智轩考研数学红宝书2010版--概率论与数理统计(第四章.pdf

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1、2010智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计（第四章 随机变量6大数字特征）http:/bbs.qinjing.cc 91 第四章 随机变量的 6 大数字特征 2009 考试内容(本大纲为数学 1，数学 3 需要根据大纲作部分增删)随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期望 矩、协方差、相关系数及其性质 考试要求 1 理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征。2 会求随机变量函数的数学期望。考点导读 数学期望EX；方差DX；协方差(),XYCov X Ys或；相关系数X

2、Yr；矩；协方差及其矩阵S。一、数学期望 考研数学 4 种平均概念：算数平均；几何平均；区间平均；加权平均，即概率平均，也就是数学期望。1 一维随机变量及函数()Yg X=的数学期望 离散型 11 ()kkkkkkkKP XxpEXx porg xp=连续型 ()()()EXx f x dx org x f x dx+-=，()f x为X的概率密度。2 二维随机变量函数(,)Zg XY=的数学期望EZ 11 ,(,)iiijiiijijP XxYypEZg xy p=离散型 (,)(,)EZg x y f x y dxdy+-=连续型 3 数学期望的常用结论 3.1 ()E CC=；()E E

3、XEX=3.2 ()E aXbYaEXbEY+=+3.3 ()()EXYEXEYEXEXYEY=+-,XY独立EXYEXEY=3.4 ()()222EXYEX EY 3.5 ()()()()()2210,102xxNexx dxxaxa dxjjjp+-=-=二、方 差 ()222DXE XEXEXE X=-=-，()XD Xs=标准方差。1离散型 ()21kkkDXxEXp=-2连续型 ()2()()DXxE Xf x dx+-=-2010智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计（第四章 随机变量6大数字特征）http:/bbs.qinjing.cc 92 3 方差的常用结论 3.1(

4、)0;D C=()0D EX=3.2 2()D CXC DX=3.3 ()()22,2 2()()XYXYD XYDXDYEXEXYEYDXDYCov X YDXDYDXDYD X D Ysr=+-=+=+=+3.4 XY与独立 22()D aXbYa DXb DY=+3.5 XY与独立 ()()()22D XYDXDYDX EYDY EX=+3.6()2DXE XC-,C为任意常数。三、13 大分布的数学期望与方差 1 0-1 分布()1()1(1,),0,1kkP XkppBpk-=-=01;iP Xp=-1iP Xp=，10()0(1)1ikkkE Xx pppp=-+=11222200

5、()()(0)(1)(1)(1)ikikkkkkD XxE Xpxpppppppp=-=-=-+-=-(1)EXpDXpp=-2 二项分布 ()(,)kkn knP XkC p qB n p-=,为n个0 1-分布之和 1111()()()()(1)nnnniiiiiiiiEXEXE XnpDXDXD Xnpp=-3泊松分布 ()!keP XkPklll-=(0),l 当0 xkPel-=10122202222!(1)!(1)(1)!()()kkkkkkeEXkeeekkEXE X XXk keeekDXE XE Xllllllllllllllllllllll-=-=-=-+=-+=+=+=-

6、=+-=4均匀分布 ()1,(),0,axbbaf xU a b=-11()12,F nn分布()()()()()()()22122222212222 2 4224nnnnE XnD Xnnn nn+-=-12二维均匀分布的数学期望和方差 ()()()()()()22,22,;,1212abcdE X Yf x yU a b c dbadcD X Y+=-=13二维正态分布的数学期望和方差 ()()()()()()122212122212,;,;,E X Yf x yND X Ymmm mssrss=一维随机变量数学期望题型题法【例 1】设随机变量 X 分布列为 110122111113661

7、24Xp-，求2(),(1),()E XEXE X-+。解：由随机变量 X 的分布得 X 1-0 12 1 2 1X-+2 1 12 0 1-2X 1 0 14 1 4 p 13 16 16 112 14 故 2010智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计（第四章 随机变量6大数字特征）http:/bbs.qinjing.cc 95 21111111()1012362612431111112(1)21013626124311111135()1()04312646424E XEXE X=-+=-+=+-=+=【例 2-1】设()2,2XU-，(),1YMax x=，求EY。解：()()(

