数理统计基本概念.pdf

《数理统计基本概念.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数理统计基本概念.pdf（54页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第二章第二章数理统计的基本概念数理统计的基本概念作出精确而可靠的结论作出精确而可靠的结论.数理统计可以分为数理统计可以分为两大类两大类：一类是如何科学地安排试验，一类是如何科学地安排试验，-描述统计学如：试验设计、抽样方法。描述统计学如：试验设计、抽样方法。另一类是研究如何分析所获得的随机数据，另一类是研究如何分析所获得的随机数据，对所研究对所研究的问题进行科学的、合理的估计和推断，的问题进行科学的、合理的估计和推断，尽可能地尽可能地为为采取一定的决策提供依据，采取一定的决策提供依据，-推断统计学，推断统计学，如：参数估计、假设如：参数估计、假设 检验等。检验等。以获取有效的随机数据。以获取有

2、效的随机数据。数理统计数理统计100100个样品进行强度测试，于是面临下列几个问题：个样品进行强度测试，于是面临下列几个问题：例如例如 某厂生产一型号的合金材料，某厂生产一型号的合金材料，用随机的方法选取用随机的方法选取1、估计这批合金材料的强度均值是多少、估计这批合金材料的强度均值是多少?(参数的点估计问题）参数的点估计问题）2、强度均值在什么范围内？、强度均值在什么范围内？(参数的区间估计问题）参数的区间估计问题）3、若规定强度均值不小于某个定值为合格，那么这、若规定强度均值不小于某个定值为合格，那么这批材料是否合格？批材料是否合格？(参数的假设检验问题）参数的假设检验问题）4、这批合金的

3、强度是否服从正态分布？、这批合金的强度是否服从正态分布？5、若这批材料是由两种不同工艺生产的，那么不同、若这批材料是由两种不同工艺生产的，那么不同的工艺对合金强度有否影响？的工艺对合金强度有否影响？若有影响，那一种工艺若有影响，那一种工艺生产的强度较好？生产的强度较好？(分布检验问题）分布检验问题）(方差分析问题）方差分析问题）6、若这批合金、若这批合金由几种原料用不同的比例合成，那么由几种原料用不同的比例合成，那么如何表达这批合金的强度与原料比例之间的关系？如何表达这批合金的强度与原料比例之间的关系？(回归分析问题）回归分析问题）我们依次讨论参数的点估计、区间估计、假设检验、我们依次讨论参数

4、的点估计、区间估计、假设检验、方差分析、回归分析方差分析、回归分析下面引入一些数理统计中的术语。下面引入一些数理统计中的术语。二、统计量二、统计量一、总体与样本一、总体与样本抽样和抽样分布三、几个常用的分布三、几个常用的分布四、正态总体统计量的分布四、正态总体统计量的分布1.1.总体总体研究对象的某项数量指标值全体称为研究对象的某项数量指标值全体称为总体总体个体个体总体中每个成员（元素）总体中每个成员（元素）研究某批灯泡的质量研究某批灯泡的质量总体总体考察国产考察国产 轿车的质量轿车的质量总体总体一一 总体和样本总体和样本破坏性的试验更是不允许对整个总体进行考察破坏性的试验更是不允许对整个总体

5、进行考察.考察某工厂生产的灯泡寿命考察某工厂生产的灯泡寿命考察某型号手机的质量考察某型号手机的质量考察吸烟和患肺癌的关系考察吸烟和患肺癌的关系在实际问题中，在实际问题中，要考察整个总体往往是不可能的，要考察整个总体往往是不可能的，因为它需要耗费太多的资源和太多的时间因为它需要耗费太多的资源和太多的时间.有些有些2.2.样本样本样本中所包含的个体数目称为样本容量样本中所包含的个体数目称为样本容量.从国产轿车中抽从国产轿车中抽5 5辆进行耗油量试验。辆进行耗油量试验。样本容量为样本容量为5 5。为了推断总体分布及各种特征，为了推断总体分布及各种特征，一个可行的办法一个可行的办法是从该总体中按一定的

