概率论与数理统计第二版3 西南财经大学出版社ch3 ans.pdf

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1、 1概率论习题三解答概率论习题三解答 习题习题 3.1 1 试给出二维随机变量的实例（略）2 判断二元函数+=,0,0,0,1),(yxyxyxF 是否为某个二维随机变量(X,Y)的联合分布函数？解：因 F(1,1)=F(1,1)=F(1,1)=1，F(1,1)=0，则 F(1,1)F(1,1)F(1,1)+F(1,1)=1 0，故 F(x,y)不满足联合分布函数的基本性质，不能成为某个二维随机变量(X,Y)的联合分布函数 3 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为+=,0,0,0,2221),(其他yxyxFyxyx 试求 X 与 Y 的边缘分布函数 FX(x),FY(y)，以及概率 P1

2、 X 2,3 Y 5 解：=+=,0,0,21),()(其他xxFxFxX=+=,0,0,21),()(其他yyFyFyY P1 X 2,3 Y 5=F(2,5)F(1,5)F(2,3)+F(1,3)=(1 2 2 2 5+2 7)(1 2 1 2 5+2 6)(1 2 2 2 3+2 5)+(1 2 1 2 3+2 4)=2 7 2 6 2 5+2 4 习题习题 3.2 1 一口袋中有 4 个球，上面分别标有数字 1,2,2,3，从该袋中任取一球，不放回，再从该袋中任取一球，用 X、Y 分别表示第一次、第二次取得的球上的数字，求二维随机变量(X,Y)的联合分布律 解：X、Y 的全部可能取值都

3、是 1,2,3，有 PX=1,Y=1=0，6132412,1=YXP，12131413,1=YXP，6131211,2=YXP，6131212,2=YXP，6131213,2=YXP，12131411,3=YXP，6132412,3=YXP，PX=3,Y=3=0，故(X,Y)的联合分布律为 061121361616121216101321XY 2 一盒中装有 2 只白球，3 只黑球，现进行有放回摸球，每次 1 球用 X 表示第一次摸出的白球数，用课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 2Y 表示第二次摸出的白球数，求二维随机变量(X,Y)的联合分布律与 X 及 Y 的边缘分布律

4、 解：X、Y 的全部可能取值都是 0,1，有16.052520,0=YXP，24.053521,0=YXP，24.052530,1=YXP，36.053531,1=YXP，故(X,Y)的联合分布律与 X 及 Y 的边缘分布律为 06.04.06.036.024.014.024.016.0010jippXY 3 在上题中采用不放回摸球方式，求二维随机变量(X,Y)的联合分布律与 X 及 Y 的边缘分布律 解：X、Y 的全部可能取值都是 0,1，有1.041520,0=YXP，3.043521,0=YXP，3.042530,1=YXP，3.042531,1=YXP，故(X,Y)的联合分布律与 X

5、及 Y 的边缘分布律为 06.04.06.03.03.014.03.01.0010jippXY 4 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为 ppXY0101010 求(X,Y)的联合分布函数 解：x、y 的分段点都是 0,1，当 x 0 或 y 0 时，F(x,y)=PX x,Y y=P()=0，当 0 x 1 且 0 y 1 时，F(x,y)=PX x,Y y=PX=0,Y=0=1 p，当 0 x 1 且 y 1 时，F(x,y)=PX x,Y y=PX=0,Y=0+PX=0,Y=1=1 p，当 x 1 且 0 y 1 时，F(x,y)=PX x,Y y=PX=0,Y=0+PX=1,Y=0=

6、1 p，当 x 1 且 y 1 时，F(x,y)=PX x,Y y=P()=1，故(X,Y)的联合分布函数为=,1,0kYkYXk若若 (k=1,2)，试求(X1,X2)的联合分布律 解：因 Y e(1)，有 Y 的密度函数为 2=P()=0，21212121eeede212,10,1=yyyYPYYPXXP，22221eede22,11,1+=yyyYPYYPXXP，故(X1,X2)的联合分布律为 221112eee10e1010XX 7 已知随机变量 X B(1,0.6)，关于 Y 的条件分布如下表 4121410|321=XYPY，3161211|321=XYPY，求(X,Y)的联合分布