8、)()1,1,1,14EYE Max xMax xf x dxMax xdx+-=()()2112221111115,1144444Max xdxx dxdxxdx-=-+=。【例 2-2】设()1,2XU-，1,00,01,0XYXX=-0XNm ss，其分布函数()F x曲线的拐点为11,2，该点的斜率为 1，求2EX。解：()()()()22221,02xXNf xemsm ssps-=，根据题意有 ()()()()()2222201111122111122FxfxxFxf xEXDXEXmspspsmpp=+=+=+=+【例 4】设排球队A和B比赛，若有一队胜三场，则比赛结束，假定A获

9、胜的概率为12p=，求比赛场数X的数学期望。解：X的可能取值为 3，4，5，()(),1n kkknXB n pC ppPkm-=-=X=3，表示A或B全胜，()3330331314P XC pCp=+-=X=4，表示A在第四场取胜或B在第四场取胜，()()()222233341118P Xp C pppCpp=-+-=X=5，表示A在第五场取胜或B在第五场取胜 2010智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计（第四章 随机变量6大数字特征）http:/bbs.qinjing.cc 96 ()()()22222244341118P Xp C pppCpp=-+-=345333345413

10、3888488XEX=+。【例 5】设球队A与B进行比赛，若有一队胜 4 场则比赛结束，已知A，B两队在每场比赛中获胜概率都是12，求需要比赛的场数的()E X。解：设比赛的场数为X，则X的可能取值=4，5，6，7，相应的概率为 13323111(4)()();228P XCC=12C第一场比赛中某队胜一场，33C 该队还需连胜三场，比赛结束。133241111(5)()();2224P XCC=最后的12表示胜出一队输一场，以此类推。1332251115(6)()()()22216P XCC=1333261115(7)()()()22216115593()4567684161616P XCC

11、E X=+=【例 6】一辆汽车沿街道行使，需要通过三个相互独立的红绿信号灯路口，已知红绿信号显示时间相等，以X表示该汽车首次遇到红灯已通过的路口个数，求11EX+。解：X的可能取值为 0，1，2，3。记 iAi=汽车在第个路口首次遇到红灯，则()()12iiP AP A=。()()()()()()()()()()()()11212221313232311102114128138111111116711224384896P XP AP XP A AP A P AP XP A A AP A P AP AP XP A A AP A P AP AEX=+=+。【例 7】已知甲乙两箱中装有同种产品，其中

12、甲中正品和次品各 3 件，乙只有 3 件正品，现从甲箱任取 3件产品放入乙箱后，求()1乙箱中的次品数X的EX；()2从乙箱中任取一件是次品的概率P。2010智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计（第四章 随机变量6大数字特征）http:/bbs.qinjing.cc 97 解：()1记()0,1,2,31,iiXii=从甲箱中取出的第 件产品是正品从甲箱中取出的第 件产品是次品 ()12301133112222iXEXE XXX=+=()2 应用全概率公式，记事件A=从乙箱中任取一件是次品 ()33300011131|666624kkkkP AP Xk P A XkP Xkk P X

13、kEX=。【例 8】设两个相互独立的事件,A B都 不发生的概率为19，事件A发生B不发生的概率与事件A不发生B发生的概率相等，令1,1,A BX=-事件同时发生其他，求EX。解：事件A发生B不发生的概率与事件A不发生B发生的概率相等，即()()P ABP AB=()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()22112933251111399P AP ABP BP ABP AP BP AP BP A BP A P BP AP AP AEXP ABP ABP A P BP A P B-=-=+-=-=-=-【例 9】设,XY是两个相互独立且都服从正态分布10

14、,2N，求E XY-。解：令ZXY=-，0,1EZDZZ=()2210,12xNep-=()22220112222xxE XYE Zxedxxedxppp+-=【例 10】一个系统由两个系统并联而成，若只有一个系统发生故障，则系统还能工作，两个系统的工作寿命分别为 X 与 Y，且相互独立，并均服从指数分布10()00tetf ttll-=(0)l，求系统工作寿命下的ET。解：联合密度函数为：21,0(,)00 x yetf x ytll+-=由(,)TMax XY=得 (,)xxyTMax x yyxy=-，求()D XY+。解：(),X Y有四种可能值：()()()()1,1,1,1,1,1

