概率论与数理统计强化讲义.pdf

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1、新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 考研数学概率论与数理统计强化讲义 主讲：张宇主讲：张宇 张宇：新东方在线名师，博士，全国著名考研数学辅导专家，教育部“国家精品课程建设骨干教师”，全国畅销书高等数学 18 讲、考研数学题源探析经典 1000 题作者，高等教育出版社全国硕士研究生入学统一考试数学考试参考书（大纲解析）编者之一，2007 年斯洛文尼亚全球可持续发展大会受邀专家（发表 15 分钟主旨演讲）首创“题源教学法”，对考研数学的知识结构和体系有全新的解读，对考研数学的命题与复习思路有极强的把握和预测能力，让学生轻松高效夺取高分 欢迎使用新东方在线电子教材 欢迎使用新

2、东方在线电子教材 目目 录录 第一讲 随机事件与概率.1 第二讲 一维随机变量及其分布.7 第三讲 多维随机变量及其分布.13 第四讲 数字特征.19 第五讲 大数定律与中心极限定理.27 第六讲 数理统计.31 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 1 第一讲第一讲 随机事件与概率随机事件与概率 综述综述 1正确理解概念，灵活使用公式 2用古典概型、几何概型、公式求复杂事件的概率 一、重要概念与公式一、重要概念与公式 1事件的关系与运算（1）样本空间（全集）其基本元素iw，叫样本点.（2）事件样本空间的子集：A、B、C、不可能事件 必然事件（3）完备事件组 iiA ，i

3、jAA（ij）（4）运算关系 ABAB，ABAB 2古典概型 若中有有限个、等可能的样本点，称为古典概型.()AP A 中样本点个数中样本点个数【例】设 5 封信投入 4 个信箱.求下列事件的概率：1A=1、2 号信箱中各有 1 封信 2A=某信箱中有 3 封信 3A=第 2 个信箱没有信 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 2 4A=仅有一个信箱没有信 3几何概型（1）引例 （2）定义 若是一个可度量的几何区域，且样本点落入中的某一可度量子区域A的可能性大小与A的几何度量成正比，而与A的位置与形状无关，称为几何概型.()P A A的度量的度量【例】在(0,1)内随机取

4、两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为 .4重要公式（1）对立 ()1()P AP A （2）减法 ()()()P ABP AP AB（3）加法 1）()()()()P ABP AP BP AB 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 3 2）()()()()()()()()P ABCP AP BP CP ABP BCP ACP ABC【注】超过三个的事件和的概率，一般附加“互斥”、“独立”条件.若1A，2A，nA(3)n 两两互斥，则11()()nniiiiPAP A.设1A，2A，nA.若对其中任意有限个1 iA，2iA，(2)ikA k，都有 1212()()

5、()()iiikiiikP A AAP A P AP A，则称1A，2A，nA相互独立.121213131232323123123()()()()()(),()()()()()()()P A AP A P AP A AP A P AA A AP A AP A P AP A A AP A P A P A相互独立.n个事件相互独立它们中任意一部分事件换成各自的对立事件所得n个新事件相互独立.若1A，2A，nA(3)n 相互独立，则 11111()1()1()1()11()nnnnniiiiiiiiiiPAPAPAP AP A （4）条件 ()()()P ABP A BP B，()0P B （5）乘

6、法 ()()(|)()(|)P ABP A P B AP B P A B 12312312121312()()()()()()P AA AP AA P A AAP A P A A P A AA（6）全集分解公式（全概公式）1）引例 一个村子 三个小偷 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 4 2）若试验分成两阶段（）选人（）去偷 如果0)(),(,1 ijiiniAPjiAAA，则对任一事件 B，有1niiBAB，1()()(|)niiiP BP A P B A.（7）贝叶斯公式（逆概公式）如果 0)(),(,1 ijiiniAPjiAAA，则对任一件事 B，只要 P(B

7、)0，有),2,1()|)()|()()|(1niABAPABPAPBAPiiniiii【例 1】下列说法，正确的是（）（A）已知1()()2P AP B，()1P AB，则AB （B）设()0P A，()0P B，则“A、B互斥”与“A、B独立”可同时成立（C）将一枚硬币独立掷两次，记1A=第一次正面，2A=第二次正面，3A=正、反面各一次，则1A，2A，3A相互独立.（D）袋中有 100 个球，40 白 60 黑，从袋中先后不放回取 100 次，则第 100 次取到白的概率为25 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 5 【例 2】以下结论，错误的是（）（A）任意事件

