西北工业大学《概率论与数理统计》5-2 常用统计分布.pdf

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1、下下下下回回回回停停停停第二节常用统计分布第二节常用统计分布第二节常用统计分布第二节常用统计分布一、常见分布二、概率分布的分位数一、常见分布二、概率分布的分位数一、常见分布一、常见分布一、常见分布一、常见分布在实际中我们往往会遇到这样的问题在实际中我们往往会遇到这样的问题,要求有本节介绍一些最常见的统计分布要求有本节介绍一些最常见的统计分布.例如在无线电接收中，某时刻接收到的信号例如在无线电接收中，某时刻接收到的信号2XY=通常需要求出通常需要求出Y的概率分布的概率分布.关关随机变量的函数随机变量的函数的概率分布的概率分布.这个信号通过平方示波器，则是一个随机变量这个信号通过平方示波器，则是一

2、个随机变量X，若我们把，若我们把输出的信号为输出的信号为正态分布是自然界中最常见的一类概率正态分布是自然界中最常见的一类概率)(21222ZYXmS+=+=例如在统计物理中，若气体分子速度是随的分布规律例如在统计物理中，若气体分子速度是随的分布规律.),5.1,0(N),(ZYXV=各分量相互独立，且均服从机向量要求该分子运动动能的概率分布问题各分量相互独立，且均服从机向量要求该分子运动动能的概率分布问题.是关于这些正态随机变量的平方以及平方和高，体重等都近似服从正态分布是关于这些正态随机变量的平方以及平方和高，体重等都近似服从正态分布.常见的问题分布，例如测量的误差；人的生理尺寸：身常见的问

3、题分布，例如测量的误差；人的生理尺寸：身1.2 分布分布1.2 分布分布要求要求S的分布的分布,自然首先就要知道自然首先就要知道S中的随机变量中的随机变量222ZYX+的概率分布的概率分布.对于这种在实际中经常碰到的随机变量平方和问题，我们自然希望能够对其加以总结，卡方分布就是在类似的实际背景下提出的对于这种在实际中经常碰到的随机变量平方和问题，我们自然希望能够对其加以总结，卡方分布就是在类似的实际背景下提出的.中右端包含独立指中右端包含独立指222212nnXXX+=+=L(1)定义定义(1)定义定义自由度：自由度：的样是来自总体设的样是来自总体设)1,0(,21NXXXnL222212nn

4、XXX=+L本，则称统计量服从=+L本，则称统计量服从.2分布的自由度为分布的自由度为 n.变量的个数变量的个数定义定义5.6定义定义5.6=其它002212122xexnxpxnn)()(证证21 1(1),2 2 因为分布即为分布因为分布即为分布),1,0(NXi又因为又因为),1(22 iX由定义由定义21 1,1,2,.2 2iXin=L即=L即定理定理5.4定理定理5.42n 分布的概率密度:分布的概率密度:分布的概率分布分布的概率分布2)2(n,21相互独立因为相互独立因为nXXXL,22221也相互独立所以也相互独立所以nXXXL2211,.2 2nniinX=根据 分布的可加性

5、知=根据 分布的可加性知性质性质1独并且设独并且设21222121,),(),(YYnYnY)(2分布的可加性分布的可加性(此性质可以推广到多个随机变量的情形此性质可以推广到多个随机变量的情形)相互并且设相互并且设),2,1(),(2miYnYiiiL=分布的性质分布的性质2(3).(,21221nnYY+则立 则立).(,2121mmiinnnY+=L 则独立 则独立性质性质2.2)(,)(),(2222nDnEnnnn=则若则若证证所以因为所以因为),1,0(NXi,1)()()(22=+=+=iiiXEXDXExexXExid21)(2442+=)(2分布的数学期望和方差分布的数学期望和

6、方差 2032d22xex+=d32220202322xexexxx+=3=2242)()()(iiiXEXEXD=,213=),2,1(niL=niinXEE122)(故故=niiXE12)(,n=niinXDD122)(=niiXD12)(.2n=)1)(2=iXE性质性质3有则对任意设有则对任意设,),(22xnnnniinXXXX,6.521122L其中由假设和定义其中由假设和定义=证证22()1,()2(1,2,)iiE XD Xin=L=L2221lim.22txnnnPxedtn=且独立同分布因而独立且每个且独立同分布因而独立且每个,),1,0(22221niXXXNXLdtex

7、nnXPtxniin212221lim=由中心极限定理得由中心极限定理得n分布，也即当分布的极限分布是正态即分布，也即当分布的极限分布是正态即2).2,(),1,0(222nnNNnnnn进而服从很大时，进而服从很大时，2lim2xnnPnn 解解例例1例例1相互独立，且设相互独立，且设YXYNX,)2(),4,0(2.42的概率分布试求解的概率分布试求解YX+)1,0(2NX相互独立与且相互独立与且YX42).3(422YX+得+得，由可加性得又因为，由可加性得又因为)1(422X相互独立，所以且因为相互独立，所以且因为YXNX,(0,4)的一组为来自正态总体设的一组为来自正态总体设)1,0

