概率论与数理统计-二、 全概率公式.pdf
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1、全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式二、二、复习返回1.样本空间的划分:样本空间的划分:(1)jijiBBji=;,2,1,?;(2)=?21BB 为试验为试验 E 的样本空间,的样本空间,?,21nBBB为为 E 一组事件,若一组事件,若 则称则称,.,21nBBB?为为的一个划分。的一个划分。即:将即:将划分成一组互不相容的事件。划分成一组互不相容的事件。例例 1.掷一骰子,观察其点数。掷一骰子,观察其点数。解:解:样本空间样本空间=,12 34 5 6B11 2 3=,,B24 5=,,B36=是是的一个划分的一个划分C11 2 3=,,C23 4=,,C35 6=,不是不是的划
2、分。的划分。2.全概率公式全概率公式A为一事件,为一事件,?,21nBBB为为的一个划分,的一个划分,且且P Bi()0,=1)()|()(nnnBPBAPAP证明:证明:)()()(21?+=nBBBAPAPAP)(21?+=nABABABP?+=)()|()()|()()|(2211nnBPBAPBPBAPBPBAP=1)()|(nnnBPBAP则则5个个5个个2个个2个个3个个3个个例例1.有十个袋子,装球情况如左图所示。任选一个袋子,并从中任取两球有十个袋子,装球情况如左图所示。任选一个袋子,并从中任取两球.求取出的两球都是白球的概率。求取出的两球都是白球的概率。解:解:设设A表示取出
3、的表示取出的 2 个球都是白球,个球都是白球,Bi表示所选的袋子中装球的情况属于第表示所选的袋子中装球的情况属于第i种种(i=123,)。)。P BP A BCC(),(|);112262210115=P BP A BCC(),(|);223262310315=P BP A BCC(),(|).334262510615=+P AP A B P BP A B P BP A B P B()(|)()(|)()(|)()112233=+=210115310315510615411500273.例例 2.某工厂生产的产品以某工厂生产的产品以 100 个为一批。在进行抽样调查时,只从每批中抽取个为一批。
4、在进行抽样调查时,只从每批中抽取 10 个来检查,如果发现其中有次品,则认为这批产品是不合格的。假定每一批产品中的次品最多不超过个来检查,如果发现其中有次品,则认为这批产品是不合格的。假定每一批产品中的次品最多不超过 4 个,并且其中恰有个,并且其中恰有)4,3,2,1,0(=ii个次品的概率如下:个次品的概率如下:一批产品中有次品数一批产品中有次品数0 1 2 3 4 概 率 0.10.20.40.20.1 求各批产品通过检查的概率。求各批产品通过检查的概率。解:解:设事件设事件Bi表示一批产品中有表示一批产品中有i个次品(个次品(i=012 34,),),则则P BP BP BP BP B
5、().,().,().,().,().012340102040201=设事件设事件A表示这批产品通过检查,即抽样检查的表示这批产品通过检查,即抽样检查的 10个产品都是合格品,则个产品都是合格品,则P A B(|),01=P A BCC(|).,19910100100900=P A BCC(|).,29810100100809=P A BCC(|).,39710100100727=P A BCC(|).49610100100652=P AP A B P Biii()(|)().0408142继续全概率公式全概率公式=1)()|()(nnnBPBAPAPP Bi()试验前的假设概率。试验前的假设
6、概率。(?,2,1,0=i)如果进行一次试验,事件如果进行一次试验,事件A确实发生了,则应当重新估计事件的概率,即求确实发生了,则应当重新估计事件的概率,即求P B Ai(|)。P B Ai(|)试验后的假设概率。试验后的假设概率。(?,2,1,0=i)3.贝叶斯公式:贝叶斯公式:A为一事件,为一事件,?,21BB为为的一个划分,且的一个划分,且 P A(),0?,2,1,0)(=iBPi则则?,2,1,)()|()()|()|(1=iBPBAPBPBAPABPnnniii例例 3.临床诊断记录表明,利用某种试验坚持检查癌症具有如下的效果:对癌症患者进行试验结果呈阳性反应者占临床诊断记录表明,
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