15、,1,1-211,11,1631,11,10211,11,163211,11,163P XYP UUP XYP UUP XYP UUP XYP UU=-=-=-=-=-=-=-=-=2010智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计（第四章 随机变量6大数字特征）http:/bbs.qinjing.cc 100 ()()()()()()()()()222202041,11,11,11,1,11112111033333333284033XYXYXYD XYE XYE XY-+=+-+=-=【例 17】设随机变量 X 的概率密度函数1()2x af xe-=，x-+，a 为常数 求 ()()E

16、 XD X与，并判断X与X的独立性。解：1()()2x aE Xxf x dxxedx+-=1()22x ax aaxa edxedx+-=-+令 xat-=则 tte-为奇函数 ()02x aaE Xedxa+-=+=（归一性）221()()()2x aD XE XE Xxaedx+-=-=-220112222ttxatt e dtt e dt+-=设0a+，事件()()XaXa，则01P XaP Xa 于是有,PXa XaPXa=,PXaP XaP XaP Xa Xa=故 x与 x 不是相互独立。【例 18】()1,2xXf xex-=-+，求(),1EXDXE Min x。解：()220

17、10,2322xEXEXxe dx+-=G=；()222DXEXEX=-=()()()()()11111111101,1,1111 22211 122xxxxxxxxE Min xMin xf x dxx f x dxf x dxxedxedxedxxe dxe dxe dxe+-+-+-=+=+=+=-【例 19】设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，试求：（1）()3EX与()3DX （2）()3XE e-与()3XD e-解：22,0(),20,0 xexf xxl-=-，求DY。解：()()1,121,230,xXUf xother-+=+-+=正相关，负相关 相关系数XYr的性

18、质反应了两个随机变量X和Y的线性关系 1)01MinXYer。2)X和Y独 立，说 明X和Y什 么 关 系 都 没 有，当 然 也 不 会 有 线 性 关 系，从 而2010智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计（第四章 随机变量6大数字特征）http:/bbs.qinjing.cc 104(),0Cov X Y=0XYr=；0XYr=X和Y不相关，但只能说明X和Y没有线性关系，但X和Y可能有非线性关系，X和Y当然不一定独立。也就是说，独立必不相关，不相关不一定独立。只有对正态分布和二值分布而言，独立和不相关才是完全等价。3）1XYr=的充要条件是使 10P YaXba=+=，表示X和

19、Y是完全的线性关系。不相关的等价命题（均为充要条件）1)(),0Cov X Y=2)0XYr=3)EXYEX EY=4)()D XYDXDY=+矩和协方差矩阵 1)k阶矩原点矩 1()()kkkiiiE xx px f x dx+-=iiP Xxp=2)k阶中心矩 1()()()()kkkiiiE XE XxE XpxE Xf x dx+-=-=-=-3)k+l阶混合矩 ()()kEXE XYE Y-l 显然，EX为 X 的一阶原点矩，DX是 X 的二阶中心矩，(),CovX Y是 X，Y 的 1+1 阶混合中心矩，也就是说随机变量的全部数字特征最终都可以由矩来统一。4 协方差矩阵 设 n 维

20、随机变量12(,)1 1nXXX+L的阶混合中心矩，(,)()()ijijiijjCov XYEXE XxE Xs=-则协方差矩阵定义为：111212122212nnnnnnsssssssss=LLLLLLL 由于,ijjiss=是一个对称矩阵，它给出了 n 维随机变量的全部方差和协方差。如对二维随即变量()12,XX，有四个二阶中心矩，下面的()12,XXS是重要考点。2010智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计（第四章 随机变量6大数字特征）http:/bbs.qinjing.cc 105 ()()()()()()()()21111111121122122122222222cov

21、,cov,cov,cov,ijijXXEXE XXXDXEXE XXE XXXEXE XXXDXsssss=-=-=-=()()()12121121121112121222122122cov,cov,X XX XDXDX DXDXXXXXXXDXDX DXDXrssssrS=5n维正态随机变量的性质 n 维随机变量12(,)nXXX服从 n 维正态分布的充要条件是 22112211,nnnniiiiiiC XC XC XNCCms=+，即他们的线性组合服从一维正态分布。若1(,)nXX服从 n 维正态分布，1212,knY YYXXX是的线性函数，则1(,)kYYL服从k维正态分布。1(,)n

