概率统计知识点·考研.pdf

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1、考研数学知识点-概率统计 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 1一一.随机事件和概率 1、概率的定义和性质 随机事件和概率 1、概率的定义和性质（1）概率的公理化定义（1）概率的公理化定义 设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：1 0P(A)1，2 P()=1 3 对于两两互不相容的事件1A，2A，有=11)(iiiiAPAP 常称为可列（完全）可加性。则称 P(A)为事件A的概率。（2）古典概型（等可能概型）（2）古典概型（等可能概型）1 n21,=，2 nPPPn1)()()(21=。设任一事件A，它是由m21,组成的，则有 P(

2、A)=)()()(21m=)()()(21mPPP+nm=基本事件总数所包含的基本事件数A=2、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）2、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）（1）加法公式（1）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)（2）减法公式（2）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)当 BA 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A=时，P(B)=1-P(B)（3）条件概率和乘法公式（3）条件概率和乘法公式 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，则称)()(APABP为事件A 发生条件下，事件

3、 B 发生的条件概率，记为=)/(ABP)()(APABP。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。（4）全概公式（4）全概公式 设事件nBBB,21满足 1nBBB,21两两互不相容，),2,1(0)(niBPi=，2niiBA1=，则有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP+=。此公式即为全概率公式。（5）贝叶斯公式（5）贝叶斯公式 设事件1B，2B，nB及A满足 1 1B，2B，nB两两互不相容，)(BiP0，=i1，2，n，2 niiBA1=，0)(AP，则=njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i

4、=1，2，n。此公式即为贝叶斯公式。)(iBP，（1=i，2，n），通常叫先验概率。)/(ABPi，（1=i，2，n），通常称为后验概率。如果我们把A当作观察的“结果”，而1B，2B，nB理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。3、事件的独立性和伯努利试验 3、事件的独立性和伯努利试验（1）两个事件的独立性（1）两个事件的独立性 设事件A、B满足)()()(BPAPABP=，则称事件A、B是相互独立的（这个性质不是想当然成立的）。若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP=所以这与我们所理解的

5、独立性是一致的。若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。（证明）由定义，我们可知必然事件和不可能事件 与任何事件都相互独立。（证明）同时，与任何事件都互斥。（2）多个事件的独立性（2）多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，http:/考研数学知识点-概率统计 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 2 P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、B、C 相互独立。对于 n 个事件类似。两两互斥互相互斥。两两独立互相独立？（3

6、）伯努利试验（3）伯努利试验 定义 我们作了n次试验，且满足?每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；?n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；?每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为qp=1，用)(kPn表 示n重 伯 努 利 试 验 中A出 现)0(nkk次的概率，二.随机变量及其分布 1、随机变量的分布函数 二.随机变量及其分布 1、随机变量的分布函数（1）离散型随机变量的分布率（1）离散型随机变量的分布率 设离散型随机变量X的可能取值为 Xk(k=

7、1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：,|)(2121kkkpppxxxxXPX=。显然分布律应满足下列条件：（1）0kp，,2,1=k，（2）=11kkp。（2）分布函数（2）分布函数 对于非离散型随机变量，通常有0)(=xXP，不可能用分布率表达。例如日光灯管的寿命X，0)(0=xXP。所以我们考虑用X落在某个区间,(ba内的概率表示。定义 定义 设X为随机变量，x是任意实数，则函数)()(xXPxF=称为随机变量 X 的分布函数。)()()(aFbFbXaP=可以

8、得到 X 落入区间,(ba的概率。也就是说，分布函数完整地描述了随机变量 X 随机取值的统计规律性。分布函数)(xF是一个普通的函数，它表示随机变量落入区间（，x内的概率。)(xF的图形是阶梯图形，,21xx是第一类间断点，随机变量X在kx处的概率就是)(xF在kx处的跃度。分布函数具有如下性质：1 ,1)(0 xF +x；2 )(xF是单调不减的函数，即21xx时，有)(1xF)(2xF；3 0)(lim)(=xFFx，1)(lim)(=+xFFx；4 )()0(xFxF=+，即)(xF是右连续的；5 )0()()(=xFxFxXP。（3）连续型随机变量的密度函数（3）连续型随机变量的密度函