7、律及在 Y=1 条件下 X 的条件分布律 解：因 X 的分布律为 课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 46.04.010PX，则1.0414.00|101,0=XYPXPYXP，2.0214.00|202,0=XYPXPYXP，1.0414.00|303,0=XYPXPYXP，3.0216.01|111,1=XYPXPYXP，1.0616.01|212,1=XYPXPYXP，2.0316.01|313,1=XYPXPYXP，故(X,Y)的联合分布律为 03.03.04.06.02.01.03.014.01.02.01.00321jippXY；因25.04.01.011,01

8、|0=YPYXPYXP，75.04.03.011,11|1=YPYXPYXP，故在 Y=1 条件下 X 的条件分布律为 75.025.01|(10=YXPX 习题习题 3.3 1 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为=,0,1,1,21),(2其他xyxxyxyxf 求 X、Y 的边缘密度函数 fX(x)、fY(y)解：如图，X 的可能取值范围 1,+)，当 x 1 时，xyx1，则xxyxyyxxfxxxxXln1|ln|21d21)(21212=，x 1，故=;1,0,1,ln1)(2xxxxxfX x0 1 y 课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 5Y 的可能取值

9、范围(0,+)，当 0 y 1 时，+xy1，则2121d21)(112=+yyYxyxyxyf，0 y 1，当 y 1 时，x y +，则222121d21)(yxyxyxyfyyY=+，y 1，故=.0,0,1,21,10,21)(2yyyyyfY 2 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为=,0),1(20,10,),(其他xyxcxyyxf 试求：（1）常数 c；（2）fX(x)、fY(y)解：（1）如图，：0 x 1，0 y 2(1 x)，由规范性得6)4322(2d)1(422ddd11043210210)1(20210)1(20cxxxcxxxcxycxycxyxxx=+=，故

10、 c=6；（2）X 的可能取值范围(0,1)，当 0 x 1 时，0 y 2(1 x)，则2)1(202)1(20)1(123d6)(xxxyyxyxfxxX=，0 x 1，故=;,0,10,)1(12)(2其他xxxxfX Y 的可能取值范围(0,2)，当 0 y 2 时，210yx，则22102210)21(33d6)(yyyxxxyyfyyY=，0 y 2，故=.,0,20,)21(3)(2其他yyyyfY 3 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为=+,0,0,0,e),()22(其他yxayxfyx 求：（1）常数 a；（2）(X,Y)落入区域 D=(x,y)|x 0,y 0,2x

11、+3y 6内的概率；（3）(X,Y)的联合分布函数 F(x,y)x0 1y 2 课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 6解：（1）由规范性：1ddedd),(00)22(=+yxayxyxfyx，得141)e21()e21(dede02020022=+aayxayxyx，故 a=4；（2）D：0 x 3，3260 xy，故+=30326022303260)22()e2(dde4ddd),(),(xyxxyxDxyxyxyxfDYXP 1e3e2)1e3()ee3()ee3(d)e2e2(46466302324302324+=+=xxxxx；（3）当 x 0 或 y 0 时，F

12、(x,y)=0，当 x 0 且 y 0 时，+=xyvuxyvuvuvufyxF00)22(dde4dd),(),()e1)(e1()e21()e21(4dede42202020022yxyvxuxyvuvu=，故(X,Y)的联合分布函数=.,0,0,0),e1)(e1(),(22其他yxyxFyx 4 在区间(1,2)上随机地选取两点，其坐标分别记为 X 与 Y求两坐标之和大于 1 且两坐标之积小于 1的概率 解：二维随机变量(X,Y)服从区域 D=(x,y)|1 x 2,1 y 1,xy 1,1 x 2,1 y=+,0,0,0,e),()(其他yxyxfyx 试求 PX Y 解：+=020

13、000)(d)ee()e(ddedxxyxYXPxxxyxxyx 21)121(0)ee21(02=+xx 注：此题也可由 X 与 Y 的对称性直接可得21=YXP 6 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为+=,0,),(),(22222222RyxRyxyxRcyxf xy 0 2x+3y=632 D xy 0 22 1 1 DG xy 0 课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 7试求：（1）常数 c 之值；（2）(X,Y)落入区域 x 2+y 2 r 2 (r R)的概率 解：（1）由规范性：1d)(ddd)(dd),(20022222=+=+RRyxRcyxyxRc