8、A、B、C均有()()()()()()1P ABP ACP BCP AP BP C（B）若()()P A BP A B，则()()P B AP B A（C）任意事件1A，2A，nA，均有 1212()()()()(1)nnP AAAP AP AP An（D）任意事件A、B均有1()()()4P ABP A P B 【例 3】在大街上随机采访 6 个人，求下列事件的概率：（1）至少一人在 6 月份出生；（2）恰有 4 人在第四个季度出生；（3）恰有 3 个人在同一月出生.【例 4】将 4 位考生的录取通知书随机装入 4 个印有他们名字的信封，求 4 封通知书全装错的概率.新东方在线 考研数学网络

9、课堂电子教材系列 概率论与数理统计 6 【例 5】设有 10 份报名表，3 女 7 男.现从中每次取一份，取后不放回，求下列事件的概率：（1）第 3 次取到女；（2）第 3 次才取到女；（3）已知前两次没取到女，第三次取到女.【例 6】设有三个地区各 10、15、25 名考生的报名表，其中女生表分别为 3、7、5 份.随机取一个地区的报名表，从中先后无放回取两份.（）求先取到的一份为女的概率；（）已知后取到的一份是男，求先取到的是女的概率.【例 7】有两批数量相同的灯泡，已知有一批全正品，另一批有14次品，34正品.现从两批产品中任取一个灯泡，经检验为正品，放回原处并在原所在批次再取一个灯泡，

10、求此灯泡是次品的概率.新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 7 第二讲第二讲 一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布 综述综述 1八个重要分布 2一维随机变量X与其分布函数()F x 3随机变量函数()Yg X的分布()F y 一、概念与八个分布一、概念与八个分布 1随机变量X与分布函数()F x 随机变量 随机变量就是“其值随机会而定”的变量设随机试验E的样本空间为，如果对每一个，都有唯一的实数()X与之对应，并且对任意实数x，:()Xx是随机事件，则称定义在上的实单值函数()X为随机变量简记为随机变量X一般用大写字母,X Y Z或希腊字母,来表示随机变量 分布函数

11、分布函数(),F xP Xxx 2离散型随机变量 定义 如果随机变量X只可能取有限个或可列个值12,x x，则称X为离散型随机变量.分布律 2121ppxxX(),F xP Xxx 步步高的阶梯型函数 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 8 3连续型随机变量 若存在非负可积函数()f x，使得任给(,)x 有()()xF xf t dt，则称X为连续型随机变量，()f x称为X的概率密度函数.4()()ipXF xf x()F x是某个随机变量X的分布函数1.2.()0,()13.FF 单调不减右连续 ip是分布律1.02.1iiipp()f x是概率密度函数1.()0

12、2.()1f xf x dx 5八个分布 0 1分布(1,)Bp 如果X的概率分布为 PPX101即(1)P Xp，(0)1P Xp，则称X服从参数为p的0 1分布，记为(1,)(01)XBpp 二项分布(,)XB n p1.2.()3.,P ApA A独立只有 如果X的概率分布为()(1),0,1,01kkn kknpP XkC ppknp，则称X服从参数为(,)n p的二项分布，记为(,)XB n p 几何分布()XG p 首中即停止 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 9 如果X的概率分布为1(),1,2,kkpP Xkqp k，01p，1qp，则称X服从参数为p

13、的几何分布，记为()XG p 超几何分布 N件产品，M件正品，无放回取n次，则取到k个正品的概率(),0,1,2,kn kMN MnMC CP XkknC 泊松分布()P 某时间段，某场合下，源源不断的质点来流的个数(),0,1,2,!kP Xkekk 强度，EX 均匀分布“几何概型”若1,()0,axbXf xba其他，则(,)XU a b.【注】高档次说法：“X在I上的任一子区间取值的概率与该子区间长度成正比”()XU I 指数分布 若,0,()0,0 xexXf xx，则()(0)XE.失效率，1()E X【注】1）()()P Xts XtP Xs 无记忆性 2）1,0,()0,0 xe

14、xF xx 3）几何分布离散型等待分布无记忆性指数分布连续型等待分布 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 10 正态分布 若22()21()2xXf xe，则2(,)XN.()1()xx ，1(0)2.特别地，当0，21时，(0,1)XN.22221(),21(),2xtxXxexXxedtx 二、综合题分析（1）概念（2）求随机变量的分布函数（3）求随机变量函数的分布函数 【例 1】下列说法，错误的是（）（A）随机变量1X、2X相互独立，11()XF x，22()XF x，则12()()F x F x必为 12max,X X的分布函数（B）若21()2()xXf xA