9、数 定义 设)(xF是随机变量X的分布函数，若存在非负函数)(xf，对任意实数x，有=xdxxfxF)()(，则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。)(xf的图形是一条曲线，称为密度（分布）曲线。由上式可知，连续型随机变量的分布函数)(xF是连续函数。所以，)()()()()()(1221212121xFxFxXxPxXxPxXxPxXxP=密度函数具有下面 4 个性质：1 0)(xf。2 +=1)(dxxf。考研数学知识点-概率统计 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 31)()(=+dxxfF的几何意义；在横轴上面、密度曲线下面的全部

10、面积等于 1。如果一个函数)(xf满足 1、2，则它一定是某个随机变量的密度函数。3 )(21xXxP)()(12xFxF21)(xxdxxf。4 若)(xf在x处连续，则有)()(xfxF=。dxxfdxxXxP)()(+它在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP=)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。)(),(,独立性古典概型，五大公式，APAE )()()()(xXPxFxXX=对于连续型随机变量X，虽然有0)(=xXP，但事件)(xX=并非是不可能事件。+=+=hxxdxxfhxXxPxXP)()()(令0h，则右端为零，而概率0)(=xXP，故得0)(=xXP。不可能事件

11、（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为 1，而概率为1 的事件也不一定是必然事件。2、常见分布 2、常见分布 01 分布 01 分布 P(X=1)=p,P(X=0)=q 二项分布 二项分布 在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生 的 次 数 是 随 机 变 量，设 为X，则X可 能 取 值 为n,2,1,0。knkknnqpkPkXPC=)()(，其中nkppq,2,1,0,10,1=，2,1,0=k，则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为)(X或者 P()。泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n）。超几何分布 超几何分布),min(

12、,2,1,0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM=随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布。几何分布 几何分布,3,2,1,)(1=kpqkXPk，其中 p0，q=1-p。随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布。均匀分布 均匀分布 设随机变量X的值只落在a，b内，其密度函数)(xf在a，b上为常数 k，即 =,0,)(kxf 其他，其中 k=ab1，则称随机变量X在a，b上服从均匀分布，记为 XU(a，b)。分布函数为 0，xa，,abax axb axb 考研数学知识点-概率统计 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 4=xdxxfxF)()(当 ax1x2

13、b 时，X 落在区间（21,xx）内的概率为 P(=，则称随机变量 X 服从参数为的指数分布。X 的分布函数为 记住几个积分：,10=+dxxex ,202=+dxexx )!1(01=+ndxexxn+=01)(dxexx，)()1(=+正态分布 正态分布 设随机变量X的密度函数为 222)(21)(=xexf，+为常数，则称随机变量X服从参数为、的 正 态 分 布 或 高 斯（Gauss）分 布，记 为),(2NX。)(xf具有如下性质：1 )(xf的图形是关于=x对称的；2 当=x时，21)(=f为最大值；3 )(xf以ox轴为渐近线。特别当固定、改变时，)(xf的图形形状不变，只是集体

14、沿ox轴平行移动，所以又称为位置参数。当固定、改变时，)(xf的图形形状要发生变化，随变大，)(xf图形的形状变得平坦，所以又称为形状参数。若),(2NX，则X的分布函数为 dtexFxt=222)(21)(。参数0=、1=时的正态分布称为标准正态分布，记为)1,0(NX，其密度函数记为 2221)(xex=，+x，分布函数为 dtexxt2221)(。)(x是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(x)和(x)的性质如下：1 (x)是偶函数，(x)(-x)；2 当 x=0 时，(x)21为最大值；3 (-x)1-(x)且(0)21。如果X),(2N，则X)1,0(N。所以我们可以通过变

15、换将)(xF的计算转化为)(x的计算，而)(x的值是可以通过查表得到的。=b。=)(xf,xe 0 x,0,0 x,=)(xF,1xe 0 x,0 x0。考研数学知识点-概率统计 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 5若有某些)(ixg相等，则应将对应的iP相加作为)(ixg的概率。（2）（2）X是连续型随机变量 是连续型随机变量 先利用 X 的概率密度 fX(x)写出 Y 的分布函数 FY(y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。三.二维随机变量及其分布 1、二维随机变量的基本概念 三.二维随机变量及其分布 1、二维随机变量的基本概念（1）二维连续型随机向量联合分