22、XX服从n维正态的分布，则1,nXXL相互独立的充要条件是12,nXXX两两不相关，这是正态分布的特别之处。二维随机变量或两个随机变量函数的数字特征题型题法【例 22】已知(),X Y分布率为 Y X 1-0 1().XjfxP=1-18 18 18 38 0 18 0 18 28 1 18 18 18 38().YifyP=38 28 38 1 试求XYr。解：()3231010888EX=-+=2010智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计（第四章 随机变量6大数字特征）http:/bbs.qinjing.cc 106()22232331018884EX=-+=()2234DXEX

23、EX=-=；同理30,4EYDY=。()()()()()()()()()1111111111011018888811111 0 00 1110 01 1088888,00ijijXYEXYijpCov X YEXYEXEYr=-+-+-+-+-+-+=-=【例 23】设()8,01,0,0,xyxyxf x yother=，求XYr。解：()21122220000422428;8;533575xxEXxxydxdyEXxxydxdyDXEXEX=-=-=()211222200008118118;8;153315225xxEYyxydxdyEYyxydxdyDYEYEY=-=-=()100448

24、48,991522542 662253321175 225xXYEXYxyxydxdyCov X YEXYEX EYEXYEX EYDX DYr=-=-=-=【例 24】X和Y在222XYr+上服从联合均匀分布，求XYr。解：()22221,0,xyrf x yrotherp+=()()22222222222222222121,;0,0,rxryrxryXYryrxdyxrdyyrfxfyrrrrotherotherpppp-=()22222222222210;0;0,0rrrrxyrXYryrxEXxdxEYydyEXYxydxdyrrrCov X YEXYEX EYDX DYDX DYpp

25、pr-+-=-=评 注 上例中，由于0XYr=，所以,XY不相关；又由于()()(),XYf x yfx fy，故,XY并不独立。本题形象地表明：虽然没有线性关系，但存在二次关系（非线性关系），因此不独立。也说明了独立的本质是：既没有线性关系，也没有非线性关系。【例 25】已知(),XY在以点()()()0,0,1,0,1,1 为顶点的三角形区域服从均匀分布，对(),XY作4 次独立重复观察，观察值XY+不超过 1 出现的次数为Z，求2EZ。2010智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计（第四章 随机变量6大数字特征）http:/bbs.qinjing.cc 107 解：()2,01,

26、0,yxf xyother=；()4,ZBp ()()22211111111,5242242x ypP XYf xy dxdyEZDZEZ+=+=+=+=。【例 26】在长为l 的线段上任取两点，试求两点间距离的数学期望与方差。解：将线段置于 x 轴的区间0,l上，设 X，Y 表示线路上任取两点的坐标，随机变量ZXY=-表示这两点的距离，则由 X、Y 相互独立，且均服从0,l上的均匀分布()0,Ul，得(),X Y的联合密度函数为 210;0(,)0 xlyllf x y=其它()()()()2200002222223332220011111111111 2223223lllxlxllEZE

27、XYxydxdyxy dyyx dy dxlllxxlxx lxdxxlxadxllllll=-=-=-+-=-+-=-+=+-=。22222222001()()()()()36918llllllD ZE ZEZxydxdyl=-=-=-=。【例 27】设()1,1,2,1,4,8X YN-，求2DXY-。解：()()()11,1,2,1,4,1,1,2,4,88XYX YNXNYNr-=-()()()()()()()()22222222 12012444 1441 498220,90,1316232218181822222909XYuEXYEXEYDXYDXDYDX DYXYXYNUNEXY

28、ueduDXYEXYEXYDXYEXYrppppp+-=-=-=-=+-=+-=-=-=-=-=-+-=+-=-【例 28】设 X，Y，Z 相互独立，且两两构成的二维随机变量均服从二维正态分布。(,)(1,1;1,1;0)1(,)(1,1;1,1;)21(,)(1,1;1,1;)2X YNX ZNY ZN-试求 ()WXYZD W=+的。2010智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计（第四章 随机变量6大数字特征）http:/bbs.qinjing.cc 108 解：()()()1D XD YD Z=，110,22XYXZYZrrrr=-11(,)()()0;(,);(,)22()()

