智轩考研数学红宝书2010版--概率论与数理统计(第八章.pdf

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1、智轩考研数学红宝书 2010-概率论与数理统计（第八章 假设检验）bbs.qinjing.cc 182 第八章 假设检验 2009 考试内容(本大纲为数学 1，数学 3 需要根据大纲作部分增删)显著性检验 假设检验的两类错误 单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验 考试要求 1 理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误。2 掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。本章导读 假设检验 8 大接受域和拒绝域，两类错误的计算方法。一、假设检验与参数区间估计的关系 1 参数q的置信度为1a-的区间估计，正好是显著性水平为a的假设检验的接受域。2 区间估计

2、中，假设总体中的参数是未知的，要用样本对它进行估计；而假设检验中，是先对参数做出假设，再用样本值对假设作检验。在某种意义上，假设检验是区间估计的逆问题。3 具有完全相同的 8 大枢轴量（8 大枢轴量详见第七章）。二、假设检验的基本思想及两类错误与显著性检验 比如，一个人说他射击是高手，我们将半信半疑。怎样才能确定他的话真假，最好的办法就是先假设他是高手或低手，然后让他实际打几枪，根据他射击的结果来检验。如果其射击结果命中率在 90%以上，我们一般可以接受他的说法；如果命中率在 50%以下，我们就拒绝他的说法，这个判断的标准是根据小概率事件几乎不可能发生的原理。但我们的判断也可能犯错误，因为几乎

3、不可能发生，但还是有可能发生的。一是他的确是高手，但在这次射击中失误了，而我们却只根据他这一次的命中率没把他当高手，也就是说我们犯了以真当假的错误称为第一类错误。二是他本来是个低手，但这次命中率恰好超过了 90%以上，我们却把他当成了高手，实事上我们犯了以假当真的错误称为第二类错误。这两类错误，我们都尽可能使其概率最小，但实事上做不到，因为它们是此消彼长的关系，因此，我们首先要控制主要错误（又称显著性错误）的概率，那究竟哪种错误严重，即显著呢？为了说明两类错误主次关系的直观含义，我们引用一个生活例子：某人因身体不适前往医院求医。医生的职责就是通过各种生理检查，根据化验的数据作出该病员是否犯病的

4、结论。然而再好的医生都不可避免会犯下两类错误。一种是病员确实有病，但由于生理指标未出现明显的异常现象，使医生判断为无病。另一种是病员实际上没有疾病，但生理指标呈现某种异常，使医生判断为有病。这两类错误都会导致病员的损失，然而两类错误的损失是不一样的。如果“有病判无病”，相当于以真当假第 1 类错误，其结果可能延误了治病的时机造成病情的加重以致死亡；而“无病判有病”，相当于以假当真第 2 类错误，其结果是病员会有一些经济或其他损失，然而对生命是无碍的。因此医生总是尽可能地避免犯上述第 1 类错误。如果用假设检验的数学语言表达即为：原假设0H：该人有病，备选假设1H：该人无病。而生理检验指标就是样

5、本观测值，医生要作的决定即为接受0H或拒绝0H。而拒绝域 W 即为“生理指标属于正常范围”，智轩考研数学红宝书 2010-概率论与数理统计（第八章 假设检验）bbs.qinjing.cc 183 而犯第 I 类错误的概率为000(|)HPHHa=拒绝为真，正是“有病误判无病”的概率。犯第 II 类错误的概率为10100(|)(|)HPHHPHHb=接受为真接受不真，正是“无病误判有病”的概率。由于两类错误的影响不同，第一类错误的后果严重，是显著的，故经常要求控制第一类错误概率，即0()HPWa，其中a是 充 分 小 的 正 数，这 也 就 是 显 著 性 检 验 的 由 来，a称 为 显 著

6、性 水 平。a的 意 思 是 概 率000(|)HPHH拒绝为真很小，相应的事件为小概率事件，几乎不可能发生，但并不等于不发生，只是发生的概率等于a而已。注意显著性检验并不考虑犯第 2 类错误概率b。当总体的分布函数未知，或只知其形式而不知道它的若干参数的情况时，我们可以根据历史经验或者其他的充分理由对总体分布或者它的参数提出某种假设：例如 0H：总体分布是正态分布 或者 0H：110qq（10q为某一已知常数），称为原假设或零假设；而它的否定命题为：1H：总体分布不是正态分布 或者 1H：110qq，称为备择假设。假设检验方案即为寻求一个拒绝区间W，一旦样本的观测值落在W内，就作出拒绝0H的

