概率论与数理统计2010及格攻略.pdf

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1、概率论与数理统计概率论与数理统计 2010201020102010 及格攻略及格攻略（转发滴（转发滴，原本的让原作者给删了原本的让原作者给删了-，原作者不许怪我），原作者不许怪我）来源：来源：王超王超_的日志的日志阿米原创申明阿米原创申明：这不是为了让你拿高这不是为了让你拿高分的法宝，但是至少可以保证你及分的法宝，但是至少可以保证你及格。格。如果出了以下的题目如果出了以下的题目，你的卷面至少你的卷面至少有有 50505050 分了，分了，50*80%+20=6050*80%+20=6050*80%+20=6050*80%+20=60，刚刚好及格，再加上一点你的别的分数好及格，再加上一点你的别的

2、分数，就有可能更高分哦！加油吧大家就有可能更高分哦！加油吧大家！看看完了之后要记得翻翻往年试题来做完了之后要记得翻翻往年试题来做做，不然记不住的！做，不然记不住的！一、填空：一、填空：1 1 1 1、正常情况是给你正常情况是给你 A A A A 或或 A(-)A(-)A(-)A(-)，及及 B B B B或或 B(-)B(-)B(-)B(-)，或者或者 ABABABAB 或或 A(-)B(-)A(-)B(-)A(-)B(-)A(-)B(-)之类的之类的概率概率然后让你求和他们有关的另一个概然后让你求和他们有关的另一个概率率 要记住一下公式：要记住一下公式：(1)(1)(1)(1)几乎份份卷子都

3、有的：几乎份份卷子都有的：P(AB(_)P(AB(_)P(AB(_)P(AB(_)=P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)(2)(2)(2)(2)乘法公式乘法公式：(AB)=(AB)=(AB)=(AB)=(A)(A)(A)(A)(B|A)(B|A)(B|A)(B|A)(3)(3)(3)(3)加法公式加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P

4、(B)-P(AB)-P(AB)-P(AB)-P(AB)(4)(4)(4)(4)不相容：不相容：P(AB)=0P(AB)=0P(AB)=0P(AB)=0(5)(5)(5)(5)独立：独立：P(AB)=P(A)*P(B)P(AB)=P(A)*P(B)P(AB)=P(A)*P(B)P(AB)=P(A)*P(B)*分割线分割线*2 2 2 2、求均值和方差求均值和方差：这种题看情况吧这种题看情况吧，不是每年都有不是每年都有第一类第一类题目题目 X X X X、Y Y Y Y 服从服从*分布分布，其均值和方其均值和方差分别为：差分别为：1 1 1 1，2 2 2 2，1 1 1 12 2 2 2，2 2

5、 2 22 2 2 2Z=aX+bY+c(abcZ=aX+bY+c(abcZ=aX+bY+c(abcZ=aX+bY+c(abc 为常数，且正为常数，且正负不定负不定)求求 EZ=_,DZ=_EZ=_,DZ=_EZ=_,DZ=_EZ=_,DZ=_EZ=aEZ=aEZ=aEZ=a 1 1 1 1+b+b+b+b 2 2 2 2+c+c+c+cDZ=aDZ=aDZ=aDZ=a2 2 2 2 1 1 1 12 2 2 2+b+b+b+b2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2第二类第二类如果不幸，会有参数如果不幸，会有参数若（若（X,YX,YX,YX,Y）N(N(N(N(1 1 1 1，2 2 2

6、 2;1 1 1 12 2 2 2，2 2 2 22 2 2 2;)Z=aX+bY+c(abcZ=aX+bY+c(abcZ=aX+bY+c(abcZ=aX+bY+c(abc 为常数，且正为常数，且正负不定负不定)求求 Z_Z_Z_Z_(Z(Z(Z(Z 的分布的分布)ZNZNZNZN（a a a a 1 1 1 1+b+b+b+b 2 2 2 2+c+c+c+c；2 2 2 2 1 1 1 12 2 2 2+b+b+b+b2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2+a*b*a*b*a*b*a*b*1 1 1 1*2 2 2 2*）仔细算哈仔细算哈 看清楚哪里有平方哪里没看清楚哪里有平方哪里没有