6、规则抽取若干个个体进行观察是从该总体中按一定的规则抽取若干个个体进行观察和试验，和试验，以获得有关总体的信息以获得有关总体的信息.这一抽取过程称为这一抽取过程称为“抽样”，抽样”，所抽取的部分个体称为样本所抽取的部分个体称为样本.方法方法.由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体，为了使抽取的样本能很好地反映总体，必须考虑抽样必须考虑抽样统计中，采用的抽样方法是随机抽样法，统计中，采用的抽样方法是随机抽样法，即子样中每个个体是从总体中随意地取出来的。即子样中每个个体是从总体中随意地取出来的。（1 1）重复（返回）抽样重复（

7、返回）抽样分量分量X Xk k与所考察的总体有相同的分布与所考察的总体有相同的分布.从总体中抽取个体检查后放回，从总体中抽取个体检查后放回，总体总体成分不变（分布不变）成分不变（分布不变）.,2,1nk相互独立的随机变量相互独立的随机变量.12,nX XX12,nX XX对无限母体而言做无返回抽取，并不改变总体的成分对无限母体而言做无返回抽取，并不改变总体的成分独立且同分布于总体独立且同分布于总体12,nX XX（2 2）非重复（无返回）抽样非重复（无返回）抽样12,nX XX取出样本后改变了总体的成分，所以取出样本后改变了总体的成分，所以12,nX XX对有限母体，对有限母体，不相互独立，不

8、相互独立，(2)(2)独立同分布性独立同分布性它要求抽取的样本满足下面两点它要求抽取的样本满足下面两点:(1)(1)代表性代表性（随机性）：（随机性）：最常用的一种抽样方法叫作最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样简单随机抽样”。其中每一个分量其中每一个分量Xk k与所考察的总体有相同的分布与所考察的总体有相同的分布.每一个个体被抽到的可能性相同。每一个个体被抽到的可能性相同。从总体中抽取样本的每一个从总体中抽取样本的每一个分量分量Xk是随机的是随机的,.,2,1nk是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量.12,nX XX若不特别说明，就指简单随机样本若不特别说明，就指简单随机样本.简单随机

9、样本是应用中最常见的情形，简单随机样本是应用中最常见的情形，今后当说到今后当说到“X1,X2,Xn是取自某总体的样本是取自某总体的样本”时，时，简单随机样本可以用与总体独立同分布的简单随机样本可以用与总体独立同分布的n个相互个相互独立的随机独立的随机变量变量若总体若总体X的分布函数为的分布函数为,xF联合分布函数为联合分布函数为 knknnnxFxFxFxFxxxF12121,*）（若总体若总体X X的分布密度函数为的分布密度函数为,xf表示表示.12,nX XX则其简单随机样本的则其简单随机样本的则其简单随机样本的则其简单随机样本的联合密度函数为联合密度函数为离散总体离散总体)()()()(

10、iixXPxPX则样本的分布列则样本的分布列kNknnxPxxxP121,*）（niinxfxxf11*)(),(22()21(),2xf xe x niinxfxxf11*)(),(2211212niinxe样本的联合概率密度为样本的联合概率密度为(2)总体总体X的概率密度为的概率密度为例例1 对下列总体分别求出样本的联合分布对下列总体分别求出样本的联合分布);,1()1(pbX),()2(2 NX我们只能观察到随机变量取的值我们只能观察到随机变量取的值,而见不到随机变量而见不到随机变量.3.3.总体、样本、样本值的关系总体、样本、样本值的关系事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值事

11、实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值.如我们从某班学生中抽取如我们从某班学生中抽取1010人测量身高，人测量身高，得到得到1010个数，个数，它们是样本取到的值而不是样本它们是样本取到的值而不是样本.因而可以由样本值去推断总体因而可以由样本值去推断总体.总体分布决定了样本取值的概率规律，总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本也就是样本取到样本值的规律，取到样本值的规律，去推断总体的情况去推断总体的情况-总体分布总体分布F(x)的性质的性质.样本是联系二者的桥梁样本是联系二者的桥梁统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料-样本值，样本值，4.4.样本的分布样本的分布1 1）样本

