2014届上海市闵行区高三二模数学理试题及答案.pdf

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1、上海市闵行区上海市闵行区 20142014 届高三下学期教育质量调研（二模）届高三下学期教育质量调研（二模）数数 学学 试试 卷（理科）卷（理科）一一.填空题（本大题满分填空题（本大题满分 5656 分）本大题共有分）本大题共有 1414 题题135(2n1)n3n23n12x12关于方程1的解为32x31lim1,0 x 1，则UP=x4设xR R，向量a (x,1)，b (1,2)，且a b，则|ab|3已知全集U R R，集合P y|y 5在ABC中，若A 60，B 45，BC 3 2，则AC 6在极坐标系中，21(0 2)与=2的交点的极坐标为7用一平面去截球所得截面的面积为3的距离为

2、 1 cm，则该球的体积是cm3.2cm2，已知球心到该截面8复数z abi(a、bR R，且b 0)，若z 4bz是实数，则有序实数对(a，b)可以是（写出一个有序实数对即可）9已知关于x的不等式ax 3ax a 2 0的解集为R R，则实数a的取值范围2第 7 题图2210设摩天轮逆时针方向匀速旋转，24 分钟旋转一周，轮上观光箱所在圆的方程为x y 1已知时间t 0时，观光箱 A 的坐标为(,13)，则当0t 24时（单位：分），动点 A 的纵坐标y22关于t的函数的单调递减区间是11若不等式(x y)(ax4)16对任意正实数x、y恒成立,则正实数a的最小值为y12计算机毕业考试分为理

3、论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有当两部分考试都“合格”者，才颁发计算机“合格证书”甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为、，在操作考试中“合格”的概率依次为、，所有考试是否合格，相互之间没有影响则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有1 人获得“合格证书”的概率*13已知数列an，对任意的kN N，当n 3k时，an an；当n 3k时，an n，34 25 31 52 6那么该数列中的第 10 个 2 是该数列的第项sinx,x0,214对于函数f(x)1，有下列 4 个命题：f(x2),x(2,)2任取x1、x20,，都有f(x1)f(x2)2恒成立；f(x)

4、2kf(x2k)(k N N)，对于一切x0,恒成立；*函数y f(x)ln(x1)有 3 个零点；对任意x 0，不等式f(x)k9恒成立，则实数k的取值范围是,x8则其中所有真命题的序号是二二.选择题选择题15下列命题中，错误错误的是（）（A）过平面外一点可以作无数条直线与平面平行（B）与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行（C）若直线l垂直平面内的两条相交直线，则直线l必垂直平面（D）垂直于同一个平面的两条直线平行16已知集合Ax x23x20，B x非必要条件，则a的取值范围是（）（A）0 a 1（B）a 2（C）1 a 2（D）a 117若曲线f(x,y)0上存在两个不同点处的切线重

5、合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（）2（A）x y 1 0（B）x 4 y 1 02xa 0,a 0,若“x A”是“xB”的充分x222（C）x y x x 1 0（D）3x xy 1 0218 已 知 等 差 数 列an的 前n项 和 为Sn，向 量OP n,SnSmOP，1m,，nmS OP2k,kn、m、kN N*，且OP OP、m、k表1OP2，则用nk示（）（A）k mk nnmnm（B）（C）（D）k nk mk mnk三三.解答题解答题如图，在体积为3的正三棱锥A BCD中，BD长为1919（1）异面直线AE与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表

6、示）；（2）正三棱锥A BCD的表面积A2 3，E为棱BC的中点，求BEC第 19 题图D20.20.（本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第(1)(1)小题满分小题满分 6 6 分，第分，第(2)(2)小题满分小题满分 8 8 分分如图，点 A、B 是单位圆O上的两点，点 C 是圆O与x轴的正半轴的交点，将锐角的终边OA按逆时针方向旋转到OB.31sin2 3 4，求的值；1cos25 5ByACO（1）若点 A 的坐标为,x（2）用表示BC，并求BC的取值范围.第 20 题图21.21.（本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有

7、2 2 个小题，第个小题，第(1)(1)小题满分小题满分 8 8 分，第分，第(2)(2)小题满分小题满分 6 6 分分为了寻找马航MH370残骸,我国“雪龙号”科考船于2014 年 3 月 26 日从港口O出发，沿北偏东角的射线OZ方向航行，而在港口北偏东角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛A，21OA 300 13海里，且tan,cos.现指挥部需要紧急征调位于港口O正东m海里的313B处的补给船，速往小岛A装上补给物资供给科考船该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C处相遇经测算当两船运行的航线与海岸线OB围成的三角形OBC的面积S最小时，这种补给方案最优.北ZC（1）求S关于m的函数关系

