概率统计观念形成中的思维障碍分析.pdf

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1、第 1 5 卷第 3期 2 0 0 6年 9月 河 南教 育学院学报(自然科 学版)J o u rna l o f He n a n I n s t i t u t e o f E d u c a t i o n(N a t u r a l S c i e n c e)Vo 1 1 5 No 3 S e p 2 0 0 6 概 率统计观 念形成 中的思维 障碍分析 王红蔚，齐建华(河 南教 育学院 数 学 系，河南 郑 州 4 5 0 0 1 4)摘要：概 率统计 的研 究对象是随机现 象 概 率统计 思维 的本 质在 于：对 随机事件 发 生的频繁程 度定量 化，在 不 确定的情景 中作 出

2、良好判 断 正是其思维方 法别具 一格，学 生理 解概 率显得很 复杂、很 困难 通过 对具体 概率统 计 问题常见错误 的分析，发现概率统计观念形成 中的思 维障碍，提 出概率统计教 学中应 关注的方面 关键词：随机现象；思 维障碍；条件概率；整体观念 中图 分 类 号：O 2 1 1 文 献 标 识 码：A 文章 编 号：1 0 0 70 8 3 4(2 0 o 6)0 30 0 0 10 3 概 率统计 是研 究 随机 现 象 统 计 规 律 性 的学 科 概 率统计 思维 的 本 质 在 于：对 随机 事 件 发 生 的 频 繁 程 度定 量化，在不 确定 的情 景 中作 出 良好 判

3、 断 由于 概率统计思维方法有别于研究确定性现象的思维方 法，使 得学 习者 在学 习过 程 中很 容 易 出错，甚 至经 验 丰富 的概 率 统 计 专 家 在 估 计 概 率 的 时 候 也 可 能 出 错 我 们在 以往 的教 学 中发 现 学 生在 学 习概 率 统 计 时存在 着若 干共 性 的 思 维 障碍 因此 在 概 率 统 计 教 学 中，从案 例选 取到教 学 方法组 织，需要 教师 反复 尝 试并经常进行同行间磋商，积累经验，以有效地帮助 学 习者 克服概 率统计 思 维障碍 1 强于确 定 弱于 随机。对 随机 现象 的研 究 目的存 在 偏 差 任何 一种 研究 总是

4、 把未 知的、不认识 的事 物，逐 渐 变为 已知 的、可 以认识 的事 物 在对确 定性 现象 的 研究 中，总是 根据 因果 关 系通 过 逻辑 推 理 得 到 确 定 的结 果 于是，学 生 便 习惯 地 以 为 对 随 机 现 象 的研 究，将使 事前 无法 预料 的结果，最终 变为 可 以预料 的 结 果，甚 至期 望能 预言下 一期 彩票 的 中奖号码，以为 不如此一切便无意义 这是建立随机观念 的第一障 碍 殊不知，随机现象的特点就在于事先无法预料其 结 果，无 论你 研究 与 否，这 一特 点 总 不 会 改变 即 掌 握 随机现 象的规 律，并 不 意 味 着 改变 了结 果

5、 的 随机 性 那 么对随 机现 象的研 究 意义何 在 呢?我 们说，一 旦随机现象中所有可能 出现的结果知道 了，且每个 结果 出现 的可 能性 大 小 也 知道 了，对此 随机 现 象 就 算研究清楚了 因为全面的信息已经提供，我们便可 以据 此作 出合 理决 策 比 如，设 想 当人 们 要 在 甲、乙 两种 产 品 中作 出 选 择 时，假 如 甲 产 品 的 次 品 率 为 0 0 0 1，乙产品的次品率为 0 0 2，两产品在价格等其 他方 面的条 件都 相 同 人 们 自然 愿 意买 甲产 品 而不 是 乙产 品，尽管 买 甲产 品也 不 能完全 确定 买到 正 品，但我 们知

6、 道买 乙产 品买到 次品 的可 能性 比买 甲产 品 买 到次 品的可 能性大 现实社会随机现象普遍存在，而且有其 自身的 规律，随机 观念 的建 立 尤 显 重要 为此，在教 学 中需 要通 过实例 让学 生充 分认识 随机 现象 其结 果 的不确 定性，同时感 受在 大 量 重 复试 验 中随 机 现 象 的结 果 在杂乱无章的表象后 面存在着统计规律性 统计规 律告诉 我们 的是 某一 可能结 果在 试验 中 出现的 频繁 程度，而不能肯定在某次试验 中它一定出现或一定 不 出现 这是 随机 观念 建立 的核心 所在，也是 我们 教 学 的关 注所 在 2 仅看过去不管未来。预期的观念