15、e，则12A（C）若1,01,32(),36,90,xXf xx其他，且23P Xk，则1k （D）若()XF x，()Xf x，且0 x 时，()f x连续，()()f xF x，(0)1F，则,0,()0,0 xexf xx 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 11 【例 2】设1X，1(1)8P X ，1(1)4P X.在11X 发生的条件下，X在(1,1)内任一子区间取值的条件概率与该子区间长度成正比，求X的分布函数()F x.【例 3】设一机器在任何长为t的时间内出故障的次数()N t服从参数为t的泊松分布.（）求相继两次故障之间的时间间隔T的分布函数()TF

16、 t；（）求在设备已无故障工作 8 小时的情形下，再无故障工作 8 小时的概率.新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 12 【例 4】若()XXfx，()Yg X，求()YYfy.【例 5】设1,10,21(),02,40,XxXfxx 其他，令2YX，求()YYfy.新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 13 第三讲第三讲 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 综述综述 1概念 2用分布求概率 3(,)Zg X Y，求Z的分布 一、概念一、概念 1联合分布 设(,)X Y为二维随机变量，对任意的实数x，y，称二元函数(,),F x yP Xx

17、Yy，x ，y 为二维随机变量(,)X Y的联合分布函数，简称为分布函数，记为(,)(,)X YF x y 2边缘分布 已知(,)F x y，(),XFxP XxP XxP Xx Y (,)lim(,)yF xF x y ()lim(,)YxFyF x y【注】离散型(,)ijX Yp（联合分布律）新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 14 (,)ijijP Xx Yyp X、Y的边缘分布分别为=,(1,2,)iiijijjjpP XxP Xx Yyp i=(1,2,)jiijipP Yypj 其“条件分布”为(,)()ijijijjjP Xx YypP Xx YyP Y

18、yp 条件=联合/边缘 连续型(,)(,)X Yf x y 联合概率密度 边缘概率密度()(,)Xfxf x y dy()(,)Yfyf x y dx 其条件概率密度为).0)()(),()|(|yfyfyxfyxfYYYX 3独立性,X Y独立(,)()()XYF x yFxF y ijijppp，任给i，j 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 15 (,)()()XYf x yfxfy 4两大分布 均匀分布 1,(,)(,)(,)0,(,)Dx yDSX Yf x yx yD 正态分布 1）若221212(,)(,)X YN ，10,X Y的边缘分布一定是正态分布；

19、20aXbY仍然服从正态分布；30独立不相关.2）若12,nX XX相互独立，且均服从正态分布，则12,nX XX的线性组合仍然服从正态分布.二、综合题解析二、综合题解析【例 1】一设备由两部件组成，以X、Y分别表示两部件寿命（单位：千小时）.0.50.50.5()1,0,0,(,)(,)0,xyx yeeexyX YF x y 其他 问X、Y是否独立？新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 16 【例 2】设1101111424X，2011122X，且12(0)1P X X.（）求1X、2X的联合分布律ijp；（）1X、2X独立吗？【例 3】设(0,1)XU，在(01)X

20、xx的条件下，Y在(0,)x内服从均匀分布，求（）联合概率密度(,)f x y；（）Y的边缘概率密度()Yfy；（）(1)P XY.新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 17 【例 4】设A、B为事件，1()4P A，1()3P B A，1()2P A B.令1,0,AXA发生，发生，1,0,BYB发生，发生 求：（）,X Y的联合分布律ijp；（）22ZXY的分布律.【例 5】设1,01,02,(,)(,)0,xyxX Yf x y其他 求：（）边缘概率密度函数()Xfx，()Yfy；（）2ZXY的概率密度函数()Zfz.新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论

21、与数理统计 18 【例 6】设,X Y相互独立，1()3P Xi，1,0,1i .1,01,()0,YyYfy其他，记ZXY，求Z的概率密度函数()Zfz.新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 19 第四讲第四讲 数字特征数字特征 综述 综述 1求数字特征：EX、DX、(,)Cov X Y、XY 2应用 一、概念 一、概念 1数学期望（E）与方差（D）（1）期望定义 1）iXp，iiiEXx p 2）()Xf x，()EXxf x dx 3）iXp，()Yg X，()iiiEYg x p 4）()Xf x，()Yg X，()()EYg x f x dx 5）(,)ijX