8、式S(m)；东A（2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？O第 21 题图B2222（本题满分（本题满分 1616 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第(1)(1)小题满分小题满分 4 4 分，第分，第(2)(2)、(3)(3)小题满分各小题满分各 6 6 分分设椭圆1的中心和抛物线2的顶点均为原点O，1、2的焦点均在x轴上，过2的焦点 F作直线l，与2交于 A、B 两点，在1、2上各取两个点，将其坐标记录于下表中：（1）求1，2的标准方程；（2）若l与1交于 C、D 两点，F0为1的左焦点，x32043求SF0ABSF0CD的最小值；y2 34y32（3）

9、点P、Q是1上的两点，且OP OQ，求证：AC1OP21OQ2为定值；反之，当1OP21OQ2为此定值时，F0OOP OQ是否成立？请说明理由.FxBD第 22 题图23.23.（本题满分（本题满分 1818 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第(1)(1)小题满分小题满分 4 4 分，第分，第(2)(2)小题满分小题满分 6 6 分，第分，第(3)(3)小题满分小题满分8 8 分分已知曲线C的方程为y 4x，过原点作斜率为1的直线和曲线C相交，另一个交点记为P1，过P1作斜率为2的直线与曲线C相交，另一个交点记为P2，过P2作斜率为4的直线与曲线C相交，另一个交点记为P3，

10、如此下去，一般地，过点Pn作斜率为2的直线与曲线C相交，另一个*交点记为Pn1，设点Pn(xn,yn)（nN N）2n（1）指出y1，并求yn1与yn的关系式（nN N）；（2）求y2n1（nN N）的通项公式，并指出点列P1，P3，P2n1，向哪一点无限接近？*说明理由；（3）令an y2n1 y2n1，数列an的前n项和为Sn，设bn13Sn14，求所有可能的乘积bibj(1 i j n)的和数学试卷（理科）参考答案与评分标准数学试卷（理科）参考答案与评分标准1；22；3,1；410；52 3；6（理）(1,)、323287(理)（理）,0；82,1或满足a 2b的任意一对非零实数对；93

11、523910（理）2,14；114；12（理）；1339366（23）14（理）、45一一.填空题填空题 1二二.选择题选择题15 B；16 A；17C；18 C三三.解答题解答题 19.19.解：（1）过点A作AO 平面BCD，垂足为O，则O为BCD的中心，由A1322 3 AO=3得AO 1（理 1 分文 2 分）34又在正三角形BCD中得OE=1，所以AE 2（理2 分文 4 分）E取BD中点F，连结AF、EF，故EFCD，所以AEF就是异面直线AE与CD所成的角（理 4 分文 6 分）在AEF中，AE AF BFOC第 19 题图D2，EF 3，（理 5 分文 8 分）AE2 EF2

12、AF26所以cosAEF（理6 分文 10 分）2 AEEF46所以，异面直线AE与CD所成的角的大小为arccos（理 7 分文 12 分）4（2）由AE 2可得正三棱锥A BCD的侧面积为13S 3BC AE 2 32 3 6（理 10 分）22所以正三棱锥A BCD的表面积为3S 3 6 BC2 3 6 3 3（理12 分）43420.20.解：（1）由已知，cos,sin.（2 分）55247sin2 2sincos,cos2 cos2sin2.（4 分）25252411sin22549.（6 分）=1cos21(7)1825（2）由单位圆可知:OC OB 1，COB,（8 分）322

13、2由余弦定理得：BC OC+OB-2 OC OB cosCOB112cos 22cos（10 分）333 1（12 分）,，cos3226 22 BC 1,23,BC.（14 分）1,250，336221.21.（1）以 O 点为原点，正北的方向为y 轴正方向建立直角坐标系，（1 分）则 直 线OZ的 方 程 为y 3x，设 点A（x0，y0），则x0300 13sin900，（3 分）y0300 13cos 600，即 A（900，600）600又 B（m，0），则直线 AB 的方程为：y(xm)，（4 分）900m200m600m由此得到 C 点坐标为：(,)，（6 分）北Zm700 m7