16、布密度及边缘分布（1）二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布 对 于 二 维 随 机 向 量),(YX=，如 果 存 在 非 负 函 数),)(,(+yxyxf，使对任意一个其邻边 分 别 平 行 于 坐 标 轴 的 矩 形 区 域D，即D=(X,Y)|axb,cyyfxfYX分别为 X，Y 的边缘分布密度。（3）常见的二维分布（3）常见的二维分布 均匀分布 均匀分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为=其他,0),(1),(DyxSyxfD 其中 SD为区域 D 的面积，则称（X，Y）服从 D 上的均匀分布，记为（X，Y）U（D）。正态分布 正态分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

17、,121),(2222121211221)(2)1(212+=yyxxeyxf 其中1|,0,0,2121，共 5 个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，记为（X，Y）N（).,2221,21 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，反推则错。即 XN（).(),22,2211NY （5）二维随机向量联合分布函数及其性质 （5）二维随机向量联合分布函数及其性质 设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数,),(yYxXPyxF=称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事

18、件)(,)(|),(2121yYxXx1时，有 F（x2,y）F(x1,y);当 y2y1时，有 F(x,y2)F(x,y1);（3）F（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即);0,(),(),0(),(+=+=yxFyxFyxFyxF（4）.1),(,0),(),(),(=+=FxFyFF 2、随机变量的独立性 2、随机变量的独立性（1）连续型随机变量（1）连续型随机变量 f(x,y)=fX(x)fY(y)联合分布边缘分布f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：可分离变量 正概率密度区间为矩形 （2）二维正态分布（2）二维正态分布,121),(2222121211221)

19、(2)1(212+=yyxxeyxf=0 （3）随机变量函数的独立性（3）随机变量函数的独立性 若 X 与 Y 独立，h,g 为连续函数，则：h（X）和 g（Y）独立。四.随机变量的数字特征 四.随机变量的数字特征（1）一维随机变量及其函数的期望（1）一维随机变量及其函数的期望 设 X 是离散型随机变量，其分布律为 P(kxX=)pk，k=1,2,n，=nkkkpxXE1)(期望就是平均值。设 X 是连续型随机变量，其概率密度为 f(x)，+=dxxxfXE)()(数学期望的性质（1）E(C)=C（2）E(CX)=CE(X)（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)，=niniiiiiXECXCE

20、11)()(（4）E(XY)=E(X)E(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；充要条件：X 和 Y 不相关。（5）Y=g(X)离散：=nikkpxgYE1)()(连续：+=dxxxfXE)()(+=dxxfxgYE)()()(（2）方差（2）方差 D(X)=EX-E(X)2，方差)()(XDX=，标准差 离散型随机变量=kkkpXExXD2)()(连续型随机变量+=dxxfXExXD)()()(2 方差的性质（1）D(C)=0；E(C)=C（2）D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)（3）D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b（4）D(X)=E(X2)-E2(X)

21、（5）D(X+Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；充要条件：X 和 Y 不相关。D(XY)=D(X)+D(Y)2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。（3）常见分布的数学期望和方差（3）常见分布的数学期望和方差 分布名称符号 均值 方差 0-1分布),1(pB p)1(pp 二项分布),(pnB np)1(pnp 泊松分布)(P 几何分布)(pG p1 21pp 考研数学知识点-概率统计 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 7超几何分布),(NMnH NnM 11NnNNMNnM均匀分布),(baU 2ba+

22、12)(2ab 指数分布)(e 1 21 正态分布),(2N 2 01 分布 X 0 1 q p E(X)=p，D(X)=pq 二项分布 XB(n,p)，knkknnqpCkP=)(，（k=0,1,2n）E(X)=np，D(X)=npq 泊松分布 P()P(X=k)=!kexk，k=0,1,2 E(X)=，D(X)=超几何分布 nNknMNkMCCCkXP=)(E(X)=NnM 几何分布 1)(=kpqkXP，k=0,1,2 E(X)=p1，D(X)=2pq 均匀分布 XUa,b，f(x)=ab1，a,b E(X)=2ba+，D(X)=12)(2ab 指数分布 f(x)=xe，(x0)E(X)

