2013年全国初中数学竞赛试题(含答案)甄选.pdf

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1、精品 word.2013 年全国初中数学竞赛试题(含答案)（优选.）赠人玫瑰，手留余香。20132013 年全国初中数学竞赛试题参考答案年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题一、选择题1设非零实数a，b，c满足（A）12a 2b3c 0，bc ca则ab的值为（）2222a 3b4c 0，a b c（B）0（C）12（D）1【答案】【答案】A【解答】【解答】由已知得a bc (2a 3b 4c)(a 2b3c)0，故(a b c)2 0于是abbc ca 1(a2b2c2)，所2bc ca1以ab 222a b c22已知a，b，c是实常数，关于x的一元二次方程ax2bx c 0有两个非零实

2、根x1，x2，则下列关于x的一元二次方程中，以1x12，12x2为两个实根的是（）（B）c2x2(b22ac)x a2 0（D）c2x2(b22ac)x a2 0（A）c2x2(b22ac)x a2 0（C）c2x2(b22ac)x a2 0【答案】【答案】B【解答】【解答】由于ax2bx c 0是关于x的一元二次方程，则a 0因为x1 x2 b，x1x2c，且x1x2 0，所aa11(x1 x2)22x1x2b22ac11a2以c 0，且22，2222x1x2x12x2c2x1x2c，于是根据方程根与系数的关系，以21x12，12x2为两个实根的一元二次方程是b22aca2x x 0，即c2

3、x2(b22ac)x a2 02cc3如图，在 RtABC 中，已知 O 是斜边DEOC，垂足为 E若 AD，DB，CD 的长度都的长度中，不一定是有理数的为（）（A）OD（C）DE【答案】【答案】D（B）OE（D）AC（第（第 3 3 题）题）AB 的中点，CDAB，垂足为D，是有理数，则线段 OD，OE，DE，AC1/6doc 格式 可编辑精品 word.【解答】【解答】因 AD，DB，CD 的长度都是有理AD BD2数，所 以，OA OB OC 数是有理数于是，ODOAAD 是有理Rt DOERt COD，知OD2OE OC由，（第（第 3 3 题答题）题答题）DE DCDOOC都是有理

4、数，而ACADAB不一定是有理数4如图，已知 ABC 的面积为 24，点 D 在线段上，且BC 4CF，DCFE 是平行四边形，则图中阴影AC 上，点 F 在线段 BC 的延长线部分的面积为（）（A）3（B）4（C）6（D）8（第（第 4 4 题）题）【答案】【答案】C【解答】【解答】因为 DCFE 是平行四边形，所以 DE/CF，且 EF/DC连接 CE，因为 DE/CF，即 DE/BF，所以 S DEB=因此原来阴影部分的面积等于 ACE 的面积连接 AF，因为 EF/CD，即 EF/AC，所以 S ACE=因为BC 4CF，所以 S ABC=4S ACF故阴影部分（第（第 4 4 题答题

5、）题答题）5对于任意实数 x，y，z，定义运算“*”为：x y 3x3y 3x2y2 xy345x 13y 1360，且x yz x yz，则2013201232的值为（）（A）607967（B）1821967（C）5463967（D）16389967【答案】【答案】C【解答】【解答】设201320124 m，则2013201243 m33m333m29 m27 45m33m23m 16460 9，于是2013201239323922232 929234510333605463967二、填空题二、填空题6设a 33，b 是a2的小数部分，则(b 2)3的值为2/6doc 格式 可编辑S DEC

6、，S ACF的面积为 6精品 word.【答案】【答案】9【解答】【解答】由于1 a 2 a2 3，故b a22 39 2，因此(b 2)3(39)3 97如图，点 D，E 分别是 ABC 的边 AC，AB 上的知 CDF，BFE，BCF 的面积分别是 3，4，5，则【答案】【答案】20413点，直线 BD 与 CE 交于点 F，已四边形 AEFD 的面积是【解答】【解答】如图，连接 AF，则有：SAEF 4SAEF SBFEBFSBCF5=，SAFDSAFDFDSCDF3SAFD3SAFD SCDFCFSBCF5，SAEFSAEFFESBEF4（第（第 7 7 题）题）解得SAEF108，S

7、AFD961313所以，四边形 AEFD 的面积是20413（第（第 7 7 题答题）题答题）8已知正整数 a，b，c 满足ab22c2 0，3a28bc 0，则abc的最大值为【答案】【答案】2013【解答】【解答】由已知ab22c2 0，3a28bc 0消去 c，并整理得b86a2a 66由2a 为正整数及6a2 a66，可得 1a3若a 1，则b82 59，无正整数解；若a 2，则b82 40，无正整数解；若a 3，则b82 9，于是可解得b 11，b 5（i）若b 11，则c 61，从而可得abc 31161 2013；（ii）若b 5，则c 13，从而可得abc 3513195综上知