29、()()()2(,)2(,)2(,)3XYCov X YD XD YCov X ZCov Y ZD WD XYZD XD YD ZCov X YCov X ZCov Y Zr=-=+=+=【例 29】,XY独立同分布，122133X，,UMax X Y=，,VMin X Y=。求(),Cov U V。解：(),U V有三个可能值()()()1,1,1,2,2,2。2241,11,13392142,11,22,123391112,22,2339P UVP XYP UVP XYP XYP UVP XY=+=()1212,45819999141044116,1 11 2 02 12 29999991

30、614104,99981UVEUEVEUVCov X YEUVEU EV=+=-=【例 30】将一枚硬币重复掷n次，以,XY分别表示正面向上和反面向上，求XYr。解：11,22XYnXB nYB n+=()()()()()2222222,124,444 1244444XYXYXYnnEXEYnpDXDYnppnnCov XYEXYEX EYE X nXE nXDXEXnnnnnnDX DYnssr=-=-=-=-+-=-+-=-=-V U 1 2 1 49 0 2 49 19 2010智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计（第四章 随机变量6大数字特征）http:/bbs.qinjin

31、g.cc 109【例 31】,XY独立同分布，UXY=+，VXY=-，则,U V必然()()()()()ABCD不独立独立相关系数不为零相关系数为零 解：()()220EUVEXYXYEXEYEU EV=+-=-=，故()D成立。当,XY为正态分布时，则,U V也为正态，由,U V不相关得出,U V独立，但,XY为非正态分布时，就未必，如取 1100,1122P XP YP XP Y=，则有 110,10 14121,11 141311,2,0122216P UP XYP XPYP UP XYP XPYP UUP XYP UP U=-=-=-=故()A，()B都不一定成立。【例 32】设(),

32、X Y的分布律为 X Y 0 1 0 1p 0 1 0 p 求 (,)XYCov X Yr和。解：易知 X 的分布律 01,1 P XpP Xp=-=Y 的分布律 01,1P XpP Yp=-=故：(),()(1)(),()(1)E XpD XppE YpD Ypp=-=-()iiijijE XYx y Pp=（仅当1iixy=时不为 0）2(,)()()()(1)Cov X YE XYE X E Ypppp=-=-=-(,)(1)1()()(1)(1)XYCov X YppD XD Yppppr-=-【例 33】设(),X Y的概率密度为01,01(,)0 xyxyf x y+=其它，求(,

33、)Cov X Y。2010智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计（第四章 随机变量6大数字特征）http:/bbs.qinjing.cc 110 解：101(),012()0Xxy dyxxfx+=+=其它；1012()0Yyyfy+=其它()()()110011001717()();()()2122121()()31771(,)31212144E Xx xdxE Yy ydyE XYxy xy dxdyCov X YE XYE X E Y=+=+=+=-=-=-【例 34】点(),X Y在以()()()0,0,1,0,0,1为顶点的三角形内服从均匀分布，求XYr。解：()()2,0,

34、x yDf x yother=()()()()()()()()1100111100001222022 1,0122 1,01;0,0,1112 1;2 1;23312 2 1xyXYxdyxxdxyyfxfyotherotherEXxx dxEYyy dyEXYdxxydyDXEXEXxx-=-=-=-=-=-=-()()()1222021111;2 1918918111,112332118XYdxDYEYEYyy dyCov X YDX DYr-=-=-=-=-评 注 尽管(),f x y为常数，相当于可分离变量，但由于正概率区间非矩形，故(),X Y一定 是部分相关的，本质上相当于两个随机

35、变量存在取值纠缠。【例 35】()1,1021,0241,2Xxfxxother-=，2YX=。求()()1 Yfy；()()2 ,Cov X Y；()13 ,42F-。解：()()0020100,0113,012441 1111,1424241,4yyYyyPyxydxdxyyFyP XyPyxydxdxyyy-=+=-=+=+2010智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计（第四章 随机变量6大数字特征）http:/bbs.qinjing.cc 111 ()()3,0181 ,1480,YYyyfyFyyyother=独立同分布，服从()0,1N，11niiXXn=，iiYXX=-。