23、=1，D(X)=21 正态分布 XN(,2)，222)(21)(=xexf E(X)=，D(X)=2 2、二维随机变量的数字特征 2、二维随机变量的数字特征（1）协方差和相关系数（1）协方差和相关系数 对于随机变量 X 与 Y，称它们的二阶混合中心矩11为 X与 Y 的协方差或相关矩，记为),cov(YXXY或，即).()(11YEYXEXEXY=与记号XY相对应，X 与 Y 的方差 D（X）与 D（Y）也可分别记为XX与YY。协方差有下面几个性质：(i)cov(X,Y)=cov(Y,X);(ii)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii)cov(X1+X2,Y)=cov(X1,

24、Y)+cov(X2,Y);(iv)cov(X,Y)=E(XY)-(E(X)(E(Y).对于随机变量 X 与 Y，如果 D（X）0,D(Y)0，则称)()(YDXDXY 为 X 与 Y 的相关系数，记作XY（有时可简记为）。|1，当|=1 时，称 X 与 Y 安全相关：完全相关=时，负相关，当时，正相关，当11 而当0=时，称 X 与 Y 不相关。与相关系数有关的几个重要结论（i）若随机变量 X 与 Y 相互独立，则0=XY；反之不真。（ii）若（X，Y）N（,222121），则 X与 Y 相互独立的充要条件是0=，即 X 和 Y不相关。（iii）以下五个命题是等价的：0=XY；cov(X,Y)

25、=0;考研数学知识点-概率统计 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 8E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).（2）二维随机变量函数的期望（2）二维随机变量函数的期望=+为连续型。，为离散型；，),(),(),(),(),(),(YXdxdyyxfyxGYXpyxGYXGEijijji （3）原点矩和中心矩（3）原点矩和中心矩 对于正整数 k，称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的k 阶原点矩，记为 vk,即 uk=E(Xk),k=1,2,.于是，我们有=+.,)(续型时为连当为离散型时，当XdxxpxXpxu

26、kiikik 对于正整数 k，称随机变量 X 与 E（X）差的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶中心矩，记为k，即.,2,1,)(=kXEXEkk 于是，我们有=+.,)()()(续型时为连当为离散型时，当XdxxpXExXpXExukiikik 对于随机变量 X 与 Y，如果有)(lkYXE存在，则称之为 X与 Y 的k+l阶混合原点矩，记为klu，即).()(YEYXEXEukkl=五.大数定律和中心极限定理 1、切比雪夫不等式 五.大数定律和中心极限定理 1、切比雪夫不等式 设随机变量 X 具有数学期望 E（X）=，方差 D（X）=2，则对于任意正数，有下列切比雪夫不等式 22)(X

27、P 切比雪夫不等式给出了在未知 X 的分布的情况下，对概率)(XP 的一种估计，它在理论上有重要意义。2、大数定律 2、大数定律（1）切比雪夫大数定律（1）切比雪夫大数定律（要求方差有界）设随机变量 X1，X2，相互独立，均具有有限方差，且被同一常数 C 所界：D（Xi）C(i=1,2,),则对于任意的正数，有.1)(11lim11=niiniinXEnXnP 特殊情形：若 X1，X2，具有相同的数学期望 E（XI）=，则上式成为.11lim1=niinXnP 或者简写成：().1lim=XPn 切比雪夫大数定律指出，n 个相互独立，且具有有限的相同的数学期望与方差的随机变量，当 n 很大时，

28、它们的算术平均以很大的概率接近它们的数学期望。（2）伯努利大数定律（2）伯努利大数定律 设是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数，有.1lim=pnPn 伯努利大数定律说明，当试验次数 n 很大时，事件 A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即.0lim=pnPn 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。（3）辛钦大数定律（3）辛钦大数定律（不要求存在方差）设 X1，X2，Xn，是相互独立同分布的随机变量序列，且 E（Xn）=，则对于任意的正数有.11lim1=niinXnP 考研数学知识点-概率统计 Edited by 杨凯钧 2

29、005 年 10 月 93、中心极限定理 3、中心极限定理（1）列维林德伯格定理（1）列维林德伯格定理 设随机变量 X1，X2，相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：),2,1(0)(,)(2=kXDXEkk，则随机变量 nnXYnkkn=1 的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有=xtnkknnndtexnnXPxF.21lim)(lim212 或者简写成：)1,0(/NnXn 此定理也称为独立同分布独立同分布的中心极限定理。（2）棣莫弗拉普拉斯定理（2）棣莫弗拉普拉斯定理 设随机变量 X1，Xn均为具有参数 n,p(0pnpn时，则 ekpPCkknkkn!)1().(n 其