7、平方，以及有平方，以及 abababab 的符号的符号 *3 3 3 3、会有一道最大似然估计法的题目会有一道最大似然估计法的题目，大家认真看看书哈大家认真看看书哈 我看不懂那我看不懂那个个羞羞 4 4 4 4、可能会有一道方差的参数检验、可能会有一道方差的参数检验 自个看看书哈自个看看书哈212212212212 页的表格页的表格其他的填空和选择比较没有规律性其他的填空和选择比较没有规律性 难以总结难以总结*三、计算题三、计算题全概公式及逆概公式全概公式及逆概公式，正常是求概率正常是求概率 最经典就是求合格率最经典就是求合格率 要做做题体要做做题体会！会！1 1 1 1）设事件）设事件 A

8、A A Ai i i i=（），事件），事件 B=B=B=B=（）这个做两道题就知道要具体这个做两道题就知道要具体设什么东西了设什么东西了2 2 2 2）正常是求正常是求 P P P P（B|AB|AB|AB|Ai i i i）=P(AP(AP(AP(Ai i i i)*)*)*)*P(B)P(B)P(B)P(B)当然题目是会变化的当然题目是会变化的 做题时灵活变做题时灵活变通下哈通下哈Tips:Tips:Tips:Tips:全概公式：全概公式：逆概公式逆概公式:*第四第五正常都会涉及积分的第四第五正常都会涉及积分的我不会积分我不会积分 所以不总结所以不总结 羞羞 不过不过，杨淑玲奶奶让我们把

9、习题六做杨淑玲奶奶让我们把习题六做一遍一遍 估计有一道那里的题目估计有一道那里的题目*第六题计算题第六题计算题距估计量及点估计量吧距估计量及点估计量吧 貌似而已貌似而已 我只做到距估计量的题目我只做到距估计量的题目，点估计似点估计似乎今年会出乎今年会出 自己翻翻书研究下点估自己翻翻书研究下点估计量吧计量吧 是是 7.17.27.17.27.17.27.17.2 的内容的内容 距估计量距估计量 1 1 1 1）有多少个参数就写多少个有多少个参数就写多少个 i i i i，i=i=i=i=参数的个数参数的个数 i i i i=E=E=E=E（X X X Xi i i i）=-x x x xi i

10、i if(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx我不会积分我不会积分 悲剧悲剧2 2 2 2）然后把上面的方程组解出，用）然后把上面的方程组解出，用 i i i i组成的式子组成的式子来表示参数来表示参数3 3 3 3）()()()()1 1 1 1=1/n*=1/n*=1/n*=1/n*(X(X(X(Xi i i i)=X()=X()=X()=X()()()()()n n n n=1/n*=1/n*=1/n*=1/n*(X(X(X(Xi i i in n n n)4 4 4 4）把）把 3 3 3 3）的结果代入）的结果代入 2 2 2 2）中参数的）中参数的式子式子 5 5 5 5）

11、所以参数的距估计量为）所以参数的距估计量为 4 4 4 4）的结）的结果果自个做份题来研究下吧自个做份题来研究下吧 我做的题目我做的题目是按这个步骤来嘀是按这个步骤来嘀 做两道题做两道题 你一你一定会懂怎么做的！定会懂怎么做的！*第七第七 计算题计算题 参数的区间估计参数的区间估计 7.7.7.7.3 3 3 3的内容的内容翻开书，看看翻开书，看看 191191191191 的表格！一定要的表格！一定要记牢那一堆的式子记牢那一堆的式子 其实有规律可循其实有规律可循的！加油哦的！加油哦 这这 10101010 分一定能全拿分一定能全拿 1 1 1 1）首先首先 区分大样本还是小样本区分大样本还是