14、yxyxf，得13d61)3121(d320320032=RcRcRcR，故33Rc=；（2）=+=+2003223222d)(3ddd)(3|),(222rryxRRyxyxRRryxyxP 322032320032323d)3121(3)3121(d3=RrRrrrRRRRr 7 设随机变量(X,Y)的条件密度函数为=,0,10,0,3)|(32其他yyxyxyYxfX 及 Y 的边缘密度函数为 XP 解：(X,Y)的联合密度函数为 xxxxxyxxyyxxXPxx 习题习题 3.4 1 将一枚硬币连抛两次，令=,0,1次出现反面第次出现正面第kkXk（k=1,2），验证 X1与 X2相互

15、独立 证：因 X1与 X2的全部可能取值都是 0,1，有 PX1=i,X2=j=0.5 0.5=0.25，（i,j=1,2），则(X1,X2)的联合分布律为 05.05.05.025.025.015.025.025.001012jippXX xy 0 1 1/2 1 课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 8y x0 1 1 1因 pij=pi p j，（i,j=1,2），故 X1与 X2相互独立 2 设随机变量(X,Y)在区域 D 上服从均匀分布，且210,20|),(xyxyxD=，讨论 X 与 Y 是否相互独立？解：(X,Y)的联合密度函数为=,0,210,20,1),(

16、其他xyxyxf 因 X 的全部可能取值范围是(0,2)，当 0 x 2 时，210 xy，则21d1)(210 xyxfxX=，0 x 2，因 Y 的全部可能取值范围是(0,1)，当 0 y 1 时，0 x 2 2y，则yxyfyY22d1)(220=，0 y 1，即),(,0,10,20),22)(21()()(yxfyxyxyfxfYX=其他，故 X 与 Y 不独立 3 设);,;,(),(222121NYX，证明 X 与 Y 独立的充要条件是=0 证：充分性：设=0，(X,Y)的联合密度函数为)()(e21e21e21),(222221212222112)(22)(12121yfxfy

17、xfYXyxyx=+，故 X 与 Y 独立；必要性：设 X 与 Y 独立，有(X,Y)的联合密度函数 f(x,y)=fX(x)fY(y)，特别是取 x=1，y=2，有21212122121212121)()(121),(=YXfff，故=0 4 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为=,0,10,|,1),(其他xxyyxf 判断 X 与 Y 是否相互独立？解：因 X 的全部可能取值范围是(0,1)，当 0 x 1 时，x y x，则xdyxfxxX21)(=，0 x 1，因 Y 的全部可能取值范围是(1,1)，当 1 y 0 时，y x 1，当 0 y 1 时，y x 1，则当 1 y 0 时

18、，ydxyfyY+=11)(1；当 0 y 1 时，ydxyfyY=11)(1；即),(,0,10,10),1(2,01,10),1(2)()(yxfyxyxyxyxyfxfYX+=其他，xy 0 1 2课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 9故 X 与 Y 不独立 5 设随机变量 X 与 Y 相互独立，证明随机变量 X 2与 Y 2也相互独立 解：因(X 2,Y 2)的联合分布函数为,),(22,22yYxXPyxFYX=，且 X 2与 Y 2的边缘分布函数分别为)(22xXPxFX=，)(22yYPyFY=，当 x 0 或 y 0 时，有)()(0),(2222,yFxF

19、yxFYXYX=，当 x 0 或 y 0 时，有,),(22,22yYyxXxPyYxXPyxFYX=,lim0yYyxXxP=+),(),(),(),(lim,0+=+yxFyxFyxFyxFYXYXYXYX)()()()()()()()(lim0+=+yFxFyFxFyFxFyFxFYXYXYXYX)()()()(lim0=+yFyFxFxFYYXX lim0yYyPxXxP=,0,0,0,e)(yyyfyY 求 Z=X+Y 的密度函数 fZ(z)解：因 X 与 Y 相互独立，有(X,Y)的联合密度函数=,0,0,10,e)()(),(其他yxyfxfyxfyYX 对于 Z=X+Y，作曲线

20、簇 x+y=z，得 z 的分段点 0,1，当 z 0 时，FZ(z)=0，有0)()(=zFzfZZ，当 0 z 1 时，=zxzyzxzyGZxyxyxyxfzF0000)e(ddeddd),()(1 xy 0 x+y=z 1G1 G1：0 z 1：0 x z,0 y z xz 课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 11zzxzzxzzxx+=+=+=e1)e(d)1e(00，有zZZzFzf=e1)()(，当 z 1 时，=100100)e(ddeddd),()(2xzyxzyGZxyxyxyxfzF zzxzxzxx+=+=+=e1e)e(d)1e(11010，有zzz