7、十分薄弱 在上 概 率统 计课 时，我 们 多 次从 德 梅 尔提 出的“分赌 金”问题说起：“德 梅尔 和赌友 保 罗两人 相 约各 收 稿 日期：2 0 0 60 33 0 基金项 目：河 南省 教育科学“十五”规划项 目：“中学数学研究性学习的实验与推广研究”(2 0 0 1 J K G H D I 1 0)作者简介：王红蔚(1 9 6 2 一)，女，河南镇平人，河南教育学院数学系副教授，主要从事数学 教育研 究 维普资讯 http:/ 拿出 6枚金币，川掷硬币的方法，一局中若掷出 面 德 梅尔 胜，含则保 罗胜 约定 谁先 胜一 局 准就能 得到 全部的 l 2枚金 币 已知他们在每局

8、中取胜的可能性 是相 同的 比赛 开始 后，保 罗 胜 了 一局，德梅 尔 胜 _ r 两局，这时一件意外之事中断了他们的对弈 后来他 们也不想再继续这场没有结局的对弈，于是商量这 l 2枚 金 币应 如何 分配 才公平 合理 ”很多同学都 自信地认为“保罗胜了一局，德梅尔 胜两局，因此德梅尔的金币应是保罗的两倍 德梅尔 得 总数 的 2 3即 8枚 金 币，保 罗得 总 数 的 l 3即 4 枚金 币”对 于中 断 了 的对弈，多 数 同学 只考 虑 已进 行 的前三 局的结 果，潜 意识 中认 为没 有 必 要 考 虑 未 发 生 的情 况 还 有个 别 同学认 为，既 然 每局 中取胜

9、的概 率 是 相同的，就不管已有试验结果，也不考虑最终可能的 结 果，一 人一 半 对此问题的讨论，我们发现学生在解决概率统计 问题 时，大多 只关 注 过去 已经 发生 的 结果，而潜 意 识 中不关 注未来将要 发生的结果，个别 对已发 生的结 果 及将发生的结果都不考虑，此预期观念淡漠是概率思 维 的又一障碍 概 率统计 的作用在于 通过对 已发 生现 象 的研 究为未 来 发展提 供决 策 和预测 依 据，因而“展 望 未来”与“关心过 去”相 比显得更为重要 事实上，要想分配得公平合理，应当考虑预期的 对弈情况，继续未完的对弈最多需要再赛两局便能 分出胜负 我们看未来两局 比赛所有可

10、能结果：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)这四种结果出现的可能性相等，其中导致德梅 尔先胜三局的有三种，只有最后一种结果将导致保 罗最 终胜 出 故德 梅 尔胜 的 概率 为 3 4，应 分得 9枚 金 币；保 罗胜 的概率 为 1 4，应 分得 3 枚 金 币 过去是 重 要 的，它 是 已知 的，是 认 识 事 物 的基 础，但是，发展是必然的，我们更需要把握发展 概率 统计 正是促 进 发展性 思维 的学科，因此，在概 率统计 教学中我们要加强引导学生关注未来、关注发展的 意识，培养 学生 的发 展性思 维能力 3 混淆条件概率与无条件概率，对随机事件的概率 把 握不准 上世

11、纪 末，美 国一 家报 纸的某 专栏，曾提 出一个 有趣的概率问题：电视主持人指着三扇关着的门说，其中一扇门后是汽车，另两扇 门后各有一价值微薄 的纪念品，你可以随意打开一扇，后面的东西就归你 了 你当然想得到一辆汽车!当你选定一扇门后，比 2 方 说选 l 号门(但 没 打 开)，主 持 人 知道 哪扇 门后 是 汽车，他 打 开另一 扇 中有纪 念 品 的一个，比方 他 打开 3 门【：你看到后面是纪念品，并对你说：现在再给 你一 次机 会，允 许 你 改 变 原 来 的选 择 为 r得 到 汽 车，你是坚持 l号门还是改选 2号门?_ 2 J 对 此 问题 的讨论 中，多数 同学认 为“

12、换 与不换 得 到车的概率都是 l 2”，这个 结果与杨泰 良先生“一 项发人 深省 的测 试”大致相 同 _ 3 J 分 析 出此错 误 的原 因，发 现 同学们讨 论 的是“已 知 3号门后是纪念品的条件下选 l 号门得 车”的概 率及“已知 3号门后是纪念品的条件下选 2号门得 车”的概率，把游戏规则改为主持人先打开一个后面 是纪念 品 的门，你 在剩 下 的两个 门之 间选一个，对要 研究 的是哪个 事 件 的 概 率把 握 不 准，是 概 率 统 计思 维 的第 三 障碍 此游戏 是先 选一 个 门(不 打 开)，事实 上，相 当于 把 三个 门分为 两组，选 的一 个 门一 组，没

13、选 的 两个 门 一组；“选 l 号门得车”的概率是 1 3，“选 2、3号门得 车”的概率是 2 3 因而主持人打开没选的有纪念品的 一门后，你改选另一没选的 2号门相当于选了两个门 的一组，得车的概率为 2 3，结论当然是改选 2号门 一个事 件在 不 同条件 下的 条件 概率一 般是 不 同 的 实 际问题 中关 键是 分 清 要讨 论 的 是 事件 A发生 的概率，还是事件 B发生的条件下事件 A发生的条 件概率，抑或 是 A、B同时 发生 的概率 4 关注局部忽略整体，思维存在片面性和局限性 对有放回的抽签很容易理解其公平性，而对在 现实生活中经常用到的无放 回抽签公平性的理解，很多