12、小样本 （n n n n=50=50=50=50 是大样本是大样本）2 2 2 2）待估的为待估的为 EX=EX=EX=EX=，或者或者，DX=DX=DX=DX=2 2 2 2，3 3 3 3）区分区分 DX=DX=DX=DX=2 2 2 2已知或未知已知或未知，或者或者 E E E EX=X=X=X=已知或未知已知或未知4 4 4 4）回忆回忆 191191191191 页的表格页的表格 写下对应的写下对应的分布分布 T/U/T/U/T/U/T/U/2 2 2 2=A A A At/N/t/N/t/N/t/N/2 2 2 2(B B B B)5 5 5 5）算与算与A A A A有关的数有关

13、的数，如如 n,n,n,n,(n-(n-(n-(n-1),S,S1),S,S1),S,S1),S,S*,X(,X(,X(,X()6 6 6 6）查表：）查表：t/N/t/N/t/N/t/N/2 2 2 2(B B B B)在相应的在相应的 下为多少下为多少 根据根据 191191191191 的表确定相应的的表确定相应的 ，做套题做套题你就能理解我说什么了你就能理解我说什么了7 7 7 7）回忆回忆 191191191191 页的表页的表，写出置信区间写出置信区间（C C C C，D D D D）8 8 8 8）把）把 5 5 5 5）和）和 6 6 6 6）的结果代到）的结果代到 7 7 7

14、 7）中）中9 9 9 9）则）则 7 7 7 7）的结果为所求）的结果为所求 ，2 2 2 2的置的置信度为信度为 1-1-1-1-的置信区间。的置信区间。*八八、计算题计算题：参数检验参数检验（单个正态分单个正态分布的均值检验）布的均值检验）！牢记牢记 209209209209 页的表格页的表格 ！又一个分啊又一个分啊）HHHH0 0 0 0:HHHH1 1 1 1:根据题根据题目来定目来定 也是做几道题就知道要写啥也是做几道题就知道要写啥的啦的啦2)2)2)2)构造检验统计量构造检验统计量 U/T=U/T=U/T=U/T=A A A A回忆回忆 209209209209 的表格的表格3)

15、3)3)3)算与算与A A A A有关的数，如有关的数，如 n,n,n,n,(n-(n-(n-(n-1),S,S1),S,S1),S,S1),S,S*,X(,X(,X(,X()4 4 4 4）把）把 3 3 3 3）代入）代入 2 2 2 2）中求）中求A A A A5 5 5 5）查表）查表 U/TU/TU/TU/T 相应的的相应的的 下为多少下为多少 同第七题同第七题 根据根据 209209209209 的表确定相应的表确定相应的的 ，做套题你就能理解我说什么了，做套题你就能理解我说什么了6)6)6)6)比较比较 4 4 4 4）和）和 5 5 5 5）的结果的大小，）的结果的大小，根根据

16、据202020209 9 9 9页的表及原假页的表及原假设设HHHH0 0 0 0的拒绝域的拒绝域来判断来判断拒绝还是接受拒绝还是接受 HHHH0 0 0 07 7 7 7）由于拒绝）由于拒绝 orororor 接受接受 HHHH0 0 0 0，认为，认为（结合题目（结合题目 ）*九九 计算题：线性回归计算题：线性回归(1)1(1)1(1)1(1)1）X=1/n*X=1/n*X=1/n*X=1/n*X X X Xi i i i;Y=1/n*Y=1/n*Y=1/n*Y=1/n*Y Y Y Yi i i i2)L2)L2)L2)Lxxxxxxxx=(X X X Xi i i i2 2 2 2)-1

17、/n*()-1/n*()-1/n*()-1/n*(X X X Xi i i i)2 2 2 2L L L Lyyyyyyyy=(Y Y Y Yi i i i2 2 2 2)-1/n*()-1/n*()-1/n*()-1/n*(Y Y Y Yi i i i)2 2 2 2L L L Lxyxyxyxy=(X X X Xi i i i*Y*Y*Y*Yi i i i)-1/n*()-1/n*()-1/n*()-1/n*(X X X Xi i i i)*)*)*)*(Y Y Y Yi i i i)就是平方的和就是平方的和-1/n*-1/n*-1/n*-1/n*和的平方和的平方3 3 3 3）()()(