7、决定，故称为拒绝域，W的余集W成为接受域，接受域就是区间估计的范围。样本的观测值落在W就作出接受0H的决定。假设检验就是根据取到的样本观测值与枢轴量的理论值作比较，作出拒绝还是接受哪个假设的决定。例如若0/XPnmlas-=，当0.01;0.05,0.1a=等很小的值时，叫做小概率事件，小概率事件在一次试验中认为是不会发生的，称为小概率原理，也就是说事件0/Xnmls-是不可能发生的，或发生的概率a很小。在假设00:Hmm=下，由于()00,1/XNnms-，其中分位数2zza=或12zza-=可查表得到理论值，0/Xnms-的检验值可由样本观察值和0mm=计算确定。如果将样本观察值X和原假设

8、0H中的0mm=代入0/Xnms-，有0120/xnamls-（或020/xnamls-成立，到底取哪一种形式，要看哪一种能查表得出）则小概 率 事 件 发 生 了，就 拒 绝0H；反 之，接 受0H。显 然，120/Xnamls-的 拒 绝 域 为1122,aall-+；接 受 域 为1122,aall-，由 此 还 可 以 推 出m的 拒 绝 域 为001122XXnnaassmlml-+-。可以看出，它与区间估计的分界点是完全相同的，只是区域描述不同而已。显然，只要比较0Z（枢轴量）的理论计算值与分位数的查表值2Za的大小即可，即有结论：智轩考研数学红宝书 2010-概率论与数理统计（第

9、八章 假设检验）bbs.qinjing.cc 184()a 02ZZa 0Z落在拒绝域内，从而拒绝原假设0H，认为1H正确；()b 02ZZa 0Z未落在拒绝域内，从而接受原假设0H，认为Ho正确。其余枢轴量类推。三、正态总体的参数检验的考点 1、单个正态总体（注意等号的分布位置，对单边假设等号一般在原假设上）检验 参数 条件 Ho 1H Ho的拒绝域 选用检验枢轴量 自由度 分位点 omm=omm 212ZZZaa-=-2Za omm omm 1ZZZaa-=-Za 2s 已 知 omm omm 1tttaa-=-ta 数 学 期 望 m 2s 未 知 omm omm 22acc 2ac m

10、 已 知 220ss 220ss 22acc 2ac 方 差 2s m 未 知 220ss 220ss 221acc-22202(1)(1)nSncsc-=-1n-21ac-2、两个正态总体的假设检验 已知方差2212ss和，检验均值m（Z检验）原假设Ho 备样假设1H Ho成立时的统计量 a显著性水平下Ho的拒绝域 智轩考研数学红宝书 2010-概率论与数理统计（第八章 假设检验）bbs.qinjing.cc 185 12mm 2UZa 12mm 2212XYUmnss-=+(0,1)N UZa-未知2212ss及，但2212ss=，（其中22212(1)(1)2WmSnSSmn-+-=+-

11、），检验均值（t检验）原假设Ho 备样假设1H Ho成立时的统计量 a显著性水平下Ho的拒绝域 12mm 2(2)Ttmna+-12mm 11(2)WXYTSmnt mn-=+-1(2)Ttmntaa-+-=已知均值12mm与，检验方差（F检验）（注意：11(,)(,)Fn mF n maa-=）原假设Ho 备样假设1H Ho成立时的统计量 a显著性水平下Ho的拒绝域 2212ss 122(,)(,)FFm nFFm naa-或 2212ss 2112211()(,)1()miinjjxmFF m nynmm=-=-1(,)FFm na-未知均值1mm2和，检验方差（F检验）原假设Ho 备样假