8、(,621NXXXL例例2例例2使得求样本使得求样本21,CC2654322211)()(XXXXCXXCY+=+=),4,0(6543NXXXX+同理同理解解),2,0(21NXX+)1,0(2211NXXY+=则=则)1,0(465432NXXXXY+=则=则.2分布服从分布服从 221)2(XX+所以所以26543)4(XXXX+.41,2121=CC则则与又与又2211XXY+=Q465432XXXXY+=+=相互独立相互独立.2221YY+=+=)2(2 历史上，正态分布由于其广泛的应用背景增大而接近正态分布历史上，正态分布由于其广泛的应用背景增大而接近正态分布,样本均值的分布将随样

9、本量识，我们知道在总体均值和方差已知情况下，数据分析工作，对数据误差有着大量感性的认的酿酒化学技师样本均值的分布将随样本量识，我们知道在总体均值和方差已知情况下，数据分析工作，对数据误差有着大量感性的认的酿酒化学技师Cosset W S,他在酒厂从事试验在这样的背景下，十九世纪初英国一位年轻和良好的性质，曾一度被看作是他在酒厂从事试验在这样的背景下，十九世纪初英国一位年轻和良好的性质，曾一度被看作是“万能分布万能分布”，2.t分布分布2.t分布分布但是但是Cosset在实验中遇到的在实验中遇到的样本容量仅有样本容量仅有56样本曲线样本曲线Cosset正态曲线正态曲线个个，在其中他发现实际数据的

10、分布情况与正态分布有着较大的差异，在其中他发现实际数据的分布情况与正态分布有着较大的差异.Oxy于是于是Cosset怀疑存在一个不属于正态的其他分布，通过学习终于得到了新的密度曲线，并在怀疑存在一个不属于正态的其他分布，通过学习终于得到了新的密度曲线，并在1908年以年以“Student”笔名发表了此项结果，后人称此分布为笔名发表了此项结果，后人称此分布为“t分布分布”或或“学生氏学生氏”分布分布.YXnYNX,),(),1,0(2且设且设 t 分布又称分布又称学生氏学生氏(Student)分布分布.(1)定义定义(1)定义定义则称随机变量独立 则称随机变量独立,nYXT/=).(,ntTtn

11、记为分布的服从自由度为记为分布的服从自由度为定义定义5.7定义定义5.7.图分布的概率密度曲线如图分布的概率密度曲线如t显然图形是关于显然图形是关于+=nnnTD例例3例例3./91291=iiiiYXT）（且都服从相互独立和设总体）（且都服从相互独立和设总体9,0,NYX的样本，来自总体和的样本，来自总体和YXYYYXXX,921921LL求统计量求统计量T的分布，其中的分布，其中解解)1,0(NX从抽样分布知从抽样分布知，故而，故而)1,0(3/),9,0(NYNYii.9,2,1),1()3(22L=iYi 从而从而由可加性知由可加性知)9()3(2912 =iiY99222119(9)

12、19iiiiXXtYY=于是由=于是由t 的定义有即的定义有即).9(91291tYXTiiii=分布分布F3.(1)定义定义(1)定义定义相互独立，且设相互独立，且设YXnYnX,),(,)(2212则称随机变量则称随机变量21/nYnXF=分布，记为的服从自由度为分布，记为的服从自由度为Fnn),(21).,(21nnFF定义定义5.8定义定义5.8分布的概率密度为分布的概率密度为),()2(21nnF+=+其它+=+其它,00,1222)(2212112221212111ynynnnynnnnypnnnn分布有以下性质分布有以下性质F)3().,(1),(1221nnFFnnFF则若则若

13、1),2(,2)(222=nnnFE2)有对任意时则当设有对任意时则当设xnnnFF,4),(221 3)这说明这说明F分布的极限分布也是正态分布分布的极限分布也是正态分布.)4(,)4()2()2(2)(222212122+=+=nnnnnnnFDdtexFDFEFPtxn22121)()(lim=例例4例例4).,1(,8.522nFnYXT=有由定义有由定义有由定义因为有由定义因为7.5),(ntT).,1(),(2nFTntT试证已知试证已知证证,),(),1,0(2独立且其中独立且其中YXnYNX,),1(222独立与且从而独立与且从而YXX nYXT=例例5例例5所以因为所以因为,