22、Yp，(,)Zg X Y，(,)iiijijEZg x y p 6）(,)(,)X Yf x y，(,)Zg X Y，(,)(,)EZg x y f x y dxdy （2）方差定义 2()DXE XEX 1）定义法 102()iiiDXxEXp 202()()DXxEXf x dx 2）公式法 22()DXEXEX 若EX，DX已知，则22()EXEXDX 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 20 （3）性质 1）Eaa，()E EXEX 2）()E aXbYaEXbEY，11nniiiiiiEa Xa EX 3）若X、Y相互独立，则EXYEX EY 4）0Da，()

23、0D EX，()0D DX 5）若X、Y相互独立，则()D XYDXDY 6）2()D aXba DX 7）一般地，()2(,)D XYDXDYCov x y 111()2(,)nniiijiiij nDXDXCov X X 8）2()DXE XC，C【注】记住如下EX，DX 0 1分布 EXp，(1)DXpp(,)XB n p EXnp，(1)DXnpp()XP EX，DX()XGe p 1EXp，21pDXp ,XU a b 2abEX，2()12baDX()XE 1EX,21DX 2(,)XN EX,2DX 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 21 2协方差(,)

24、Cov X Y与相关系数XY（1）(,)Cov X YEXYEX EY 1）定义法(,)(,)()()ijijijjiX YpCov X YxEXyEY p(,)(,)(,)()()(,)X Yf x yCov X YxEXyEY f x y dxdy 2）公式法(,)Cov X YEXYEX EY(,)Cov X XDX；(,)0Cov X YEXYEX EY；()(,)0D XYDXDYCov X Y（2）(,)XYCov X YDXDY 0,X Y不相关；0,X Y相关.如：设1 1(,)2 2XU，cosYX，求XY.【注】XY常称为“线性相关系数”，刻画,X Y间的线性相依程度，不刻

25、画其“一般”函数关系.1XY（3）性质 1）(,)(,)Cov X YCov Y X 2）(,)(,)Cov aX bYabCov X Y 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 22 3）1212(,)(,)(,)Cov XX YCov X YCov X Y 4）1xy 5）1()1(0)xyP YaXba；1()1(0)xyP YaXba 考试时：YaXb，0a 1XY；YaXb，0a 1XY.【小结】五个充要条件：0XY(,)0Cov X Y EXYEX EY()D XYDXDY()D XYDXDY 若,X Y相互独立，则可推出上述五个结论；但反过来，不成立.若(,)

26、X Y服从二维正态分布，,X Y相互独立0XY.二、综合题解析 二、综合题解析【例 1】设EX，0，常数C，证明：22()()E XCE XDX.【例 2】试验成功的概率为34，失败的概率为14.独立重复试验直到成功两次为止，求试验次数X的期望EX.新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 23 【例 3】T为连续型，0t，01，,0，满足()(1)ttP Ttee，求ET，DT.【例 4】设,X Y相互独立，1(0,)2XN，1(0,)2YN，求D XY.新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 24 【例 5】(,)X Y ，则22(,)Cov XY .

27、【例 6】将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上、反面向上的次数，则 XY .【例 7】0.9XY，0.4ZX，YZ .【例 8】n个考生的录取通知书装入n个信封，然后在每个信封上随意写上一个考生的姓名、地址发出.以nS表示n个考生中收到自己通知书的人数，求nDS.新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 25 【例 9】设()Xf x，EX，DX存在，证明：0，2()DXP XEX.【例 10】设2EXEY，1DX，4DY，0.5XY，则根据切比雪夫不等式，知(6)P XY .新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 26 【例 11】截至 201

28、0 年 10 月 25 日，上海世博会参观人数超过 7000 万人.游园最大的痛苦就是人太多.设游客到达中国馆有三条路径.沿第一条路走 3 小时到达；沿第二条路走 5 小时又回到原处；沿第三条路走 7 小时又回到原处.游客等可能选其一种路径，求游客平均要用多少时间到达中国馆？新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 27 第五讲第五讲 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 综述综述 1依概率收敛 2三大定律，两大定理 一、依概率收敛一、依概率收敛 设nX为一随机变量序列，X为一随机变量（或a为常数）.若0，恒有lim()1nnP XX或lim()1nnP Xa，则称n

