠直径的均值分别是，求方差比2221的置信度为的置信度为0.90的置信区间的置信区间.（4）若）若21,未知，求方差比未知，求方差比2221的置信度为的置信度为0.90的置信区间的置信区间.解解0457.0,05.15,82*11=Sxn0575.0,9.14,92*22=Syn（1）当）当24.0,18.021=21 22221212/2/21212,.XYuXYunnnn

25、+时，信度为时，信度为0.90的置信区间为的置查标准正态分布表得的置信区间为的置查标准正态分布表得645.105.0=u，从而，从而018.02211212/=+=+nnuYX318.02221212/=+=+nnuYX故置信区间为故置信区间为 .318.0,018.0=2121（2）当未知时，的置信度为）当未知时，的置信度为0.90的置信区间为的置信区间为11)2()(21212/nnSnntYXw+,11)2()(21212/nnSnntYXw+式中式中2)1()1(21*22*1122+=+=nnSnSnSw486.0,7531.1)15(05.0=wSt,044.011)2(21212

26、/=+=+nnSnntYXw.344.011)2(21212/=+=+nnSnntYXw，则（，则（3）当）当21,已知时，已知时，2221的置信度为的置信度为 1的置信区间为的置信区间为295.0)9,8(1)9,8(,23.3)9,8(05.095.005.0=FFF,/)(),(/)(211222212/1121=niiniinYnnFnX12211121/212221()/(,)()/niiniiXnFnnYn=46.0)9.14(,34.0)0.15(912812=iiiiYX这里这里0.050.950.051(8,9)3.23,(8,9)0.295(9,8)FFF=从而得从而得2221的的0.90的置信区间为的置信区间为0.34/80.34/8,0.257,2.9183.23 0.46/9 0.295 0.46/9=21,2221（4）当未知时，的置信度为的）当未知时，的置信度为的0.90的置信区间为的置信区间为 )1,1(1,)1,1(1212/1*2*1212/*2*12222nnFSSnnFSS这里这里268.0)7,8(1)8,7(,50.3)8,7(05.095.005.0=FFF从而从而2221.965.2,227.0268.010575.00457.0,5.310575.00457.0=的的0.90的置信区间为的置信区间为