14、),(mnFX.,),4)(,(11 DXEXnmnFX试求设试求设),(1nmFX 解解由由F分布的性质知分布的性质知,21=nnEX所以得所以得.)4()2()422(221+=+=nnmnmnDX二、概率分布的分位数二、概率分布的分位数二、概率分布的分位数二、概率分布的分位数使若存在使若存在,x =xXP(01),X 对于总体 和给定的=1)(即即u.2,的值可查得由附表给定的值可查得由附表给定 u则其上侧服从标准正态分布设则其上侧服从标准正态分布设),1,0(NX满足分位数满足分位数 u 105.0u025.0u根据正态分布的对称性知根据正态分布的对称性知.1 uu=,645.1=,9

15、6.1=1)(u0.950.975)05.0(=)025.0(=uOxy)(xy=u 1 1称满足条件对于给定的称满足条件对于给定的,10,时当时当2)()ttn 分布的上分位：分布的上分位：=)(d)()(nttthnttP .)()(分位点分布的上为的点分位点分布的上为的点 ntnt.分位点的值得上 分位点的值得上 1)(ntOxy)(xhy=)10(05.0t,8125.1=)15(025.0t.1315.2=(2)X的分布密度无对称性的情形的分布密度无对称性的情形:)()12n 称满足对于给定的正数称满足对于给定的正数,10,=)(222d)()(nyypnP.)()(22分布的上侧分

16、位数为的点分布的上侧分位数为的点nn)(2nOxy)(xpy=460时，可查表当时，可查表当n)8(2025.0)10(2975.0)25(21.0(表表4只详列到只详列到n=60 为止为止).,535.17=,247.3=.382.34=.2)(,2 unnnn+充分大时当+充分大时当例如：例如：05.0205.01202120)120(u+.5.145=费歇费歇(R.A.Fisher)公式：公式：.2)(602 unnnn+时，当+时，当.分位点是标准正态分布的上其中分位点是标准正态分布的上其中 u64.1240120+=)12,9(105.0F=：),()221nnF 等，对于等，对于1

17、.0,05.0,025.0,01.0=此外，还可利用关系此外，还可利用关系.),(1),(12211nnFnnF =.1 FF求得由求得由)9,21(59.0F如：如：8.21=.357.0=)30,14(05.0F.31.2=)8,7(025.0F,90.4=.85可直接查表可直接查表.),(1),(12211nnFnnF =证证),(1 211nnFFP =所以所以=nnFFP),(21nnFF因为因为,),(11 211 =nnFFP故故),(1 12nnFF因为因为,),(1 12 =nnFFP所以所以,),(),(11221-1nnFnnF =比较后得比较后得.),(1),(1221

18、1nnFnnF =即即内容小结内容小结内容小结内容小结1.三大抽样分布三大抽样分布:分布分布分布分布分布分布 ,2Ft 的定义的定义,性质性质.2.概率分布的分位数概念概率分布的分位数概念.=xXP的样本，为来自于正态总体设的样本，为来自于正态总体设),(),(21 NXXnL._)(122=niiX则则解解,1),1,0(niNXiL=.且它们独立且它们独立).()(2122nXnii=则则)(2n 例例1-1例例1-1备用题备用题备用题备用题例例1-2例例1-2）的样本，（来自正态分布设）的样本，（来自正态分布设221,0,NXXXnL.12的分布函数试求的分布函数试求=niiXY解解所以

19、所以Y的分布函数为的分布函数为)()()(2 yTPyYPyF=.22分布函数的表自由度为其中分布函数的表自由度为其中nn分布性质知则由令分布性质知则由令22,YT=2nT.0),(22=yyn 相应的由公式法可得，密度函数为相应的由公式法可得，密度函数为21222211()()2(/2)ynyp yen =21221,0.2(/2)ynnyeyn =.)()()(),(11=yfyfpYxfYxpX函数为密度的且单调连续，则函数为密度的且单调连续，则密度变换公式密度变换公式例例2-1例例2-12,SX)1(/)()()()1,0()()1,0()(2122=ntSXDnXCNXnBNXAni

20、i 态变量的线性为样本均值，由独立正因态变量的线性为样本均值，由独立正因X个样本，分别为样本均值与方差，则个样本，分别为样本均值与方差，则解解)1,0(nNX所以所以),0(nNXn相应的相应的设总体为标准正态分布，从中抽取设总体为标准正态分布，从中抽取n组合仍为正态随机变量组合仍为正态随机变量由卡方分布的定义有因为由卡方分布的定义有因为),1,0(NXi)(212nXnii =)1()1,0(22 nnSNXn 且因为且因为的独立性有与所以，由的独立性有与所以，由2nSXn)1()1/(12=ntnnSXnSXn综上可得综上可得,正确答案为正确答案为C.,),(),(222相互独立且设相互独