29、X依概率收敛于X（或a），记PnXX（或a）.【例】设nX，22()(1)nnnXfxn x，x ，证明：0PnX .二、大数定律二、大数定律 1切比雪夫大数定律 设nX是相互独立的随机变量序列，若方差kDX存在且一致有上界，则 1111nnPiiiiXEXnn 2伯努利大数定律 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 28 设nu是n重伯努利试验中事件A发生的次数，在每次试验中A发生的概率为p，则 Pnupn 3辛钦大数定律 设nX是独立同分布的随机变量序列，若nEX存在，则11nPiiXn.【例 1】设12,nX XX是相互独立的序列，()nXXEn，则下列序列中不服从

30、切比雪夫大数定律的是（）（A）1211,2nXXXn （B）12,nX XX（C）12,2,nXXnX （D）2212,2,nXXn X 【例 2】设序列12,nX XX相互独立，根据辛钦大数定律，当n 时，11niiXn依概率收敛于其数学期望，只要nX（）（A）有相同的数学期望 （B）服从同一离散型分布（C）服从同一泊松分布 （D）服从同一连续型分布 【例 3】设(2)XXE，12,nX XX独立同分布于(2)XE，则当n 时，新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 29 211nPniiYXn .三、中心极限定理（三、中心极限定理（n ）【定理】(列维林德伯格中心极限定

31、理，即独立同分布中心极限定理)假设,1nXn 是独立同分布的随机变量序列，如果 nEX，20nDX(1n)存在，则,1nXn 服从中心极限定理，即对任意的实数x，有 1121lim ed().2nixxinXnPxt xn【定理】(棣莫弗拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态分布为其极限分布定理)假设随机变量(,)nYB n p，(01p，1n)，则对任意实数x，有/21lim ed().(1)2xxnnYnpPxt xnpp【例】设12,nX XX为独立同分布的随机变量序列，且均服从参数为（1）的指数分布.记()x为标准正态分布函数，则（）（A）1lim()()niinXnPxxn （B）1

32、lim()()niinXnPxxn 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 30 （C）1lim()()niinXnPxxn （D）1lim()()niinXPxxn 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 31 第六讲第六讲 数理统计数理统计 综述 综述 1统计量的分布（正态分布、2分布、t分布、F分布）2求统计量的数字特征 3估计与评价 一、总体与样本一、总体与样本 1总体 研究对象的全体称为总体，组成总体的每一个元素称为个体在对总体进行统计研究时，我们所关心的是表征总体状况的某个(或某几个)数量指标X(可以是向量)和该指标在总体中的分布情况 我们把

33、总体与数量指标X可能取值的全体所组成的集合等同起来，或直接将总体与随机变量 X 等同起来，说“总体X”所谓总体的分布就是指随机变量X的分布 2样本简单随机样本（独立同分布）n个相互独立且与总体X具有相同慨率分布的随机变量12,nX XX的整体 12(,)nX XX称为来自总体X，容量为n的一个简单随机样本，简称为样本 二、统计量二、统计量 设1(,)nXX为总体 X 的样本，1(,)g xx为n元函数，如果g中不含任何未知参数，则称1(,)ng XX为样本1(,)nXX的一个统计量若1(,)nxx为样本值，则称1(,)ng xx为1(,)ng XX的观测值 常用统计量 常用统计量 1、样本均值

34、iniXnX11 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 32 2、样本方差11)(11212212XnXnXXnSniiini 样本标准差21)(11XXnSini 三、四大分布 三、四大分布 1正态分布2(,)XN EX，2DX 标准化 2(0,1)XN 若()P uu，称u为上分位数.（2Xu）22分布 若随机变量1(,)nXX独立同分布于标准正态分布，则随机变量21iniXX服从自由度为n的2分布，记为2()Xn.若2()P Xn，则称2()n为上分位数.EXn，2DXn 3t分布 若(0,1)XN，2()Yn，且X，Y相互独立，则()/Xtt nY n.若()P

35、ttn，则称()tn为上分位数.4F分布 若21()Xn，22()Yn，X，Y独立，则1122/(,)/XnFF n nY n.2211/1(,)/Y nF n nFXn 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 33 四、正态下的常用分布 四、正态下的常用分布 设1,nXX独立同分布于正态分布2(,)N，11niiXXn，2211()1niiSXXn X与2S独立，且EX，21DXn，22ES.(0,1)/XNn （2已知）/XSn （2未知）【例】设一批零件的长度服从正态分布2(,)N，其中2,均未知，现随机抽取 16个零件，测得x=20（cm），s=1（cm），则的置信