12、的频数分布）样本的频数分布将将n个样本值个样本值按从小到大排列，把相同按从小到大排列，把相同的数合并，并指出其频数（样本中各数出现的次数）的数合并，并指出其频数（样本中各数出现的次数）x频数频数频率频率1 1）样本的经验分布函数）样本的经验分布函数样本值样本值样本值小于或等于样本值小于或等于x x的个数，作的个数，作样本的经验分布函数样本的经验分布函数给出了在给出了在n n次独立重复试验中，事件次独立重复试验中，事件出现的频率，具有分布函数的一切性质。如：出现的频率，具有分布函数的一切性质。如：非降，右连续；非降，右连续；由频数分布知由频数分布知若样本为若样本为n维维r.vr.v，那么对于每一

13、样本值，那么对于每一样本值就可作一个经验分布函数，故就可作一个经验分布函数，故是随机变量是随机变量-n次独立重复试验中，事件次独立重复试验中，事件发生的频率。发生的频率。由伯努利大数定律，由伯努利大数定律，这就是我们可以由样本推断总体的基本理论依据这就是我们可以由样本推断总体的基本理论依据.格列汶科进一步证明了：当格列汶科进一步证明了：当n时，时，Fn(x)以概率以概率1 1关于关于x一致收敛于一致收敛于F(x)，即，即这就是著名的格列汶科定理这就是著名的格列汶科定理.10|)()(|suplimxFxFPnxn定理告诉我们，当样本容量定理告诉我们，当样本容量n足够大时，对所有足够大时，对所有

14、的的x,Fn(x)与与F(x)之差的绝对值都很小，这件事之差的绝对值都很小，这件事发生的概率为发生的概率为1.1.五五、直方图直方图(1)(1)离散情况离散情况Xkp1x2x1p2pkxkp(2)(2)连续情况连续情况其中其中为未知为未知。如何估计如何估计？ipip设总体设总体X为连续型随机变量为连续型随机变量，如何估计未如何估计未知的密度函数知的密度函数f(x)?定义定义1设设),(21nXXXgnXXX,21是来自总体是来自总体X的一个样本，的一个样本，为一实值连续函数，为一实值连续函数，其不包含任何其不包含任何未知参数，则称未知参数，则称),(21nXXXg为一个为一个统计量统计量。),

15、(21nxxxg为为),(21nXXXg的观测值。的观测值。注：注：),(21nXXXg是随机变量的函数仍为随机变量。是随机变量的函数仍为随机变量。),(21nxxxg便是一个数。便是一个数。注：统计量是随机变量。注：统计量是随机变量。二统计量1.1.统计量统计量例例1为来自总体的样本为来自总体的样本未知，未知，已知，判断下列函数哪些是统计量。已知，判断下列函数哪些是统计量。2.几个常见的统计量几个常见的统计量样本均值样本均值样本方差样本方差niiXnX11 niiXXnS122)(11它反映了总体它反映了总体均值的信息均值的信息nXX,1是来自总体是来自总体X的一个样本，的一个样本，它反映了

16、总体它反映了总体方差的信息方差的信息 niiXXnSS122)(11样本标准差样本标准差21)(niiXX niiXnX122证证 左边左边2212niiiXX XX niniiiXnXXX12122 niiXnXXnX1222 niiXnX122重要公式重要公式222111niiSXnXn样本样本k 阶原点矩阶原点矩样本样本k 阶中心矩阶中心矩nikikXnA11nikikXXnB1)(1它反映了总体它反映了总体k阶矩阶矩的信息的信息它反映了总体它反映了总体k 阶阶中心矩的信息中心矩的信息,2,1 k常见统计量的性质常见统计量的性质)()()1(XEXE)1()(1 niiXnEXE)(11

17、 niiXEn()E X)(XE nXDXD)()()2()1()(1 niiXnDXD)(112 niiXDn21()nD Xn()D Xn)()()3(2XDSE 22111niiEXnXn2E S2211nE XnE Xn 221nD XEXD XEXn1D XnD XnnD X是来自总体是来自总体例2设设的一样本的一样本,总总体体的的阶矩阶矩存在，证明存在，证明(1)(2)证证独立且与独立且与同分布同分布独立且与独立且与同分布同分布由辛钦大数定律，知由辛钦大数定律，知统计量既然是依赖于样本的统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机而后者又是随机变量变量，故统计量也是随机变量故统计量也是