36、求()1 iDY；()()12 ,nCov YY；()13 0nP YY+。解：()1 ()()111 iiikik iDYD XXDXXXXnn=-=-注意 和 不独立 ()2222111111ikk innnDXDXnnnnnn-=+=+-=()2 ()()()()()1111,nnnnCov YYEYEYYEYE XXXX=-=-Y X 0 1 0 23 112 1 16 112 2010智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计（第四章 随机变量6大数字特征）http:/bbs.qinjing.cc 115 ()()()()()()2111222111211221111211111

37、111110111101001nnnnninniiinnninnniiiEX XEXEX XEX XEX EXDXEXEXEX XEXEX XnnnnEX EXDXEXEX XDXEXEX Xnnnnnnnnn-=-=+-=+-+-+=+-+-+=+-+-()1100nn+=-()3 ()()11112222nnnniinnYYXXXXXXXnnn-=-+=-+-=+-()11122220,nnniinnE YYEXXXnnn-=-+=+-=111Y 02nnYYP YY+=可见 属于对称轴为 轴的对称正态分布，故。【例 40】设 1()02,028(,)0 xyxyf x y+=其它 求()

38、,(),(),(),(,),XYXYE XE YD XD YCov X YrS 与。解：22007()(,)()6E Xxf x y dxdyE Y=()22220011()(,)()()36D Xx f x y dxdyEXD Y=-=22001771(,)()()()()86636Cov X YE XYE X E Yxy xy dxdy=-=+-=-(,)111()()XYCov X YD XD Yr=-()()11122122cov,cov,XYDXX YX YDYssssS=11136361113636XY-S=-【例 41】设随机变量(),X Y的联合分布函数为 (),0,0,yCx

39、exyf x yother-+=，求1|2P XY=显然，,XY不独立。又 ()()()()()2|11|02,0,02|220,0,11|2|224X YX YYX Yxxxyfx yxyfx yfxfyotherotherxP XYfxdxdx-=2010智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计（第四章 随机变量6大数字特征）http:/bbs.qinjing.cc 117 ()12110,0,0nXxnxfxxexnll-=()2令 2,ZMax XY=()()()()()()()211222222,0,00,00,0;11,1,01,0ZYXYZzzzXzFzP ZzP Max

40、XYzP Xz YzP Xz PYzFz FzzzzFzFzFzeeezezllll-=-()()112200,011,02Zzzzzzzfzeeeezzllllll-=-+-()3()222222,0CovXYXYDXDY+=-=。【例 43】设(),X Y服从G上的均匀分布，其中(),|02,01Gx yxy=，设0,1,XYUXY=0,21,2XYVXY=，求UVr。解法一：利用面积比。2222133333111,444441611111112121,222224EUP XYP XYEUEUDUEVP XYP XYEVEVDV=-=-=-=-=-=-=131112421 12231316

41、4UVEUVP XYr-=。解法二：利用(),X Y的分布律。()()()()(),0,0;0,1;1,0;1,1U V=111;2;242410,0,240,1,2011,0,22411,1,222P XYP XYP YXYP UVP XYXYP XYP UVP XYXYPP UVP XYXYP YXYP UVP XYXYP XY=F=2010智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计（第四章 随机变量6大数字特征）http:/bbs.qinjing.cc 118 2222111301442431311301444421611110144221111110124422411110 00

42、1 0 1 01 14422131242316UVEUDUEVDVEUVEUVEU EVDU DVr=+=-+-+=+=-+-=+=-=1134=【例 44】已知()0,1 XN，在Xx=条件下，(),1 YN x，求Y的分布和XYr。解：()()()221122|11;|22xy xXY Xfxefy xepp-=()()()()()22221122|11221121221,|21101000221112222212110,0;1,2;0,2;22xy xXY XxxyyXYf xyfx fy xeexxyyeeNYNpppr-+-=-=-+-=【例 45】已知1X，2X相互独立且服从()1

43、Pl和()2Pl，11201P XXe-+=-，求()212E XX+。解：()()22222121212121222E XXE XXX XEXEXEXEX+=+=+()()()()22211221212122llllllllll=+=+U V 0 1 0 14 14 1 0 12 2010智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计（第四章 随机变量6大数字特征）http:/bbs.qinjing.cc 119 ()()()()()121212112121212121122212121201101010,0100111112P XXeP XXP XXP XXP XP XeeeeeE XXl