21、ZZzFzf+=e)1e(ee)()(1，故 Z=X+Y 的密度函数 0 时，1e)e(212de21ddd),()(222222022220022+=zzrzrGZrryxyxfzF，则222e21)()(zZZzFzf=，故 Z=X 2+Y 2的密度函数=.0,0,0,e21)(222zzzfzZ 6 设随机变量 X 服从区间(0,1)上的均匀分布，Y 服从参数为 1 的指数分布，且 X 与 Y 相互独立，试求下列随机变量的密度函数：（1）Z1=X+Y；（2）Z2=X Y 解：X U(0,1)，X 的密度函数=,0,10,1)(其他xxfX，Y e(1)，Y 的密度函数=,0,0,0,e)

22、(yyyfyY 因 X 与 Y 相互独立，有(X,Y)的联合密度函数=,0,0,10,e)()(),(其他yxyfxfyxfyYX（1）对于 Z1=X+Y，同第 4 题；（2）对于 Z2=X Y，作曲线簇 x y=z，得 z 的分段点 0,1，当 z 0 极坐标：0 2,1 r zxy 0 x2+y2=zG xy 0 x y=z1G3：z 0：0 x 1,x z y +G21 课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 12当 0 z 1 时，+=1002deddeddd),()(22zzxyzyGyxyxyxyxfzF+=+=10100ded)e(d)e(dzxzzzzxyzyx

23、xxx 1ee11+=zzxzzz，则122e1)()(=zzFzf，当 z 1 时，F2(z)=1，则0)()(22=zFzf，故 Z2=X Y 的密度函数=.1,0,10,e1,0,e)e1()(112zzzzfzz 7 设(X,Y)相互独立且服从区间(0,a)上的均匀分布，求下列随机变量函数的分布：（1）Z1=X+Y；（2）YXZ=2 解：X,Y U(0,a)，X,Y 的密度函数分别为=,0,0,1)(其他axaxfX=,0,0,1)(其他ayayfY 因 X 与 Y 相互独立，有(X,Y)的联合密度函数=,0,0,0,1)()(),(2其他ayaxayfxfyxfYX 即(X,Y)服从

24、区域 D=(x,y)|0 x a,0 y a上的二维均匀分布，（1）对于 Z1=X+Y，作曲线簇 x+y=z，得 z 的分段点 0,a,2a，当 z 0 时，F1(z)=0，则0)()(11=zFzf，当 0 z a 时，22221221)(11azazSSzFDG=，则211)()(azzFzf=，当 a z 2a 时，2222221242)2(21)(12azazaazaaSSzFDG+=，则22112224)()(azaazazFzf=，当 z 2a 时，F1(z)=1，则0)()(11=zFzf，故 Z1=X+Y 的密度函数=;,0,2,2,0,)(221其他azazzaazazzf（

25、2）对于YXZ=2，作曲线簇zyx=，得 z 的分段点 0,1，当 z 0 时，F2(z)=0，则0)()(22=zFzf，xy 0 1G3：0 z 1：0 x z,0 y +z x 1,x z y +z G22 x y=zx0 ay DG12z aa x+y=za z 2ax0 aG11 zz y Dx+y=z0 z ax0 ay DazG21 a 0 z 1课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 13当 0 z 1 时，221)(2221zaazaSSzFDG=，则21)()(22=zFzf，当 z 1 时，zazaaaSSzFDG21121)(22222=，则22221)

26、()(zzFzf=，故YXZ=2的密度函数 0，y 0，试确定系数 a 的值，并求联合分布函数 F(x,y)解：由规范性：1dd)1)(1(dd),(0022=+=+yxyxayxyxf，得14arctanarctand11d112000022=+ayxayyxxa，故24=a；当 x 0 或 y 0 时，F(x,y)=0，当 x 0 且 y 0 时，+=x yxyvuvuvuvufyxF0 0222dd)1)(1(4dd),(),(yxvuvvuuyxxyarctanarctan4arctanarctan4d11d114200200222=+=，故=.,0,0,0,arctanarctan4

27、),(2其他yxyxyxf 4 二维随机变量(X,Y)服从区域 D 的均匀分布，其中 D 为以原点为圆心，a 为半径的圆的上半圆周与 x轴所围成的区域求：（1）(X,Y)的边缘密度函数；（2）P(X,Y)G，其中 G 为以)0,2(a为圆心，2a为半径的圆所围成的区域 解：（1）D 的面积22aSD=，故=,),(,0,),(,2),(2DyxDyxayxf 因 X 的全部可能取值为(a,a)，当 a x a 时，220 xay，xy 0 x y(x,y)ax0 y a D G 课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 15故222022d2)(22xaayaxfxaX=，a x