30、中 k=0，1，2，n，。六.数理统计的基本概念 1、总体、个体和样本 六.数理统计的基本概念 1、总体、个体和样本（1）总体与样本（1）总体与样本 总体 在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）；而把总体中的每一个单元称为样品（或个体）。在以后的讨论中，我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。（2）样本函数与统计量（2）样本函数与统计量 设nxxx,21为总体的一个样本，称=（nxxx,21）为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数，则称（nxxx,21）为一个统计量。2、统计量 2、统计量（1）常用统计量（1）常用统计量 样

31、本均值 .11=niixnx 样本方差 =niixxnS122.)(11（与概率论中的方差定义不同）样本标准差 .)(1112=niixxnS 样本 k 阶原点矩 =nikikkxnM1.,2,1,1 样本 k 阶中心矩 =nikikkxxnM1.,3,2,)(1 （二阶中心矩=niiXXnS122)(1*与概率论中的方差定义相同）（2）统计量的期望和方差（2）统计量的期望和方差=)(XE，nXD2)(=，考研数学知识点-概率统计 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 1022)(=SE，221)*(nnSE=,其中=niiXXnS122)(1*，为二阶中心矩。3、三个抽样分布（

32、2、t、F 分布）3、三个抽样分布（2、t、F 分布）（1）（1）2 2分布 分布 设 n 个随机变量nXXX,21相互独立，且服从标准正态分布标准正态分布，可以证明：它们的平方和=niiXW12 的分布密度为=.0,0,0221)(2122uueunufunn 我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的2分布，记为 W2(n)，其中.2012dxexnxn+=所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。2 分布满足可加性：设),(2iinY 则).(2112kkiinnnYZ+=注意注意两个结果：E(2)=n，D(2)=2n（2）t 分布（2）t 分布 设 X，Y

33、是两个相互独立的随机变量，且),(),1,0(2nYNX 可以证明：函数 nYXT/=的概率密度为 2121221)(+=nntnnntf ).(+2)（3）F 分布（3）F 分布 设)(),(2212nYnX，且 X 与 Y 独立，可以证明：21/nYnXF=的概率密度函数为+=+,0,1222)(2211222121212111yyynnynnnnnnyfnnnn 我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1，第二个自由度为 n2的 F 分布，记为 Ff(n1,n2).正态分布=1，)()(1ntnt=，),(1),(12211nnFnnF=4、正态总体下统计量的分布和性质 4、正态总体下

34、统计量的分布和性质 注意一个定理：X与2S独立。（1）正态分布（1）正态分布 设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数).1,0(/Nnxudef （2）（2）t-t-分布分布 设nxxx,21为来自正态总体考研数学知识点-概率统计 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 11),(2N的一个样本，则样本函数),1(/ntnSxtdef 其中 t(n-1)表示自由度为 n-1 的 t 分布。（3）（3）2 分布 分布 设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数),1()1(222nSnwdef 其中)1(2n表示自由度为 n-1 的2分布。

35、（4）F 分布（4）F 分布 设nxxx,21为 来 自 正 态 总 体),(2N的一个样本，而nyyy,21为来自正态总体),(22N的一个样本，则样本函数),1,1(/2122222121nnFSSFdef 其中,)(11211211=niixxnS ;)(11212222=niiyynS)1,1(21nnF表示第一自由度为11n，第二自由度为12n的 F 分布。七.参数估计 1、点估计的两种方法 七.参数估计 1、点估计的两种方法（1）矩法（1）矩法 所谓矩法就是利用样本各阶原点矩与相应的总体矩，来建立估计量应满足的方程，从而求得未知参数估计量的方法。设总体 X 的分布中包含有未知数m,

36、21，则其分布函数可以表成).,;(21mxF显示它的 k 阶原点矩),2,1)(mkXEvkk=中 也 包 含 了 未 知 参 数m,21，即),(21mkkvv=。又 设nxxx,21为总体 X 的 n 个样本值，其样本的 k 阶原点矩为=nikikxnv11).,2,1(mk=这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有=nimimmniimniimxnvxnvxnv121122121211.1),(,1),(,1),(由 上 面 的 m 个 方 程 中，解 出 的 m 个 未 知 参 数),(21m即为参数（m,21）的矩估计量。（2）最大似然法（