44、lllllllllll-+-+-+=-+=-+=-=-=-=-=-+=+=+=【例 46】1,1,1,1 XUYxaa-=-，0XYr=，求a的值。解：()1,11020,xXf xEXother-=()()()1121100130026XYaaEXYEX EYaEXYEX Xax xa dxx ax dxx xa dxaar-=-=-=-+-=-=【例 47】已知12,nXXXL相互独立，方差相同20s，求()1D XX-和1X Xr。解：()()222211112111111nniiiinnnD XXD XXDXXnnnnnnnsss=-=-=-=+-=()()()()1211111112

45、11111ov,cov,cov,cov,cov,1nniiiiX XCXXXXXXXXnnnnXXnnDXDXnssrss=【例 48】设()11,0,9,16;2XYN-，32XYZ=+，求,XZEZ DZr，并说明X、Z是否独立。解：101;32323XYEZE=+=+=()()()()1112cov,1453 43329432332cov,1111cov,cov,cov,33003232XYXYXZXYDXDYXYDZDDXDYX ZX ZX XX YDXDXDYDXDYrrr=+=+=+=+-=+=+=-=因为()XY，是正态分布，故 32XYX+，即()XZ，也是正态分布，又0XZr

46、=，对正态分布不相关与独立等价，故X、Z独立。2010智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计（第四章 随机变量6大数字特征）http:/bbs.qinjing.cc 120【例 49】设1X、2X相互独立，(),iXB i p，1,2i=。令随机变量121120,1,1,1XXYXX+=+212210,21,2XXYXX-=-，试确定p使12X Xs最小。解：根据题意，()123,XXBp+，又1Y、2Y、1Y2Y都服从0 1-分布。故1iiEYP Y=。()()()21211112322221000222120312212121 212121211011111 311012 10,2

47、11110,01,20000000,03EYP YP YP XXC pppqEYP YP YP XXP XXC ppC ppp qP YYP XXXXPP YYP YYP YP YP YYpq=-=-+=-=-=-=-=-=-=-=+=-=F=+=-=()()()()()()()()1 21 21 22221 21 21 2322223121 21222331101 3cov,1 31 31311911 202113312264YYYYYYMinp qEYYP YYP YYpqp qY YEYYEY EYpqp qpqp qppppppsss+=-=-=-=-=-=-=-=-【例 50】()(

48、)0,1xNF，求()1lim1xaxxx+-F+-F 解：()()22222211112limlimlim112axxxxxxaaaaxxexxxxxxejpjp+-+-F+-+-=-F-2222222222221limlim1xaaxaaaxxxxaeaxeexe-+-=-=。【例 51】设011,113244XP Y=-=，n维向量123,aaa线性无关，求向量 122331,2,XYaaaaaa+线性相关的概率。解：123,aaa线性无关，则122331,2,XYaaaaaa+线性相关，必有 112233123110110,2,01201202000XYXYYXYXaaaaaaaaa+

49、=+=2010智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计（第四章 随机变量6大数字特征）http:/bbs.qinjing.cc 121 1 121113200,01,1,2224PYP XYP XYP XYP XYP Y=-=+=+=-=-=-=Q【例 52】()(),0,2;0,1X YU，求0020211YAX-=的特征值全为实根的概率。解：()()()1,2,0,x yDf x yx y=D ()()20201204401211YEAXXYXYXYlllllll-=-=-+=D=-()()()1212101111111,11 ln22222xxyxyP XYf x y dxdydx

50、dySSdxdy=+=+=+。2010智轩考研数学创高分红宝书系列-概率论与数理统计（第四章 随机变量6大数字特征）http:/bbs.qinjing.cc 122 第四章 随机变量的数字特征模拟题 一填空题 1 某产品的次品率为 0.1，检验员每天检验 4 次。每次随机地取 10 件产品进行检验，如发现其中的次品数多于 1，就去调整设备，以 X 表示一天中调整设备的次数，则 X 的数学期望为_，方差为_（设诸产品是否为次品是相互独立的）。2 设的概率密度为,01,1()(),_,_.0,.2axbxf xE Xab+=且则其他 3 设随机变量的分布函数0,1,0.2,10,()0.6,01,