21、立且设YXnYNX 例例3-1例例3-1nYXT =试求=试求解解)1,0(),(2NXNX Q,),(222独立与则独立且又独立与则独立且又 YXYXnY).(/)/(/)(2ntnYXnYXT =由定义由定义5.7,.的概率分布的概率分布例例3-2 例例3-2 服从设是样本均值和方差，又和的样本，服从设是样本均值和方差，又和的样本，12+nnXSX),(221 NXXXn是来自正态分布，设是来自正态分布，设L111+=+=+nnSXXTnn相互独立，试求分布，且与相互独立，试求分布，且与nXXN,),(12L 的概率分布的概率分布.)1,0(21 nnNXXn+因为因为解解）（所以）（所以

22、1,0121NnnXXn+相互独立与且相互独立与且2211nnnSnnXX+)1(222 nnSn 又又)1(1112221+=+=+nnSnnnnSXXnnn故故.)1(nt例例3-3例例3-3YXTYNX=令设=令设),4(),1,0(2 _,=DTET则则.2124441)2(410221=TDDTTEET所以因为所以因为,)4(4/2tYXT=解解02/1例例3-4例例3-4分别来自正态总和设分别来自正态总和设nmYYXX,11LL且相互独立，试求和体且相互独立，试求和体),(),(2221NN为实数为实数,2)()(22212122nmnmnSmSYXT+=+=的概率分布的概率分布.

23、解解服从正态分布且独立，由于服从正态分布且独立，由于YX,),(),(2221nNYmNX所以所以),0(),0(2221nNYmNX因此因此由于独立正态变量的线性组合仍是正态变量由于独立正态变量的线性组合仍是正态变量由于独立正态变量的线性组合仍是正态变量由于独立正态变量的线性组合仍是正态变量)(,0()()(22221 nmNYX+整理得整理得整理得整理得)1,0()()(/12122NYXnmU +=+=0)()()(21=+=YXEYXE又因为又因为)()()(21 +=YXDYXD故故222)(nm+=+=)2(2222122+=+=nmnSmSV ),1(2212 mmS我们有我们有

24、且它们相互独立,再利用伽玛分布的可加性知由卡方分布的定义知且它们相互独立,再利用伽玛分布的可加性知由卡方分布的定义知)1(2222 nnS).2(2+=nmtnmVU注注注注本例要求两个正态总本例要求两个正态总本例要求两个正态总本例要求两个正态总体的方差相同体的方差相同体的方差相同体的方差相同!从而从而,由由t分布的定义有分布的定义有nmnmnSmSYXT2221212)()(22+=+=例例3-5例例3-5TNYX量且相互独立，试求统计设量且相互独立，试求统计设)1,0(,.YXT=的分布函数，其中=的分布函数，其中独立，且与因为独立，且与因为XNY)1,0(解解独立与），且（所以独立与），

25、且（所以2221YXY 故由故由t 的定义有的定义有)1(1/2tYXYXT=因而因而T 的分布密度为的分布密度为+=+=ttntp,)1(1)(12例例4-1例例4-1.1212+=nmniiniiXnXmF是来自，设是来自，设mnnnXXXX+LL11,的分试求的样本的容量为正态总体的分试求的样本的容量为正态总体FnmN,),0(2+解解）（）（因为）（）（因为mXnXnmniinii212221,+=+=nmniiniiXX1221相互独立，与且相互独立，与且布，其中布，其中).,(2122121212mnFmXnXXnXmnmniiniinmniinii +=+=+=+=所以所以例例4

26、-2例例4-2=niinnYYnSSXF12*21*222)(11,22其中其中),0(,211 NYYXn分别来自正态总体和设分别来自正态总体和设L求且相互独立的样本，试 求且相互独立的样本，试),(222 N的概率分布.的概率分布.解解解解)1(2212X)1()1(221222*2=nYYSnniin由卡方分布的定义有由卡方分布的定义有相互独立，与又因为相互独立，与又因为22*22)1(nSnX).1,1()1/()1(1/222*212212*222=nFnSnXSXFnn分布性质知由分布性质知由 F辛钦定理辛钦定理辛钦定理辛钦定理),2,1()(,21LLL=kXEXXXkn 望一分布，且具有数学期相互独立，服从同设随机变量望一分布，且具有数学期相互独立，服从同设随机变量.11lim,1=nkknXnP有则对于任意正数有则对于任意正数费歇资料费歇资料费歇资料费歇资料Ronald Aylmer FisherBorn:17 Feb 1890 in London,EnglandDied:29 July 1962 in Adelaide,Australia学生氏资料学生氏资料Born:13 June 1876 in Canterbury,EnglandDied:16 Oct 1937 in Beaconsfield,EnglandWilliam Sealey Cosset