18、随机变量，因而就有一定因而就有一定的分布的分布，这个分布叫做这个分布叫做统计量的统计量的“抽样分布抽样分布”.常用的常用的有有三三.抽样分布抽样分布2分布，分布，正态分布，正态分布，t 分布，分布，F 分布分布(1)标准正态分布0,1XNX的的上上(0 45时，由时，由记为记为 Tt(n).服从自由度为服从自由度为 n 的的 t 分布分布.(3)t 分布分布设设XN(0,1),Y则称变量则称变量,且且X与与Y相互独立，相互独立，当当 n 充分大时，其图形类似于标准正态分布密充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形。度函数的图形。t 分布的密度函数关于分布的密度函数关于x=0 对称对称性

19、质性质（1）具有自由度为）具有自由度为 n 的的 t 分布的随机变量分布的随机变量 T 的的当当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度充分大时，其图形类似于标准正态分布密度0);(limnxfx（2）t 分布的密度函数关于分布的密度函数关于 x=0 对称，且对称，且2.性质性质数学期望和方差为数学期望和方差为:E(T)=0;D(T)=n/(n-2),对对 n 2 函数的图形函数的图形.很大很大.不难看到，当不难看到，当n充分大时，充分大时，t 分布近似分布近似N(0,1)分布分布.但对于较小的但对于较小的n，t分布与分布与N(0,1)分布相差分布相差3、t 分布的分位点分布的分位点对于给定的

20、正数对于给定的正数称满足条件称满足条件的点的点为为分位点”。分位点”。分布的“上分布的“上例例查查t 分布表，附表分布表，附表3取取当当时时 分布上侧分布上侧分位点分位点 分布下侧分布下侧分位点分位点 分布双侧分布双侧分位点分位点t t的分布的双侧的分布的双侧分位点为满足分位点为满足(4)(4)F 分布分布),(),(2212nYnX 的的F分布，分布，n1称为第一自由度，称为第一自由度，21nYnXF 设设X与与Y相互独立，相互独立，则称统计量则称统计量服从自由度为服从自由度为称为第二自由度，记作称为第二自由度，记作2n),(21nnFF由定义可得由定义可得121nXnYF 性质性质21,n

21、n),(12nnFF F分布的分位点分布的分位点对于给定的正数对于给定的正数称满足条件称满足条件为为分布的分布的的点的点上上分位点分位点即它的数学期望并不依赖于第一自由度即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1（证明）（证明）(2)X的数学期望为的数学期望为:2)(22nnXE若若n22(1)由定义可见，由定义可见，121nXnYFF(n2,n1)2.性质性质(3)F 分布的分位点分布的分位点对于给定的正数对于给定的正数称满足条件称满足条件的点的点为为分位点分位点分布的上分布的上F 分布的性质分布的性质表中所给的表中所给的都是很小的数，如都是很小的数，如0.01，0.05等等当当表中查不出，由性

22、质（表中查不出，由性质（2）较大时较大时，如如0.95，例1设随机变量设随机变量求求的分布。的分布。解解随机变量随机变量与与独立独立因而因而由于由于由定理由定理 3 得得由题可知由题可知四.正态总体抽样分布定理的样本的样本,则有则有21),XNn)1,0()2NnX 定理定理1(1(样本均值的分布样本均值的分布)设设X1,X2,Xn是来自正态总体是来自正态总体定理2 (样本方差的分布)设设 X1,X2,Xn 是取自正态总体是取自正态总体样本样本,分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差.则有则有(2)X的的和和相互独立相互独立。2S(3)(1)Xt nSn因为只有一个约束条件个自由度有

23、,1)(12nXXnknkXX10)(分别是这两个样本的均值分别是这两个样本的均值,且且 X 与与 Y 独立独立,是取自是取自X 的样本的样本,样本样本,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差,则有则有是取自是取自Y的的定理 3(两总体样本均值差的分布)1,1()12122222121 nnFSS 12例2一个样本，求一个样本，求设设是来自正态总体是来自正态总体的的(1)(2)由定理由定理 2 知知解解例例2一个样本，求一个样本，求设设是来自正态总体是来自正态总体的的(1)(2)查表可得查表可得思考与练习是来自正态总体是来自正态总体的样的样1.设设本本,则有则有(A);(B);(C);(D)