2020高考数学(理科)历年高考题汇总专题复习：第四章平面向量(含两年高考一年模拟).pdf

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1、第四章 平面向量 考点 13 平面向量的概念与运算 两年高考真题演练 1.(2019山东)已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60，则BDCD()A32a2 B34a2 C.34a2 D.32a2 2(2019新课标全国)设 D 为ABC 所在平面内一点，BC3CD，则()A.AD13AB43AC B.AD13AB43AC C.AD43AB13AC D.AD43AB13AC 3(2019陕西)对任意向量 a，b，下列关系式中不恒成立的是()A|ab|a|b|B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2 D(ab)(ab)a2b2 4(2019重庆)若非零向量 a，b 满足|a|2 23|b|，

2、且(ab)(3a2b)，则 a 与 b 的夹角为()A.4 B.2 C.34 D 5(2018新课标全国)设 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EBFC()A.AD B.12AD C.BC D.12BC 6(2018福建)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则OAOBOCOD等于()A.OM B2OM C3OM D4OM 7(2018浙江)设 为两个非零向量 a，b 的夹角已知对任意实数 t，|bta|的最小值为 1.()A若 确定，则|a|唯一确定 B若 确定，则|b|唯一确定 C若|a|确定，则 唯一确定

3、 D若|b|确定，则 唯一确定 8(2018浙江)记 maxx，yx，xy，y，xy，minx，yy，xy，x，xy，设 a，b 为平面向量，则()Amin|ab|，|ab|min|a|，|b|Bmin|ab|，|ab|min|a|，|b|Cmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2 Dmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2 9(2018山东)已知向量 a(1，3)，b(3，m)，若向量 a，b的夹角为6，则实数 m()A2 3 B.3 C0 D 3 10(2018广东)已知向量 a(1，2)，b(3，1)，则 ba()A(2，1)B(2，1)C(2，0)D(4，3)11(2018 福

4、建)在下列向量组中，可以把向量 a(3，2)表示出来的是()Ae1(0，0)，e2(1，2)Be1(1，2)，e2(5，2)Ce1(3，5)，e2(6，10)De1(2，3)，e2(2，3)12(2018北京)已知向量 a(2，4)，b(1，1)，则 2ab()A(5，7)B(5，9)C(3，7)D(3，9)13(2018安徽)设 a，b 为非零向量，|b|2|a|，两组向量 x1，x2，x3，x4和 y1，y2，y3，y4均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成 若 x1 y1x2 y2x3y3x4y4所有可能取值中的最小值为 4|a|2，则 a 与 b 的夹角为()A.23 B.3 C.

5、6 D0 14(2018新课标全国)设向量 a，b 满足|ab|10，|ab|6，则 ab()A1 B2 C3 D5 15(2018新课标全国)已知 A，B，C 为圆 O 上的三点，若AO12(ABAC)，则AB与AC的夹角为_ 16(2018北京)已知向量 a，b 满足|a|1，b(2，1)，且 ab0(R)，则|_.17(2018江西)已知单位向量 e1与 e2的夹角为，且 cos 13，向量 a3e12e2与 b3e1e2的夹角为，则 cos _.考点 13 平面向量的概念与运算 一年模拟试题精练 1(2019西城区模拟)设命题 p：平面向量 a 和 b，|ab|a|b|，则綈 p 为(

6、)A平面向量 a 和 b，|ab|a|b|B平面向量 a 和 b，|ab|a|b|C平面向量 a 和 b，|ab|a|b|D平面向量 a 和 b，|ab|a|b|2(2019北京四中模拟)设 x，yR，向量 a(x，1)，b(1，y)，c(2，4)，且 ac,bc，则|ab|()A.5 B.10 C2 5 D10 3(2019朝阳区模拟)设 a，b 是两个非零的平面向量，下列说法正确的是()若 ab0，则有|ab|ab|；|ab|a|b|；若存在实数，使得 ab，则|ab|a|b|；若|ab|a|b|，则存在实数，使得 ab.A B C D 4(2019吉林长春模拟)已知平面向量 a，b 满足

7、|a|3，|b|2，ab3，则|a2b|()A1 B.7 C4 3 D2 7 5(2019甘肃模拟)已知平面向量 a 与 b 的夹角为3，且|b|1，|a2b|2 3，则|a|()A1 B.3 C3 D2 6(2019广东三门模拟)若非零向量 a，b 满足|ab|b|，则()A|2a|2ab|B|2a|2ab|C|2b|a2b|D|2b|a2b|7(2019四川雅安模拟)已知向量 a 是与单位向量 b 夹角为 60的任意向量，则对任意的正实数 t，|tab|的最小值是()A0 B.12 C.32 D1 8(2019安徽安庆模拟)已知 a、b 为平面向量，若 ab 与 a 的夹角为3，ab 与