28、 a，即=;,0,2)(222其他axaxaaxfX 又因 Y 的全部可能取值为(0,a)，当 0 y a 时，2222yaxya，故22224d2)(2222yaayayfyayaY=，0 y a，即+=,0,0,0,e)1(),(2其他yxyxyxfx 试讨论 X,Y 的独立性 解：广义矩形区域 x 0，y 0，D xy 0 1 2 y=2x y=2x2课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 16则xxxXxyxyyxyyxfxf+=+=+=e)11(ed)1(ed),()(002，x 0，ee)1(1)e()1(1)1(e),()(0020202+=+=+=dxxydxy

29、dxyxdxyxfyfxxxxY 202)1(10)1(1yeyx+=+=+，y 0，即边缘密度函数=0,00,)(xxxexfxX，+=0,00,)1(1)(2yyyyfY；因 f(x,y)=fX(x)fY(y)，故 X 与 Y 独立 7 甲、乙相约 9:10 在车站见面，假设甲、乙到达车站的时间分别均匀分布在 9:00-9:30 及 9:10-9:50 之间，且两人到达的时间相互独立求下列事件的概率：（1）甲先到；（2）先到的人等后到的人的时间不超过 10 分钟 解：设甲、乙到达车站的时间分别为 9 点 X 分钟、9 点 Y 分钟，则(X,Y)服从区域 D=(x,y)|0 x 30,10

30、y 50上的二维均匀分布，（1）甲先到，即 X Y，故65120020012001=DGSSYXP；（2）先到的人等后到的人的时间不超过 10 分钟，即|X Y|10，故3112005045010|2=DGSSYXP 8 设 F1(x),F2(y)是两个随机变量 X,Y 的分布函数，f1(x),f2(y)是相应的密度函数 试证：对任意（|1），f(x,y)=f1(x)f2(y)1+2 F1(x)12 F2(y)1 是二维随机变量(X,Y)的联合密度函数，且以 f1(x),f2(y)为其边缘密度函数 证：根据已知条件得：0 F1(x)1，0 F2(x)1，0)()(11=xFxf，0)()(22

31、=yFyf，且|1，有1 2F1(x)1 1，1 2F2(y)1 1，得 0 1+2 F1(x)12 F2(y)1 2，则 f(x,y)=f1(x)f2(y)1+2 F1(x)12 F2(y)1 0，非负性成立，且+=yyFxFyfxfxyxyxfd1)(21)(21)()(ddd),(2121+=)(d1)(21)(21)(d2211yFyFxFxfx+=)()(1)(2)()(d222121yFyFxFyFxfx 1d)(d0 111)(21)(111=+=+xxfxxFxf，规范性成立，故 f(x,y)是二维随机变量(X,Y)的联合密度函数；边缘密度函数+=yyFxFyfxfyyxfxf

32、Xd1)(21)(21)()(d),()(2121+=)(d1)(21)(21)(2211yFyFxFxf 0 10 50 30 xy G10 10 50 30 xy G210课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 17)()()(1)(2)()(1222121xfyFyFxFyFxf=+=+，同理边缘密度函数)()(2yfyfY=，故 f1(x),f2(y)分别为 f(x,y)的边缘密度函数 9 设(X,Y)的联合分布函数为 F(x,y)=G(x)H(y)H(),x,y +，且 G(+),H(+),H()均存在，试证：X 与 Y 相互独立 证：F(x,y)是(X,Y)的联合分

33、布函数，有 F(+,+)=G(+)H(+)H()=1，因边缘分布函数 FX(x)=F(x,+)=G(x)H(+)H()，且边缘分布函数 FY(y)=F(+,y)=G(+)H(y)H()，则 FX(x)FY(y)=G(x)H(+)H()G(+)H(y)H()=G(x)1 H(y)H()=F(x,y)，故 X 与 Y 相互独立 10设(X,Y)在区域 G=(x,y)|x|+|y|a上服从均匀分布，求 X 与 Y 的边缘密度函数，并判断 X 与 Y是否相互独立 解：因区域 G 的面积 SG=2a2，有(X,Y)的联合密度函数为+=,0,|,21),(2其他ayxayxf G：当a x 0 时，a x

