基本统计-3.pdf

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1、2004/7/29基本統計傅于玲 YLFu2004/7/29基本統計傅于玲 YLFu基本統計課程大綱?貝氏定理?機率分配連續型機率分配(計量值分配)o-常態分配?一般常態分配?標準常態分配?抽樣分配?中央極限定理2004/7/29基本統計傅于玲 YLFu1.設S為有N個樣本點的樣本空間,又假設其中各事件出現機會均等,則事件A之發生機率為P(A)=n(A)/n(S)2.設S中有 A1,A2,A3,.An個事件,則諸事件之機率和為1,即P(A1)+P(A2)+.=12004/7/29基本統計傅于玲 YLFu?一盒中有10個球,球上分別應有10個號碼,今由盒子中取4球,則4球中號碼數大於7的機率為?

2、袋子中有3個紅球,4白球,5黑球,今自袋中任取3球,求取出3求為異色之機率=?已知編號1,2,.10的路燈中有三盞故障,請問編號4與編號5的路燈均故障之機率是多少?2004/7/29基本統計傅于玲 YLFu互斥,獨立,相依?互斥事件互斥事件A,B互斥,則出現A即不會出現B,出現B即不會出現A 有你無我有你無我,P(A B)=0?獨立事件獨立事件事件B之機率不受事件A存在與否而改變即P(BIA)=P(B)或P(AIB)=P(A)?相依事件相依事件若P(BIA)P(A)或P(AIB)P(B)則稱之.U2004/7/29基本統計傅于玲 YLFuA,A為餘事件,即AUA=S且A A=O1.P(A)=1

3、-P(A)2.P(AUB)=P(A B),P(A B)=P(AUB)?餘事件UUUAASAB(AUB)(A B),(A B),U2004/7/29基本統計傅于玲 YLFu?公理1:事件A發生的機率P(A)為實數且P(A)0?公理2:令S為樣本空間,P(S)=1.?公里3:設A1,A2,.為互斥事件,則P(A1UA2UA3.)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+.2004/7/29基本統計傅于玲 YLFu?機率公理體系機率運算定理機率論體系?機率運算基本定理零事件的機率P(O)=0機率所在範圍:0P(A)12004/7/29基本統計傅于玲 YLFu?機率的加法定理加法定理-聯集機率聯集機率*設

4、A,B兩事件,P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A B)*設A,B兩事件互斥互斥,P(AUB)=P(A)+P(B)*設A,B,C三事件,P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A B)-P(B C)-P(C A)+P(A B C)*設A,B,C三事件互斥互斥,P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)UUUUUU2004/7/29基本統計傅于玲 YLFu?機率的乘法定理乘法定理-交集機率交集機率*設A,B兩事件,P(A B)=P(A)P(BIA)=P(B)P(AIB)說明:P(BIA)指A 出現後再出現B 的機率*設A,B兩事件獨立獨立,P(A B)=P(A)P(B)U U

5、2004/7/29基本統計傅于玲 YLFu設一實驗的出象(outcome)已兩種分類標準加以分割,按A分類標準分隔為A,A,按B分類標準分隔為B,B,若P(A)0,P(BIA)=P(A B)P(A)U P(B)P(AIB)P(A)BB AA BB AA P(AIB)2004/7/29基本統計傅于玲 YLFu設一實驗的出象(outcome)已兩種分類標準加以分割,按A分類標準分隔為A,A.按B分類標準分隔為B,B1,B2,B3.BK,若P(A)0,則P(BKIA)=P(BK)P(AIBK)P(Bi)P(AIBi)i=1rAB1B2B3B4B5B62004/7/29基本統計傅于玲 YLFu彩欣公司

6、有兩條生產線,第一條生產線佔產量6 0%,第二條生產線佔4 0%,不良率第一條為1%,第二條為2%,現今抽取一件產品正好為不良品,則由第一條生產線產出之機率為多少?例題例題2004/7/29基本統計傅于玲 YLFu例題解答例題解答產品1st生產線 P(B)=60%不良率 P(AIB)=1%良率P(AIB)=99%2nd生產線 P(B)=40%不良率 P(AIB)=2%良率P(AIB)=98%P(BIA)=3/7 P(A B)P(A)U P(B)P(AIB)P(B)P(AIB)+P(B)P(AIB)60%*1%60%*1%+40%*2%2004/7/29基本統計傅于玲 YLFu隨機變數?定義：用