14、00yC1300m2东S(m)|OB|yC|(m 700)（8 分）A2m700300m2300（2）由（1）知S(m)（10 分）xB7001m700Om2m第 21 题图300300（12 分）700111212700()mmm1400280011所以当，即m 1400时，S(m)最小，m1400300m2300(t 700)27002 300(t 1400)（或令t m700，则S(m)m700tt840000，当且仅当m 1400时，S(m)最小）征调m 1400海里处的船只时，补给方案最优.（14 分）3-2 3，-4在抛物线上，2222解：（1）-2,0，在椭圆上，3，3，-4，2

15、x2y21,2：y2 4x.（4 分）1：431SF0AB2d ABAB（2）(理)设F0到直线l的距离为d,=.1SF0CDCDd CD2F(1,0)是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，当直线l的斜率存在时，设l：y k(x1),设A(x1,y1），B(x2,y2），C(x3,y3），D(x4,y4）y2 4x2222联 立 方 程，得k x(2k 4)xk 0，k 0时 0恒 成 立.y k(x1)224 1k1616k222AB 1kx2 x11kk4k2（也可用焦半径公式得：AB x1 x22 41k2k2）（5 分）x2y21联立方程 4，得(3+4k2)x28k2x 4k212 0，

16、0恒成立.3y k(x1)2212 1k,（6 分）144144k2CD 1k2x3 x41k2(34k2)234k2SF0ABSF0CD234k2144k=2.（8 分）223kk33121k41k234k2当直线l的斜率不存在时，l：x 1，此时，AB 4，CD 3，SF0ABSF0CD=4.（9 分）3所以，SF0ABSF0CD的最小值为4.（10 分）3（3）（理）证明：若P、Q 分别为长轴和短轴的端点，则若 P、Q 都不为长轴和短轴的端点，设OP:y kx;那么OQ:y 1OP21OQ2=7.（11 分）121x.P(xP,yP），Q(xQ,yQ）kx2y21212k2122,yP2

17、联立方程 4，解得xP；（12 分）324k 34k 3y kxx2y2112k2124322,yQ2同理，联立方程，解得xQ2；3k 43k 4y 1xk11117k277（13 分）222221212k12k1212k 1212OPOQ34k234k23k243k24117反之，对于1上的任意两点P、Q，当时，2212OPOQ设OP:y k1x，OQ:y k2x，易得12k1212k221212222；xQ，x 2,yP2,yQ224k134k134k234k232P4k1234k22377由得，22221212k 1212k1212OPOQ1211即8k12k227k127k226 7(

18、k12k22k12k221)，亦即k1k2 1，（15 分）所以当1OP21OQ2为定值7时，OP OQ不成立（16 分）12“反之”的方法二：如果有OP OQ，且OQ不在坐标轴上，作OQ关于坐标轴对称的射线与1交于Q，OQ OQ，显然，OP OQ与OP OQ不可能同时成立（16 分）23.23.解：（1）y1 4（1 分）y2 4xnn2设Pn(xn,yn)，Pn1(xn1,yn1)，由题意得yn1 4xn1（2 分）y yn1n 2nxn1 xn1 yn1 yn 4()n（4 分）212n3y y 4()2n32n22（2）分别用2n3、2n2代换上式中的 n 得12n2y y2n12n2

19、 4()211y2n1y2n32()2n3=()n2(n 2)（6 分）2484 1又y1 4，y2n1()n1(nN N*)，（8 分）33 48168因lim y2n1，所以点列P1，P3，P2n1，向点(,)无限接近（10 分）n9334 1n1n1（3）（理）an y2n1 y2n1()，Sn 1()（11 分）344bn 4n，bibj 4i j(1 i j n).（12 分）将所得的积排成如下矩阵：411A41242241341n42342n43343n，设矩阵A的各项和为S.4nn411412214224在矩阵的左下方补上相应的数可得B 4314324n14n2矩阵B中第一行的各数和s1 4 4 矩阵B中第二行的各数和s2 4 4 矩阵B中第n行的各数和sn 4的所有数之和为s1 s2n141341n42342n43343n4n34nn234n14n23416n(4 1)，364(4n1)，34n1n(4 1)，（15 分）从而矩阵B中34n24nn sn16n(4 1)2.（16 分）所有可能的乘积942nbibj(1 i j n)的和s 21 16n244 1 4 4 2942n424442n354n2+16（18 分）45