34、 y a+x，当 0 x a 时，x a y a x，则当a x 0 时，2221),()(axadyadyyxfxfxaxaX+=+，当 0 x a 时，2221),()(axadyadxyxfxfxaaxX=+，故+=,0,0,0,)(22其他axaxaxaaxaxfX 同理+=,0,0,0,)(22其他ayayayaayayfY即 f(x,y)fX(x)fY(y)，故 X 与 Y 不独立 11求本复习题三第 4 题中二维随机变量(X,Y)的两个条件密度函数 fX(x|Y=y)及 fY(y|X=x)解：(X,Y)的联合密度函数为=,),(,0,),(,2),(2DyxDyxayxf 因 X

35、 的全部可能取值为(a,a)，当 a x a 时，220 xay，则222022d2)(22xaayaxfxaX=，a x a，即=,0,2)(222其他axaxaaxfX 故当a x 0，有222222122)(),()|(xaxaaaxfyxfxXyfXY=，220 xay，又因 Y 的全部可能取值为(0,a)，当 0 y a 时，2222yaxya，xy aa 0 G ax0 y a D课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 18则22224d2)(2222yaayayfyayaY=，0 y a，即=,0,0,4)(222其他ayyaayfY 当 0 0，有 222222

36、2142)(),()|(yayaaayfyxfyYxfYX=，2222yaxya，故当a x a 时，条件密度函数=;,0,0,1)|(2222其他xayxaxXyfY 当 0 y a 时，条件密度函数=.,0,21)|(222222其他yaxyayayYxfX 12某电脑批发商经营台式电脑和笔记本电脑该商家每月收到的台式电脑和笔记本电脑订单在接到订单的 1 周内能及时发货的比例分别为随机变量 X 和 Y，其联合密度函数为=,0,10,10,2),(其他yxyxyxf（1）求某月内台式电脑和笔记本电脑订单在 1 周内能及时发货的比例都超过 75%的概率；（2）假设某月内台式电脑和笔记本电脑订单

37、数量相同，求全部订单的 75%以上在 1 周内能及时发货的概率；（3）随机变量 X 与 Y 是否相互独立？（4）已知某月内台式电脑订单在 1 周内能及时发货的比例为 x（0 x 0.75，Y 0.75，G1：0.75 x 1，0.75 175.0175.0d)2(ddd),(75.0,75.01yyxxyxyxfYXPG 641)8329(d)4329()22(d175.02175.0175.0175.02=xxxxyxyyx；（2）需要75.02+YX，G2：0.5 x 1，1.5 x+15.015.1d)2(ddd),(75.022xGyyxxyxyxfYXP 241)6283(d)283

38、()22(d15.03215.0215.015.12=+=+=xxxxxxyxyyxx；（3）矩形区域 0 x 1，0 y 1，则xyxyyyyxyyxfxfX=+23)22(d)2(d),()(10210，0 x 1，0 1 1xy G10.750.75 0 1 1xy 0.5G2课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 19yxyxxxyxxyxfyfY=+23)22(d)2(d),()(10210，0 y 1，故边缘密度函数=,0,10,23)(其他xxxfX=,0,10,23)(其他yyyfY 因 f(x,y)fX(x)fY(y)，故 X 与 Y 不独立（4）先求在 X=

39、x 条件下，Y 的条件分布，当 0 x 1 时，fX(x)0，有10,23224232)(),()|(=yxyxxyxxfyxfxXyfXY，则当 0 x 1 时，15.0215.015.02324d23224d)|(|5.0 xyxyyyxyxyxXyfxXYPY=xxxx812452325.1=，有0)812(8)812()45()8()812()4(|5.0dd22=xxxxxXYPx，故若 0 x 1000，即 XY 1，G：0.1 x 0.2，+2.01.012.01.01)e10(dde10ddd),(1xxyxxyGxyxxyxyxfXYP 12.01.012.01.01ee10

40、de10=xx；（2）广义矩形区域 0.1 x 0.2，0 y +，则10)e10(de10d),()(00=+xyxyXyxyyxfxf，0.1 x 0.2，故月平均价格 X 的密度函数为=;,0,2.01.0,10)(其他xxfX（3）当 0.1 x 0，有xyxyXYxxxfyxfxXyf=e10e10)(),()|(，y 0，故当 0.1 x=,0,0,0,e)|(yyxxXyfxyY 0 0.2xy 0.1Gxy=1课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 20且6.0415.0415.04e)e(de15.0d)15.0|(15.0|4+=yyYyyXyfXYP，8.