8、b 的夹角为4，则|a|b|()A.33 B.64 C.53 D.63 9(2019江南十校模拟)已知点 A(1，1)，B(4，0)，C(2，2)平面区域 D 是由所有满足APABAC(1a，1b)的点 P(x，y)组成的区域，若区域 D 的面积为 8，则 4ab 的最小值为()A5 B4 2 C9 D54 2 10(2019湖南常德模拟)已知AB(2，1)，CD(5，5)，则向量AB在CD方向上的投影为_ 11(2019江苏启东模拟)已知平面上四个互异的点 A、B、C、D满足：(ABAC)(2ADBDCD)0，则ABC 的形状是_ 12(2019皖江名校模拟)在ABC 中，D 为 BC 边上

9、的中点，P0是边AB上的一个定点，P0B14AB，且对于AB上任一点P，恒有PB PCP0BP0C，则下列结论中正确的是_(填上所有正确命题的序号)当 P 与 A，B 不重合时，PBPC与PD共线；PBPCPD2DB2；存在点 P，使|PD|P0D|；P0CAB0；ACBC.13(2019江苏四市模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，设向量 a(1，2sin)，bsin3，1，R.(1)若 ab，求 tan 的值；(2)若 ab，且 0，2，求 的值 考点 14 平面向量的应用 两年高考真题演练 1.(2019四川)设四边形 ABCD 为平行四边形，|AB|6，|AD|4，若点 M，N 满足BM

10、3MC，DN2NC，则AMNM()A20 B.15 C9 D6 2(2019安徽)ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a，b满足AB2a，AC2ab，则下列结论正确的是()A|b|1 Bab Cab1 D(4ab)BC 3(2019福建)已知ABAC，|AB|1t，|AC|t，若点 P 是ABC所在平面内的一点，且APAB|AB|4AC|AC|，则PB PC的最大值等于()A13 B15 C19 D21 4(2018天津)已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点E，F 分别在边 BC，DC 上，BEBC，DFDC，若AEAF1，CECF23，则()A.12 B.23 C.5

11、6 D.712 5(2018四川)已知 F 为抛物线 y2x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，OAOB2(其中 O 为坐标原点)，则ABO与AFO 面积之和的最小值是()A2 B3 C.17 28 D.10 6(2018安徽)在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 a，b，|a|b|1，ab0，点 Q 满足OQ 2(ab)曲线 CP|OPacos bsin，02，区域 P|0r|PQ|R，rR若 C为两段分离的曲线，则()A1rR3 B1r3R Cr1R3 D1r3R 7(2019天津)在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AB2，BC1，ABC60，动点 E 和 F

12、 分别在线段 BC 和 DC 上，且BEBC，DF19DC，则|AE|AF|的最小值为_ 8(2019浙江)已知 e1，e2是空间单位向量，e1e212，若空间向量 b 满足 be12，be252，且对于任意 x，yR，|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0，y0R)，则 x0_，y0_，|b|_.9(2018天津)已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点E，F 分别在边 BC，DC 上，BC3BE，DCDF，若AEAF1，则 的值为_ 10(2018江苏)如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB8，AD5，CP3 PD，AP BP2，则ABAD的值是_ 11(2

13、018山东)在ABC 中，已知ABACtan A，当 A6时，ABC 的面积为_ 12(2018陕西)在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点 P(x，y)在ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OPmABnAC(m，nR)(1)若 mn23，求|OP|；(2)用 x，y 表示 mn，并求 mn 的最大值 考点 14 平面向量的应用 一年模拟试题精练 1(2019沈阳质检)已知平行四边形 ABCD 中，AD(2，8)，AB(3，4)，对角线 AC 与 BD 相交于点 M，则AM的坐标为()A.12，6 B.12，6 C.12，6 D.12，6 2(2019

14、辽宁五校联考)已知直角坐标系内的两个向量 a(1，3)，b(m，2m3)使平面内的任意一个向量 c 都可以唯一地表示成 cab，则 m 的取值范围是()A(，0)(0，)B(，3)(3，)C(，3)(3，)D3，3)3(2019广东肇庆模拟)已知向量 a(1，cos)，b(1，2cos)且 ab，则 cos 2等于()A1 B0 C.12 D.22 4(2019天津一中模拟)已知向量 a，b，c 中任意两个都不共线，且 ab 与 c 共线，bc 与 a 共线，则向量 abc()Aa Bb Cc D0 5(2019上海市浦东新区模拟)如图所示，点 A，B，C 是圆 O 上的三点，线段 OC 与线