12、设1H Ho成立时的统计量 a显著性水平下Ho的拒绝域 2212ss 212(1,1)(1,1)FFmnFFmnaa-或 2212ss 2122SFS=(1,1)F mn-12(1,1)FFmna-其中：21111()1miiSxmm=-2211()1niiSxnm=-智轩考研数学红宝书 2010-概率论与数理统计（第八章 假设检验）bbs.qinjing.cc 186 评 注 在实际解答中，1计算12ta-时可能会出现负值时，就改用2ta，或应根据问题的意义去掉负号以符合题意。2计算2,Fc的拒绝域时，可能会出现区间左端点的值大于右端点的值，应调整顺序。四、假设检验的符号设定与计算技巧 假设

13、检验的假设包括原假设0H和备择假设1H。原假设0H中一般都要含有“=”，可以是“=”，“”，“”，但不能是“”，“”或“与 是等价的；00:;Hmm=100010:;:HHHmmmmmm或00:Hmm；若原假设是00:Hmm，则备择假设通常是10:Hmm。3统计量的接受域与拒绝域快速求法及一般步骤 3-1 为了形象地确定接受域与拒绝域，我们先来看“位置关系”。设0m为某一固定值，若0mm成立，则称m在0m之右；若0mm成立，则称m在0m之两侧。这可以通过数轴上点的位置关系画图看出。根据原假设和备择假设的不同形式，可以规定0H，1H的位置关系：若00:Hmm（或00:Hmm=），10:Hmm，称

14、0H在左，1H在右。若00:Hmm（或00:Hmm=），10:Hmm，称0H在右，1H在左。若00:Hmm=，10:Hmm，称0H在中间，1H在两侧。1H相对0H的位置关系就是1H中m相对于已知量0m的位置关系。设显著性水平为a，对于不同类型的假设检验，可以用下面的方法确定“统计量”的接受域与拒绝域（一般只写拒绝域）：在 8 个枢轴量中，根据题意找出统计X，设统计量服从的分布为A（A可以是正态分布、t分布、2c分布、F分布）。判断0H与1H的位置关系，0H对应“统计量”的接受域，1H对应“统计量”的拒绝域。通过0H与1H的位置关系形象地确定接受域与拒绝域的位置关系。接受域较大，对应概率为1a-

15、，拒绝域智轩考研数学红宝书 2010-概率论与数理统计（第八章 假设检验）bbs.qinjing.cc 187 较小，对应概率为a，这就可以形象地确定分位点，从而得到各种类型的“统计量”的接受域与拒绝域。若A的概率密度关于y轴对称，即为偶函数时（正态分布，t分布），根据对称性，接受域可以写为122|XzXzaa-或。明确了“统计量”的接受域与拒绝域的概念，就可以进一步得到假设检验的一般步骤。3-2 假设检验的一般步骤如下 根据上面对“统计量”的接受域与拒绝域的讨论，可以进一步得到假设检验的一般步骤：根据已知条件，确定原假设和备择假设，并找出统计量。判断0H，1H的位置关系。根据0H对应概率为1

16、a-的接受域，1H对应概率为a的拒绝域的原则，并结合它们的位置关系确定分位点，再利用分位点写出“统计量”的接受域或拒绝域（一般只写拒绝域即可）。将0H中的等式0mm=和样本值代入统计量进行计算，若结果落在“统计量”的接受域，就保留其对应的原假设0H；若结果落在“统计量”的拒绝域，就保留其对应的备择假设1H。【例 1】已知0.5110,X=，9n=，(),0.015XNm，取0.05a=，检验00.5mm=。解：设000101:0.5:0.5HHHHmmmmmm=已知2s，关于m的假设检验使用枢轴量 0(0,1)XZNnms-=0H在1a-中部，1H在1a-两侧，分位数0.050.9751122

17、1.96zzza-=，拒绝域为1.96Z。000.511 0.50.011 32.20.0150.0159XZnms-=在拒绝域内，故接受1H，即0.5m。这种解答方法简单形象，望读者掌握。智轩考研数学红宝书 2010-概率论与数理统计（第八章 假设检验）bbs.qinjing.cc 188 假设检验题型题法【例 2】正常生产条件下，某产品的生产指标()200,XNm s，其中00.23s=，现在改变了生产工艺，产品生产指标()2,XNm s，从新生产工艺中任取 10 件，测得均方差为0.33，试求 显著性水平0.05a=下检验()12s无明显变化；()12s明显增大。附表如下 附表 0.05