18、)()1 1 1 1=L L L Lxyxyxyxy/L L L Lxxxxxxxx ()()()()0 0 0 0=y()-=y()-=y()-=y()-()()()()1 1 1 1*x(-)*x(-)*x(-)*x(-)4)4)4)4)故所求的回归方程为故所求的回归方程为 y()=y()=y()=y()=()()()()0 0 0 0+()()()()1 1 1 1x x x x(2)5)(2)5)(2)5)(2)5)HHHH0 0 0 0:1 1 1 1=0=0=0=0HHHH1 1 1 1:1 1 1 1 0 0 0 06 6 6 6）()=()=()=()=L L L Lxyxyx

19、yxy/(L(L(L(Lxxxxxxxx*L*L*L*Lyyyyyyyy)=)=)=)=7)7)7)7)查表查表 （n-2n-2n-2n-2）=8)|8)|8)|8)|()|=()|=()|=()|=()|()|()|（n-2n-2n-2n-2）接受）接受 HHHH0 0 0 0，有有线性关系线性关系【概率论与数理统计复习提纲【概率论与数理统计复习提纲】考试考试的时候直接缩印吧的时候直接缩印吧！没上过课的朋友没上过课的朋友们注意了！们注意了！来源：来源：凌瑛凌瑛AllenAllenAllenAllen 的的日志日志概率论与数理统计复习提纲概率论与数理统计复习提纲 更多资更多资源源 A A A，

20、B B B B，C C C C为三事件，为三事件，则则A A A A+B B B B+C C C C为至少一次发生为至少一次发生,ABABABABC C C C为同为同时发生时发生,ABABABAB+BCBCBCBC+ACACACAC为至少两次发生为至少两次发生,为为恰有两次发生恰有两次发生.为恰有一次发生为恰有一次发生,等等等等,要善于将语要善于将语言翻译成事件运算公式以及将公式言翻译成事件运算公式以及将公式翻译成语言翻译成语言.如果如果A A A A,B B B B为对立事件为对立事件,则则,因此因此,二二,加法法则加法法则如如A A A A与与B B B B互 不 相 容互 不 相 容,

21、则则P P P P(A A A A+B B B B)=)=)=)=P P P P(A A A A)+)+)+)+P P P P(B B B B)而对于任给的而对于任给的A A A A与与B B B B有有P P P P(A A A A+B B B B)=)=)=)=P P P P(A A A A)+)+)+)+P P P P(B B B B)-)-)-)-P P P P(ABABABAB)(1)(1)(1)(1)因 此因 此,P P P P(A A A A+B B B B),),),),P P P P(A A A A),),),),P P P P(B B B B),),),),P P P P(

22、ABABABAB)这四个概率只要知道三个这四个概率只要知道三个,剩下一个剩下一个就能够求出来就能够求出来.因因 将将B B B B分解分解为为A A A AB B B B与与 两个互不相容两个互不相容事件事件,则则(2)(2)(2)(2)将这两个式子分别代入到将这两个式子分别代入到(1)(1)(1)(1)式式,可可以得以得因此因此P P P P(A A A A+B B B B),),),),P P P P(A A A A)及及 这三个概率这三个概率只要知道两个只要知道两个,剩下那个就能求出来剩下那个就能求出来,同样同样,P P P P(A A A A+B B B B),),),),P P P

23、P(B B B B)及及 只要知道两只要知道两个个,剩下那个就能求出来剩下那个就能求出来.例如例如,在已在已知知P P P P(A A A A+B B B B),),),),A A A A与与B B B B只有一件发生的概率为只有一件发生的概率为由由(2)(2)(2)(2)式可知式可知因此因此A A A A与与B B B B只有一件发生的概率为只有一件发生的概率为三三,全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式设设A A A A1 1 1 1,A A A A2 2 2 2,构成完备事件组构成完备事件组,则任给事件则任给事件B B B B有有(全概率公式全概率公式),),),),及及(贝叶斯公