15、段 AB交于圆内一点，若OCmOAnOB，则()A0mn1 Bmn1 Cmn1 D1mn0 6(2019天津市滨海新区模拟)在平行四边形 ABCD 中，AEEB，CF2FB，连接 CE、DF 相交于点 M，若AMABAD，则实数与的乘积为()A.14 B.38 C.34 D.43 7(2019广东肇庆市模拟)定义空间两个向量的一种运算 ab|a|b|sina，b，则关于空间向量上述运算的以下结论中，abba，(ab)(a)b，(ab)c(ac)(bc)，若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab|x1y2x2y1|.恒成立的有()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 8(2019山东济

16、宁模拟)如图，在矩形 ABCD 中，AB 2，BC2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若ABAF 2，则AEBF的值是_ 9(2019湖北宜昌模拟)ABC 的三个角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，向量 m(2，1)，n(sin Bsin C，32cos Bcos C)，且 mn.(1)求角 A 的大小；(2)现给出以下三个条件：B45；2sin C(31)sin B0；a2.试从中再选择两个条件以确定ABC，并求出所确定的ABC 的面积 第四章 平面向量 考点 13 平面向量的概念与运算【两年高考真题演练】1D 如图所示，由题意，得 BCa，CDa，BCD120.B

17、D2BC2CD22BCCDcos 120a2a22aa123a2，BD 3a.BDCD|BD|CD|cos 30 3a23232a2.2 A BC3CD，ACAB3(ADAC)，即4ACAB3AD，AD13AB43AC.3B 4A 由题意(ab)(3a2b)3a2ab2b20，即 3|a|2|a|b|cos 2|b|20，所以 32 2322 23cos 20，cos 22，4，选 A.5A EBFC12(ABCB)12(ACBC)12(ABAC)AD，故选 A.6D 依题意知，点 M 是线段 AC 的中点，也是线段 BD 的中点，所以OAOC2OM，OBOD2OM，所以OAOCOBOD4OM

18、，故选 D.7B|bta|2|a|2t22abt|b|2|a|2t22|a|b|cos t|b|2，设 f(t)|a|2t22|a|b|cos t|b|2，则二次函数 f(t)的最小值为 1，即4|a|2|b|24|a|2|b|2cos24|a|21，化简得|b|2sin21.|b|0，0，|b|sin 1，若 确定，则|b|唯一确定，而|b|确定，不确定，故选 B.8D 由三角形法则知 min|ab|，|ab|与 min|a|，|b|的大小不确定，由平行四边形法则知，max|ab|，|ab|所对角大于或等于 90，由余弦定理知 max|ab|2，|ab|2|a|2|b|2，故选 D.9 B

19、根据平面向量的夹角公式可得13 3m29m232，即 3 3m 39m2，两边平方并化简得 6 3m18，解得 m 3，经检验符合题意 10B 由于 a(1，2)，b(3，1)，于是 ba(3，1)(1，2)(2，1)，选 B.11B 若 e1(0，0)，e2(1，2)，则 e1e2，而 a 不能由 e1，e2表示，排除 A；若 e1(1，2)，e2(5，2)，因为1522，所以 e1，e2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量 a(3，2)表示出来，故选 B.12A 因为 a(2，4)，b(1，1)，所以 2ab(22(1)，241)(5，7)，选 A.13B 设 Sx1y1x2y2x3

20、y3x4y4，若 S 的表达式中有 0个 ab，则 S2a22b2，记为 S1，若 S 的表达式中有 2 个 ab，则 Sa2b22ab，记为 S2，若 S 的表达式中有 4 个 ab，则 S4ab，记为 S3.又|b|2|a|，所以 S1S32a22b24ab2(ab)20，S1S2a2b22ab(ab)20，S2S3(ab)20，所以 S3S2S1，故 SminS34ab，设 a，b 的夹角为，则 Smin4ab8|a|2cos 4|a|2，即 cos 12，又 0，所以 3.14A|ab|10，(ab)210，即 a2b22ab10.|ab|6，(ab)26，即 a2b22ab6.由可得