7、以代表從某一母(群)體之所有可能隨機抽樣試驗的結果，都可以唯一存在的一個實數值與之對應之函數函數，通常以大寫字母大寫字母表示。?數學表示方式:X f(x)f(x)稱之為隨機變數x的機率函數機率函數F(X)=P(X x)稱為累計機率函數累計機率函數2004/7/29基本統計傅于玲 YLFu機率函數X012TOTALf(x)1/38/152/151機率分配表8/156/154/152/15機率直方圖2004/7/29基本統計傅于玲 YLFu1)(.21)()()(0.1=XFxforxfbXaFbxaxbxax?性質連續型函數間斷型函數F(X)x1231/62/633/6連續型函數間斷型函數F(X

8、)x2004/7/29基本統計傅于玲 YLFu期望值與變異數?期望值隨機變數所有可能對應之函數值的平均數隨機變數所有可能對應之函數值的平均數通常以或E(X)來表示數學定義式:)(,)(xfxxfx連續型函數間斷型函數2004/7/29基本統計傅于玲 YLFu期望值重要性質期望值重要性質?設為a常數,E(a)=a?E(aX)=aE(X)?設a,b為常數,E(a+bX)=a+bE(X)?E(X+b)=E(X)+b?EX-E(X)=0?E g(X)h(X)=E g(X)E h(X)?E(X-)=E(X)-E(X)=E(X)-=V(X)=2 2004/7/29基本統計傅于玲 YLFu變異數?變異數涵義

9、隨機變數所有可能對應之函數值的變異數通常以2或V(X)來表示。性質V(X)=E(X-E(X)2=E(X 2)-(E(X)2=E(X)2-2=V(X)=2 2004/7/29基本統計傅于玲 YLFu隨機變數例子?公正骰子實例Pr(X=x)=f(x)=1/6 x=1,2,.,6E(X)=xf(x)=3.5V(X)=E(X-E(X)2=2.9172004/7/29基本統計傅于玲 YLFu變異數重要性質變異數重要性質?V(X)=2 0?b為常數,則V(b)=0?V(aX)=a 2 V(X)?V(aX+b)=a 2(X)?Z=,Z 稱為標準隨機變數E(Z)=0,V(Z)=1 X-2004/7/29基本統

10、計傅于玲 YLFu連續型機率分配連續型機率分配:計量值分配計量值分配?常態分配(Nomal Distribution)通常以Z代表其隨機變數，記作ZN(,2)其中為期望值，2為變異數。標準常態分配，(Z-)/N(0,1)為一鐘型分配常態分配底下的面積是固定的oP(-Z+)=68.26%oP(-2Z+2)=95.44%oP(-3Z+3)=99.74%2004/7/29基本統計傅于玲 YLFu常態分配隨機變數的線性轉換?常態分配的標準化-3 -2 -1 0 1 2 3323+2+一般常態分配標準標準常態分配常態分配Z=,Z 稱為標準隨機變數,E(Z)=0,V(Z)=1 X-=E(Z)=0=E(Z)

11、=02004/7/29基本統計傅于玲 YLFu=P(a-x-b-)=P(a-Z b-)P(a x b)常態分配例:某產品重量分配為常態分配,平均重量1 0 0 g,標準差2 g,今客戶要求規格為9 9 4 g,超過規格為不合格,請問在目前機器設備下不合格比例為多少?99-4=95,99+4=103P(95X103)=P(95-100Z103-100)=P(-2.5 Z1.5)查表運用常態分配對稱性質P(Z-2.5)=0.026,P(Z1.5)=0.93320.9332-0.0026=0.927z-22Z=-2.5Z=1.52004/7/29基本統計傅于玲 YLFu舉例舉例某蓄電池製造廠規定電池

12、壽命小於2 年為不合格,已知騎士明分配為常態分配,壽命平均數為3 年,標準差0.5 年,試計算該廠電池之不合格率=?又製品1 0 0 0 個有多少不合格品?解:Z=(2-3)/0.5=-2查表,P(ZY)=?解:X N(20,16/25),Y N(18,9/25)故 X-Y(20-18,16/25+9/25)P(XY)=P(X-Y 0)=P(Z 0-2 )=P(Z-2)=1-P(Z-2)=1-0.0228=0.9772 16/25+9/25Z=-22004/7/29基本統計傅于玲 YLFu中央極限定理?若 X1,X2,.,Xn為自任意一母群體(期望值為，變異數為230)，則的機率分配會近似於標準常態分配。?中央極限定理的重要性不論母體分配為何，任何樣本平均數的抽樣分配，當樣本數巨大時，即可應用常態分配以求算其近似機率。nX