24、式贝叶斯公式)其中其中,最常用的完备事件组最常用的完备事件组,就是一个事件就是一个事件A A A A与它的逆与它的逆,即任给即任给事件事件A A A A,B B B B有有通常是将试验想象为分为两步通常是将试验想象为分为两步做做,第一步的结果将导致第一步的结果将导致A A A A或者或者 之之一发生一发生,而这将影响到第二步的结果而这将影响到第二步的结果的事的事件件B B B B是否发生的概率是否发生的概率.如果是已如果是已知第一步的各事件概率及第一步各知第一步的各事件概率及第一步各事件发生条件下第二步事件事件发生条件下第二步事件B B B B发生发生的概率的概率,并要并要求求B B B B发

25、生的概率发生的概率,就用就用全概率公式全概率公式.而如果是要求在第二步而如果是要求在第二步事件事件B B B B已经发生条件下第一步各事已经发生条件下第一步各事件的概率件的概率,就用贝叶斯公式就用贝叶斯公式.四四,随机变量及分布随机变量及分布1.1.1.1.离散型随机变量离散型随机变量一 元一 元:P P P P(=x x x xk k k k)=)=)=)=p p p pk k k k(k k k k=1,2,=1,2,=1,2,=1,2,),),),),二元二元:P P P P =x x x xk k k k,=y y y yj j j j)=)=)=)=p p p pij ij ij i

26、j(i i i i,j j j j=1,2,=1,2,=1,2,=1,2,)边缘分布与联合分布的关系边缘分布与联合分布的关系:要注意二元随机变量的函数的计算要注意二元随机变量的函数的计算中中,要合并计算后的值有重合的情要合并计算后的值有重合的情况况.2.2.2.2.连续型随机变量连续型随机变量,性质性质:分布函数为分布函数为,且有且有如如 (x x x x),),),),=f f f f(),),),),则求则求 的概率密的概率密度函数的办法度函数的办法,是先求是先求 的分布函的分布函数数F F F F (x x x x),),),),然后对然后对F F F F (x x x x)求导即得求导

27、即得 的概率密度的概率密度函数函数.五五,随机变量的数字特征随机变量的数字特征数学期望数学期望:离散型离散型:连续型连续型:方差方差:离散型离散型:先计算先计算,则则连续型连续型:先计算先计算 则则六六,几种常用的分布几种常用的分布二项分布二项分布 B B B B(n n n n,p p p p)是指是指.它描述了贝努里独立试验概型它描述了贝努里独立试验概型中中,事事件件A A A A发发生生k k k k次的概率次的概率.试验可试验可以同时进行以同时进行,也可以依次进行也可以依次进行.均匀分布均匀分布 服从服从 a a a a,b b b b 上的均匀分布上的均匀分布,是是指指如如 服从服从

28、0,10,10,10,1上的均匀分布上的均匀分布,=k k k k +c c c c,则则 服从服从 c c c c,k k k k+c c c c 上的均上的均匀分布匀分布.七七,无偏估计无偏估计对参数对参数 的估计的估计 是无偏估计是无偏估计,是是指指,一般来讲一般来讲,是是E E E E 的无偏估计的无偏估计,而而S S S S2 2 2 2是是D D D D 的无偏估计的无偏估计.但是但是,在在 是是的无偏估计时的无偏估计时,不能肯定不能肯定f f f f()是是f f f f()的无偏估计的无偏估计,须另作分析须另作分析.八八,最大似然估计最大似然估计对于对于n n n n个样本值个