18、0.0251.64,1.96ZZ=()2 9 10nnnac=()2 9 10nnnac=()9 10tnnna=0.95 3.325 3.940a=0.05 16.919 18.307a=0.05 1.8331 1.8125a=0.975 2.700 3.247a=0.025 19.023 20.483a=0.025 2.2622 2.2281a=解：()1()22200:0.23Hss=m未知，选用枢轴量计算()()()222220110 10.3318.5270.23nSncs-=查附表知，()()()()22220.0250.9751221919.023,192.700nnaacccc

19、-=-=拒绝域为()()0,2.719.023,+，而统计推断量()218.527nc=不在拒绝域内，故接受2s无明显变化。()2()()2222220010:0.23;:0.23HHssss=m未知，选用枢轴量计算()()()222220110 10.3318.5270.23nSncs-=查附表知，()()220.051916.919nacc-=拒绝域为()16.919,+，而统计推断量()218.527nc=在拒绝域内，故拒绝0H接受1H，认为2s明显变化增大。【例 3】将一颗骰（tou）子掷 120 次，结果如下 出现点数i 1 2 3 4 5 6 出现频数iu 23 26 21 20

20、15 15 检验这颗骰子是否均匀对称？()0.05a=解：设掷出的点数为1,2,3,4,5,6X=，如骰子均匀对称，则等价于下列数学描述 1 1,2,3,4,5,66P Xii=提出假设 01:1,2,3,4,5,66HP Xii=智轩考研数学红宝书 2010-概率论与数理统计（第八章 假设检验）bbs.qinjing.cc 189()()()()()()()22226222166111111111120 4.81116120166iiiiiinSnnSnuuuuunppcscss=-=-=-=-=-统计推断量选用 ()()()()()()22220.0250.975122150.831151

21、2.833 ,0,0.83112.833,+nnWaacccc-=-=-查表；拒绝域 4.8W统计推断量的值=，故接受0H假设，即认为骰子是均匀对称的。【例 4】设总体(),9XNm，m已知，从X中抽取样本容量为 16 的样本，已知检验假设 01:0;:0HHmm=的拒绝域为1.41WX=，求显著性水平a。解：29s=已知，故选用统计推断量()()430,10,134/9/16XXUXNXNnms-=0101:0;:0:0;:0HHHHmmmm=,故实际上是单边检验。拒绝域 1134uuXuaa-()1131.411.881.880.9710.970.034uuaaaa-=F=-=【例 5】已

22、知某厂生产两批电子器件的样品电阻()W，见下表 A批()x 0.140 0.138 0.143 0.142 0.144 0.137 B批()y 0.135 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140 设这两批电阻值总体分别服从()()221122,NNmsms，且两样本独立。()1检验假设()0.05a=2222012112:;:HHssss=()2检验假设()0.05a=012112:;:HHmmmm=。解：()1检验假设()0.05a=2222012112:;:HHssss=未知12,mm，选用枢轴量()()221221211,15,5SFF nnFSss=-=智轩考研数学

23、红宝书 2010-概率论与数理统计（第八章 假设检验）bbs.qinjing.cc 190()()()()120.97512662222121116,0.05,5,50.147.15110.000007816,0.00000716 16 1iiiinnFm mFSxxSyyaa-=-=-=-推断统计量计算值 21220.0000078661.1090.0000071SFS=拒绝域W()()12215,57.15,5,50.147.15FForFFaa-=二者之一，设12,nXXXL是来自此总体的简单随机样本，检验假设()00110:;:HHmmmmm=，则两类错误的概率计算如下 因样本均值11

24、niiXXn=是总体均值m的无偏估计量且01mm，因此当0Xm-过分偏大时，则说明0H不真，故拒绝域的形式为0Xcm-，此时犯第一类错误的概率为()00000000000000000|111/PHHP Xc HP XcXXXc nc nc nc nPPPunnnaammmmmmmmmsssssss=-=-=-=-=-F=-F拒绝为真为真 智轩考研数学红宝书 2010-概率论与数理统计（第八章 假设检验）bbs.qinjing.cc 192()()()010101100101111010000001010000|/11/PHHP Xc HP XccncncnXXXPPnnnc nunnabmmm