14、学 生都存 在认 识偏 差 对问题“一场精彩的足球赛将要举行，五个球迷 好不容易才搞到一张入场券，只好用抽签的方法来 决定入场券归谁”的讨论 中，我们设计 5张同样的卡 片，只有一张上写有“入场券”，其余 的是空 白卡，将 它们放在一起混匀，让五个人依次抽取 有的同学就认为“先抽的人 当然 比后抽的人抽 到入场券的机会大”、“第一个人抽 的时候，无论 如 何，写有入场券的卡片还在”、“第一个人抽到的概率 是 1 5，如果第 一个人 抽 到，后 面 的人 就 根本 不 用抽 了”、“如果第一个人没抽到，第二个人抽到的概率为 1 4”通过交流我们发现，在解决概率问题时，有的 同学看到了问题 的这一

15、方面，有的同学看到 了问题 的那一 方面 培养学 生从 整体 上看 问题，而不 仅局 限 在问题的一个方面，对正确解决概率问题至关重要 维普资讯 http:/ 其实从讨论I l I 发现，第一人抽到的条件下第二个 人 抽剑 的概 率为 0；第 一 人 没 抽 到 的 条 件 下 第 二 个 人抽到的概 率为 1 4 它们都小足第二人抽到入场 券的概率，f I I 都 t j 第二人抽到入场券的概率有关 从 整体J 二 肴第二人抽到入场券伴随着第一人抽到或抽 小 到之一 I 丽发乍，因 而其 概率 为 1 50+4 51 4=1 5 同理，每个人抽到入场券的概 率都是 1 5 也就 是说，无放回

16、抽签不分先后，是公平的 从问题的局部出发，片面考虑，导致整体思考的 失衡，是概率统计思维的第四个障碍 概率统计思维 的一个主要特点就是整体思考，全概率公式、贝叶斯 公式、概率分布列及概率密度 等，就充分体现 了整体 思考 的观念 我们 在概率统计教学 中应 注重 引导学生 主动地对问题进行全面分析，培养学 E的整体意识 信息社会，人们已经深刻地感受到随机现象的 大繁存在，经常需要在受大量随机因素影响的信息 和数据中，作出合理决策 认真分析学生概率统计观 念形成巾的思维障碍，努力培养和提高学生 的随机 意 l、慨牢 观念 和统计 思想，为更 好地 制定决 策提供 依 址我们概率统计教学努力的方向

17、 参 考 文 献 J 张 奠 i f 大 下肚界 的随机 现象 M 南 ：广 珂教 疗小版 礼，1 9 9 9：l 8 2 张饴慈 概牢沦 J 数 f ll!统计 M 北京：科学出版社，2 0 0 1：6 3 杨察 良 一项发人深省的测试结果 J 数学教育学报，1 9 9 7，(4)Th e An a l y s i s o f Th o u g h t Di s t u r b a n c e d u r i n g t h e Pr o c e s s o f Fo r mi n g t h e Co n c e p t o f Pr o b a b i l i t y S t at i

18、s tic s WA N G H o n g-w e i，Q I J i a n-h u a (D e p a r t m e n t o fMa t h e m a t i c s，I t e n a n I n s t i t u t e ofE d u c a t io n，Z h e a g z h o u 4 5 0 0 1 4，C h i n a)Ab s t r a c t：T h e r e s e a r c h o b j e c t f o r p r o b a b i l i t y s t a t i s t i c s i s a r a n d o m p h

19、e n o m e n o n T h e e s s e n e e o f p rob a b i l i t y s t a t i s t i c s i s t o q u a n t i f y t h e f r e q u e n c y o f t h e h a p p e n i n g o f r a n d o m e v e n t s a n d t o m a k e a g o o d j u d g me n t i n a n u n c e r t a i n s i t u a t i o n B e c a u s e i t h a s a d i

20、 s t i n c t i v e s t y l e，i t i s v e r y d i ffi c u l t a n d c o mp l e x for s t u d e n t s t o u n d e r s t a n d p rob ab i l i t yTh e wr i t e r o f t h i s e s s a y d raws a t t e n t i o n t o s o me asp e c t s i n t h e t e a c h i n g o f p rob ab i l i t y t h rou g h a n a l y z

21、 i n g t h e c o mmo n mi s tak e i n p rob a b i l i t y s t a t i s-t i c s a n d fin d i n g t h e t h o u g h t d i s t u r b a n c e d u r i n g t h e p r o c e s s o f f o r mi n g t h e c o n c e p t o f p r o b ab i l i t y s tat i s t i c s Ke y wo r d s：ran d o m p h e n o me n o n；t h o u g h t d i s t u rba n c e；c o n d i t i o n p rob ab i l i t y；o v e r a l l c o n c e p t 3 维普资讯 http:/