37、2）最大似然法 所谓最大似然法就是当我们用样本的函数值估计总体参数时，应使得当参数取这些值时，所观测到的样本出现的概率为最大。当总体 X 为连续型随机变量时，设其分布密度为),;(21mxf，其中m,21为未知参数。又设nxxx,21为总体的一个样本，称),;(),(11122=nimimnxfL 为样本的似然函数，简记为 Ln.当总体 X 为离型随机变量时，设其分布律为),;(21mxpxXP=，则称),;(),;,(1111222=nimimnxpxxxL 为样本的似然函数。若 似 然 函 数),;,(2211mnxxxL在m,21处取到最大值，则称m,21分别为考研数学知识点-概率统计

38、Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 12m,21的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。我们把使 Ln达到最大的m,21分别作为m,21的估计量的方法称为最大似然估计法。由于 lnx 是一个递增函数，所以 Ln与 lnLn同时达到最大值。我们称 miLiiin,2,1,0ln=为似然方程。由多元微分学可知，由似然方程可以求出),2,1)(,(21mixxxnii=为i的最大似然估计量。容易看出，使得 Ln达到最大的i也可以使这组样本值出现的可能性最大。2、估计量的评选标准 2、估计量的评选标准（1）无偏性（1）无偏性 设),(21nxxx=为求知参数的估计量。若 E（

39、）=，则称 为的无偏估计量。若总体 X 的均值 E（X）和方差 D（X）存在，则样本均值x和样本方差 S2分别为 E（X）和 D（X）的无偏估计，即 E（x）=E（X），E（S2）=D（X）。（2）有效性（2）有效性 设),(2111nxxx=和),(2122nxxx=是未知参数的两个无偏估计量。若21)(nnP 则称n为的一致估计量（或相合估计量）。3、区间估计 3、区间估计（1）置信区间和置信度（1）置信区间和置信度 设总体 X 含有一个待估的未知参数。如果我们从样本nxxx,21出发，找出两个统计量),(2111nxxx=与),(2122nxxx=)(21，使得区间,21以)10(1的概

40、率包含这个待估参数，即,121=P 那么称区间,21为的置信区间，1为该区间的置信度（或置信水平）。（2）单正态总体的期望和方差的区间估计（2）单正态总体的期望和方差的区间估计 设nxxx,21为总体),(2NX的一个样本，在置信度为1下，我们来确定2和的置信区间,21。具体步骤如下：（i）选择样本函数；（ii）由置信度1，查表找分位数；（iii）导出置信区间,21。下面分三种情况来讨论。已知方差，估计均值 已知方差，估计均值（i）选择样本函数 设方差202=，其中20为已知数。我们知道是=niixnx11的一个点估计，并且知道包含未知参数的样本函数。).1,0(/0Nnxu=(ii)查表找分

41、位数 对于给定的置信度1，查正态分布分位数表，找出分位数，使得=)|(|uP1。即 考研数学知识点-概率统计 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 13.1/2=nxP（iii）导出置信区间 由不等式 2)(nx 推得,00nxnx+这就是说，随机区间+nxnx00,以1的概率包含。未知方差，估计均值未知方差，估计均值（i）选择样本函数 设nxxx,21为总体),(2N的一个样本，由于2是未知的，不能再选取样本函数 u。这时可用样本方差=niixxnS122)(11 来代替2，而选取样本函数).1(/=ntnSxt (ii)查表找分位数 对于给定的置信度1，查 t 分位数表，找出

42、分位数，使得=)|(|uP1。即.1/=nSxP（iii）导出置信区间 由不等式 2)(nx 推得,nSxnSx+这就是说，随机区间+nSxnSx,以1的概率包含。方差的区间估计方差的区间估计（i）选择样本函数 设nxxx,21为来自总体),(2N的一个样本，我们知道=niixxnS122)(11 是2的一个点估计，并且知道包含未知参数2的样本函数).1()1(222=nSn（ii）查表找分位数 对于给定的置信度1，查2分布分位数表，找出两个分位数21与，使得由于2分布不具有对称性，因此通常采取使得概率对称的区间，即.1)(21=P 于是有.1)1(2221=SnP （iii）导出置信区间 2221)1(Sn 由不等式 12222)1()1(SnSn 以1的概率包含2，而随机区间 SnSn121,1 以1的概率包含。