41、042.042.04e)e(de2.0d)2.0|(2.0|4+=yyYyyXyfXYP，有 PY 4|X=0.15 PY 4|X=0.2，可见当平均价格增加时，月销售量有下降的趋势 14设随机变量 X 服从参数为 p（0 p=+,0,0,0,e2),()2(其他yxyxfyx 求 Z=X+2Y 的分布函数 解：作曲线簇 x+2y=z，得 z 的分段点 0，当 z 0 时，FZ(z)=0，则0)()(=zFzfZZ，当 z 0 时，+=zxzzxzyxzxzyxGZxxyxyxyxfzF0020)2(020)2(d eeedde2ddd),()(1e)1(ee0+=zzxzzx，则zzzZZz

42、zzFzf=+=ee)1(e)()(，故 Z=X+2Y 的分布函数为+=;0,0,0,)1(1)(zzezzFzZ 密度函数为=.0,0,0,)(zzzezfzZ 16设(X,Y)在矩形区域 D=(x,y)|0 x 1,0 y 2上服从均匀分布，求下列随机变量的密度函数：（1）Z1=XY；（2）Z2=minX,Y 解：因 D 的面积 SD=2，有(X,Y)的联合密度函数=,0,20,10,21),(其他yxyxf（1）对于 Z1=XY，作曲线簇 xy=z，得 z 的分段点 0,2，当 z 0 时，F1(z)=0，则0)()(11=zFzf，当 0 z 2 时，2ln22ln22222)(121

43、211zzzxzzdxxzzSSzFzzDG=+=+=，则zzzFzf2ln212ln21)()(11=，当 z 2 时，F1(z)=1，则0)()(11=zFzf，xy0 x+2y=z z G G：0 x z,20 xzyxy 0 1G1：0 z 2z/2 2 xy=zG1 课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 21故 Z1=XY 的密度函数=;,0,20,2ln21)(1其他zzzf（2）对于 Z2=minX,Y，作曲线簇 minx,y=z，得 z 的分段点 0,1，当 z 0 时，F2(z)=0，则0)()(22=zFzf，当 0 z 1 时，2221232)1(2)(

44、2zzzzzSSzFDG=+=，则zzFzf=23)()(22，当 z 1 时，F2(z)=1，则0)()(22=zFzf，故 Z2=minX,Y 的密度函数=其它,01,1,1),(22yxyxyxf，求下列随机变量的密度函数：（1）Z1=XY；（2）YXZ=2 解：（1）对于 Z1=XY，作曲线簇 xy=z，得 z 的分段点 1，当 z 1 时，F1(z)=0，则0)()(11=zFzf，当 z 1 时，+=zzxzzxzGxxxzyxxyyxxyxyxfzF1211211221d)11()1(dd1ddd),()(1 11ln1)1ln1(1+=zzzxxzz，则zzzFzfln1)()

45、(211=，故 Z1=XY 的密度函数=;1,0,1,ln1)(21zzzzzf（2）对于YXZ=2，作曲线簇zyx=，得 z 的分段点 0,1，当 z 0 时，F2(z)=0，则0)()(22=zFzf，当 0 z 1 时，+=13121222d)1(dd1ddd),()(2xxzyxxyyxxyxyxfzFzxzxG 2212zxz=+，则21)()(22=zFzf，当 z 1 时，+=12311211222d)11()1(dd1ddd),()(3yyzyxyyyyxyyxyxfzFzyzyG xy 0 1G2：0 z 1z 2 G2 xy 0 G1：z 1：1 x z,1 y z/xxy

46、=z1 zG1 xy0G2：0 z 1：1 x +,x/z y +x/y=zG2xy 0 G3：z 1：1 y +,1 x zyx/y=zG3 课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 22121)121(12+=+zyzy，则22221)()(zzFzf=，故YXZ=2的密度函数=.0,0,1,21,10,21)(22zzzzzf 18设 X,Y 为随机变量已知520,0=YXP，5300=YPXP，求：（1）PmaxX,Y 0；（2）PminX,Y 0 解：（1）545253530,000000,max=+=+=YXPYPXPYXPYXP”“”“U；（2）535210,010,min10,min=YXPYXPYXP 课后答案网 w w w.k h d a w.c o m