25、mmmmmmmmmmmmmmssssssmmmmsss=-=+=-+-+-=-=+=F-+F=-F=-=真真真为 的估计量真真 出现第二类错误（以假当真）的概率b为 ()()01|6769|7067707069707051.673.6/363.6/363.6/363.6/361.6750.047500.0475PHHPXXXPPbm=-=-L。当实际情况为1m=时，求犯第二类错误的概率。解：犯第二类错误的概率 0100|1PHHPHHPbm=接受真接受假样本观察值不属于拒绝域 因为0H不成立时，1m=，即总体()41,41,XNXNn 2222222222211122/2/2/2211 222

26、/2/zzzXXnnPnzPXPnnnnzznnnnzznnaaaaaaaab-=-=F-F-=F+-F-评 注 当样本n与显著性水平给定时，即可查表得出b，且由上可以看出lim0nb+=，即要使两类错误都仅可能小，必须将容量取得足够大。智轩考研数学红宝书 2010-概率论与数理统计（第八章 假设检验）bbs.qinjing.cc 194 第八章 假设检验模拟题 一填空题 1.设则在显著的样本，样本均值为是来自正态总体,)2,(,21621XNXXXmL性水平a0.05下检验假设5:5:10mmHH；的拒绝域为_。2.设的样本，是来自正态总体),(,221smNXXXnL其 中 参 数2sm和

27、未 知，记检验使用的的，则假设tHXXQXnXniinii0:)(,102121=-=m统计量 T_。3.设总体 XN(20,sm),0m为已知常数，的样本，）为来自总体（X,21nXXXL则检验假设20212020:;:ssss=HH的统计量是_；当0H成立时，服从_分布。二选择题 1.设总体 X),(2smN，未知，mnXXX,21L为来自总体 X 的样本，记X为样本均值，2S为样本方差，对假设检验,2:;2:10=HH（其中az表示标准正态分布的上a分位数）（A）asmmfzn+-/(010）（B）2/010/(asmmfzn+-）（C）)/(1010asmmfzn+-（D）)/(001

28、asmmfzn+-智轩考研数学红宝书 2010-概率论与数理统计（第八章 假设检验）bbs.qinjing.cc 195 三解答题 1.某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率（单位：cm/s）服从正态分布)2,40(2N。现在用新方法生产了一批推进器，从中随机地抽取 25 只，测得其燃烧率的样本均值25.41=x，问这批推进器的燃烧率是否有显著提高？（取显著性水平：)05.0=a 2.某批矿砂的 5 个样品中的镍含量，经测定为（%）3.24 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值总体服从正态分布，但参数均未知。问在01.0=a下能否接受假设：这批矿砂镍的含量均值为 3.25.1.设nXX

29、X,21L为来自总体 X)4,(mN的样本，考虑检验问题 ,6:;6:10=mmHH 拒绝域取为|6|cXW-=，试求 c 使得检验的显著性水平为 0.05，并求该检验在5.6=m处犯第二类错误的概率。智轩考研数学红宝书 2010-概率论与数理统计（第八章 假设检验）bbs.qinjing.cc 196 第八章 假设检验模拟题答案 一填空题 1.98.0|5|-X 2.)1(-nnQX 3.)(;)(12220nXicms-二选择题 1.（C）2.（B）3.（A）三解答题 1.单个正态总体在方差已知的情况下，对均值进行右边假设检验，从而使用 Z 检验法。40:0mH，选取检验统计量5/240/0-=-=XnXZsmN（0,1），z=3.125az=1.645，拒 绝10HH 而接受，即认为这批推进器的燃烧率有显著提高。2.单个正态总体在方差未知时，对均值进行双边假设检验，选取 T 检验法。nSXTH/,25.3:0mm-=选取检验统计量t（n-1），|t|=0.3436041.4)4(005.0=t接受,0H即在显著性水平05.0=a下，可以认为这批矿砂镍的含量均值为 3.25.3.c=0.98，犯第二类错误的概率83.0=b