8、abc的最大值为20139实数 a，b，c，d 满足：一元二次方程x2 cx d 0的两根为 a，b，一元二次方程x2ax b 0的两根b c d)为为 c，d，则所有满足条件的数组(a，2，1 2)，(t，0 t，0)（t为任意实数）【答案】【答案】(1，ab c，ab d，【解答】【解答】由韦达定理得cd a，cd b3/6doc 格式 可编辑精品 word.由上式，可知b a c d若b d 0，则a db1，c 1，进而b d a c 2bd若b d 0，则c a，有(a，b c d)(t，0 t，0)（t为任意实数）经检验，数组(1，2，1 2)与(t，0 t，0)（t为任意实数）满

9、足条件10小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售 4 元，圆珠笔每支售 7 元开始时他有铅笔和圆珠笔共 350 支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是 2013 元则他至少卖出了支圆珠笔【答案】【答案】207【解答】【解答】设 x，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则4x7y 2013，x y 350，所以x 20137y(5032y)y 144，于是y 14是整数又2013 4(x y)3y 43503y，所以y 204，故 y 的最小值为 207，此时x 14112设ABC的外心，垂心分别为O，H，若B，C，H，O共圆，对于所有的 ABC，求度数【解答】【解答】分三种

10、情况讨论（i）若ABC为锐角三角形因为BHC 180 A，BOC 2A，所以由BHC BOC，可得180A 2A，于是A 60（第（第 1212 题答题（题答题（i）（第（第 1212 题答题（题答题（ii）（ii）若ABC为钝角三角形当A 90时，因为BHC 180 A，BOC 2180 A，4/6doc 格式 可编辑BAC所有可能的55 分分精品 word.所以由BHC BOC 180，可得3180A180，于是A120。1010 分分当A 90时，不妨假设B 90，因为BHC A，BOC 2A，所以由BHC BOC 180，可得3A180，于是A 601515 分分（iii）若ABC为直

11、角三角形当A 90时，因为O为边BC的中点，B，C，H，O不可能共圆，所以A不可能等于90；当A 90时，不妨假设B 90，此时点 B 与 H 重合，于是总有B，C，H，O共圆，因此A可以是满足0 A 90的所有角综上可得，A所有可能取到的度数为所有锐角及1202020 分分13设a，b，c是素数，记x bca，y cab，z abc，当z2 y,三角形的三边长？证明你的结论【解答】【解答】不能依题意，得a 111(y z)，b(x z)，c(x y)222x y 2时，a，b，c能否构成因为y z2，所以a 1(y z)1(z2 z)z(z 1)222又由于z为整数，a为素数，所以z 2或3

12、，a 31010 分分当z 2时，y z2 4，x (y 2)216进而，b 9，c 10，与b，c是素数矛盾；1515 分分当z 3时，a bc 0，所以a，b，c不能构成三角形的三边长2020 分分14如果将正整数 M 放在正整数 m 左侧，所得到的新数可被 7 整除，那么称 M 为 m 的“魔术数”（例如，把 86 放在 415 的左侧，得到的数 86415 能被 7 整除，所以称 86 为 415 的魔术数）求正整数 n 的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，an，满足对任意一个正整数 m，在a1，a2，an中都至少有一个为 m 的魔术数【解答】【解答】若 n6，取m 1，2，

13、7，根据抽屉原理知，必有a1，a2，an中的一个正整数 M 是i，j(1ij7)的公共的魔术数，即 7|(10M i)，7|(10M j)则有 7|(j i)，但 0j i6，矛盾5/6doc 格式 可编辑精品 word.故 n71010 分分又当a1，a2，an为 1，2，7 时，对任意一个正整数 m，设其为k位数（k为正整数）则10kim（i 1，2，7）被 7 除 的 余 数 两 两 不 同 若 不 然，存 在 正 整 数i，j(1ij7)，满 足7|(10kj m)(10ki m)，即7|10k(j i)，从而 7|(j i)，矛盾故必存在一个正整数i(1i7)，使得 7|(10ki m)，即i为 m 的魔术数所以，n 的最小值为 72020 分分感谢您使用本店文档 您的满意是我们的永恒的追求！（本句可删）-6/6doc 格式 可编辑