29、样本值x x x x1 1 1 1,x x x x2 2 2 2,x x x xn n n n如总体如总体 为连续型随机变量为连续型随机变量,(x x x x;),),),),则似然函数则似然函数而 如 总 体而 如 总 体 为 离 散 型 随 机 变 量为 离 散 型 随 机 变 量,P P P P(=x x x xi i i i)=)=)=)=p p p p(x x x xi i i i;),),),),则似然函数则似然函数则解似然方程则解似然方程解得解得 的最大似然估计值的最大似然估计值九九,区间估计区间估计在 正 态 总 体 下在 正 态 总 体 下,即 总 体即 总 体 NNNN(,

30、2 2 2 2)时时,如果如果 2 2 2 2为已知为已知,则则,则在给定检验则在给定检验水平水平 时时,查正态分布表求查正态分布表求u u u u 使使,则置信度为则置信度为 1-1-1-1-的置信区间为的置信区间为如果如果 2 2 2 2为未知为未知,则则,其中其中S S S S为样本为样本方差的开平方方差的开平方(或者说测得的标准差或者说测得的标准差.查查t t t t-分布表求分布表求t t t t 使使,则置信度则置信度为为1-1-1-1-的置信区间为的置信区间为.十十,假设检验假设检验在 正 态 总 体 下，即 总 体在 正 态 总 体 下，即 总 体 NNNN(,2 2 2 2)

31、时时,在在 2 2 2 2为已知条件下为已知条件下,检验假检验假设设HHHH0 0 0 0:=0 0 0 0,选取统计量选取统计量,则在则在HHHH0 0 0 0成立的条件下成立的条件下UUUU NNNN(0,1),(0,1),(0,1),(0,1),对于给定对于给定的检验水平的检验水平 ,查正态分布表确定临查正态分布表确定临界值界值u u u u ,使使,根据样本观察值计算根据样本观察值计算统计量统计量UUUU的值的值u u u u与与u u u u 比较比较,如如|u u u u|u u u u 则否定则否定HHHH0 0 0 0,否则接收否则接收HHHH0 0 0 0.如如 2 2 2

32、2为未知为未知,则选取统计量则选取统计量,在在HHHH0 0 0 0假设成立假设成立时时T T T T t t t t(n n n n-1),-1),-1),-1),对于给对于给定的检验水平定的检验水平 和样本容量和样本容量n n n n,查查t t t t-分布表确定临界分布表确定临界值值t t t t 使使P P P P(|(|(|(|T T T T|t t t t )=)=)=)=,根据样本观察值计算统计根据样本观察值计算统计量量T T T T的的值值t t t t与与t t t t 比较比较,如如|t t t t|t t t t 则否定则否定HHHH0 0 0 0,否则否则接收接收HH

33、HH0 0 0 0.如果是大样本情况下如果是大样本情况下，t t t t-分布接分布接近标准正态分布近标准正态分布，因此又可以查正态因此又可以查正态分布表分布表。这时这时，认为样式本方差可以认为样式本方差可以作为精确的方差使用。作为精确的方差使用。需要重点练习的习题和例题：需要重点练习的习题和例题：p p p p5:5:5:5:例例 2.2.2.2.p p p p6:6:6:6:例例 3.3.3.3.p p p p226:226:226:226:1,2.1,2.1,2.1,2.p p p p27:27:27:27:20.20.20.20.p p p p59:59:59:59:36,37.36,

34、37.36,37.36,37.p p p p99:99:99:99:1.1.1.1.p p p p28:28:28:28:27,28,30.27,28,30.27,28,30.27,28,30.p p p p56:56:56:56:16,19.16,19.16,19.16,19.p p p p57:57:57:57:22,23.22,23.22,23.22,23.p p p p59:59:59:59:33,34.33,34.33,34.33,34.p p p p76:76:76:76:14,15.14,15.14,15.14,15.p p p p164:164:164:164:2,4.2,4.2,4.2,4.p p p p165:165:165:165:8,11.8,11.8,11.8,11.p p p p184:184:184:184:1,2.1,2.1,2.1,2.p p p p235:235:235:235:58,60.58,60.58,60.58,60.