36、度为 0.90 的置信区间为 .新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 34 五、单独讨论四大分布（五、单独讨论四大分布（N，2，t，F）的构成）的构成 iX独立同分布于(0,1)N221()niiXn(0,1)XN，2()Yn，X，Y相互独立()/Xt nYn 21()Xn，22()Yn，X，Y相互独立1122/(,)/XnF n nY n【例】设X，Y相互独立且服从于正态分布2(0,3)N，19,XX和19,YY分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量192219XXUYY .六、统计量的数字特征 六、统计量的数字特征 12(,)nYg X XX【例】设12,(2)

37、nX XXn来自标准正态分布总体的简单随机样本.记11niiXXn，iiYXX，1,2,in.求（）iDY，1,2,in；（）1(,)nCov Y Y；（）1(0)nP YY.新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 35 七、点估计与评价标准 七、点估计与评价标准 1矩估计 对于一个参数，令XEX，即11()()iiiiniiiix pXpXnxf x dxXf x 对于两个参数：10令XEX；20令2211niiXEXn或211()niiXXDXn【例 1】设(1),01(,)0,xxXf x其他，求的矩估计量.新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计

38、36 【例 2】设总体1()1,(,)0,xexXf xx，0，由样本12,nX XX，求，的矩估计量.2最大似然估计 引例 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 37 求解步骤：（1）写出似然函数：1121(,)(,)(,)niinniip xL x xxf x（2）令0dLd或ln0dLd 当()L单调时，用定义.【注】若为1212(,)nL x xx，令10L，20L（或1ln0L，2ln0L）【例 1】设X的分布律为2201232(-)1 2X1，其中1(0)2为未知参数.利用总体X的如下样本值：3，1，3，0，3，1，2，3，求的矩估计值和最大似然估计值.新东方

39、在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 38 【例 2】设1(),(,)0,xXF xxx，其中参数0，1.设 12,nX XX为来自总体X的简单随机样本.（）当1时，求的矩估计量；（）当1时，求的最大似然估计量；（）当2时，求的最大似然估计量.【例 3】设0,XU，0为未知参数，求的最大似然估计量.新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 39 3估计量的评价标准【引例】设0,XU，求的矩估计量、最大似然估计量.无偏性 若参数的估计量对一切 n，n有,)(E则称为的无偏估计量，否则称为有偏估计量 有效性 若1与2均为的无偏估计量，当12DD时，1比2有效.一致

40、性（相合性）（只针对大样本n）设为的估计量，如果对任意0，有lim()0nP或lim()1nP即()Pn，则称为的一致估计量(或相合估计量)新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 40 【例 1】设总体2()2,(,)0,xexXf xx，其中0，为未知参数，从总体中取简单随机样本12,nX XX，记12(1)min,()nXXXX.（）求()XF x；（）求()F x；（）若用作为的估计量，讨论它是否具有无偏性.【例 2】设21,0,(,)0,0 xexXF xx，其中是未知参数，0.12,nX XX为来自总体X的简单随机样本.（）求EX与2EX；（）求的最大似然估计量；

41、新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 41 （）是否存在实数a，使得对0，都有lim()0nPa？八、假设检验 八、假设检验 1回顾 2()1P Xun （2已知）2()1SP Xtnn （2未知）2已知说法：0H：0，1H：0【注】若()P A（显著性水平，人为取0.1，0.05,0.01，）称A为小概率事件，我们认为，小概率事件在一次试验中是不会发生的.若发生了，则拒绝原假设.设总体2(,)XN，2已知，未知 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 42 0H：0，1H：0，构造一个水平为的检验 2未知，其他同，构造一个水平为的检验 总体2(,)X

42、N，2已知，未知 100H：0，1H：0，构造一个水平为的检验 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 43 200H：0，1H：0，其他同，构造一个水平为的检验 10若2未知，其他同10 0H：0，1H：0 20若2未知，其他同20 0H：0，1H：0 【例】已知某机器生产出的零件长度X（cm）服从正态分布2(,)N，2均未知，新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 概率论与数理统计 44 现从中取容量16n 的一个样本，测得10 x（cm），20.1 6s，0.025(15)2.132t.（）求均值的置信度为 0.95 的置信区间；（）在0.05下，检验0H：9.7，1H：9.7.