21、 ab1.故选 A.15 90 由AO12(ABAC)可知 O 为 BC 的中点，即 BC 为圆O 的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以BAC90，所以AB与AC的夹角为 90.16.5|a|1，可令 a(cos，sin)，ab0，cos 20，sin 10，即cos 2，sin 1，由sin2cos21得25，得|5.17.2 23 因为 a2(3e12e2)29232cos 49，所以|a|3，b2(3e1e2)29231cos 18，所以|b|2 2，ab(3e12e2)(3e1e2)9e219e1e22e2299111328，所以 cos ab|a|b|832 22 23.【一年

22、模拟试题精练】1D 根据全称命题的否定是特称命题，故选 D.2B 因为 ac，bc，所以 x2，y2，ab(3，1)，所以|ab|10，故选 B.3B 中利用平行四边形法则，可以得到以 a，b 为邻边的平行四边形为矩形，故|ab|ab|；直接利用数量积公式，不正确；中只有 a，b 同向时才成立；|ab|a|b|，则 a，b 反向，故正确，故选 B.4B|a2b|a24ab4b2 7，故选 B.5D|a2b|2a24ab4b212，所以 a22|a|80，所以|a|2，故选 D.6 D 因为|ab|b|，则|ab|2|b|2，即 a22ab0，所以 ab0，因为|a2b|2|2b|2a24ab0

23、，故选 D.7C|tab|2t2a2t|a|1t|a|12234，所以|tab|的最小值是32，故选 C.8D 利用向量加法的几何意义，可以得到|a|，|b|为邻边的三角形的内角分别为4和3由正弦定理得到|a|b|63.9 C 如图，延长 AB 至点 N，延长 AC 至点 M，使得|AN|a|AB|，|AM|b|AC|，作 CHAN，BFAM，NGAM，MGAN，则四边形ABEC，ANGM，EHGF 均为平行四边形 由题意知，点 P(x，y)组成的区域 D 为图中的阴影部分，即四边形 EHGF.AB(3，1)，AC(1，3)，BC(2，2)，|AB|10，|AC|10，|BC|2 2.则 co

24、sCAB101082 10 1035，sinCAB45.四边形 EHGF 的面积为(a1)10(b1)10458.(a1)(b1)1，即1a1b1，故 4ab(4ab)1a1b5ba4ab52ba4ab9.当且仅当ba4ab，即 a32，b3 时，等号成立，故 4ab 取得最小值为 9.10.3 22 向量AB在CD方向上的投影为ABCD|CD|155 23 22.11等腰三角形 12 因为 D 为 BC 边的中点，所以PBPC2PD，所以正确；PBPC(PDDB)(PDDC)PD2DB2，所以正确；同理可得P0BP0CP0D2DB2，由已知PBPCP0BP0C恒成立，得PD2P0D2，即|P

25、D|P0D|恒成立，所以故错误；注意到 P0，D 是定点，所以 P0D 是点 D 与直线上各点距离的最小值，所以 P0DAB，故P0DAB0，设 AB 中点为 O，则 COP0D，所以错误；再由 D为 BC 的中点，易得 CO 为底边 AB 的中线，故ABC 是等腰三角形，有 ACBC，所以正确综上可知，正确 13解(1)因为 ab，所以 ab0，所以 2sin sin30，即52sin 32cos 0.因为 cos 0，所以 tan 35.(2)由 ab，得 2sin sin31，即 2sin2cos32sin cos sin 31，即12(1cos 2)32sin 21，整理得，sin26

26、12，又 0，2，所以 266，56，所以 266，即 6.考点 14 平面向量的应用【两年高考真题演练】1C AMAB34AD，NMCMCN14AD13AB AMNM14(4AB3AD)112(4AB3AD)148(16AB29AD2)148(1662942)9，选 C.2 D 由于ABC 是边长为 2 的等边三角形；(ABAC)(ABAC)0，即(ABAC)CB0，(4ab)CB，即(4ab)BC，故选D.3.A 建立如图所示坐标系，则 B1t，0，C(0，t)，AB1t，0，AC(0，t)，APAB|AB|4AC|AC|t1t，0 4t(0，t)(1，4)，P(1，4)，PBPC1t1，

27、4(1，t4)171t4t 1721t4t13，故选 A.4C 5B 6A 由 于|a|b|1，ab 0，所 以|OQ|2(a b)2|a|2|b|22ab2，因此点 Q 在以原点为圆心，半径等于 2 的圆上，又|OP|acos bsin|（acos bsin）2|a|2cos2|b|2sin2absin 21，因此曲线 C 是以原点为圆心，半径等于 1 的圆 又区域 P|0r|PQ|R，rR，所以区域 是以点 Q 为圆心，半径分别为 r 和 R 的两个圆之间的圆环，由图形可知，要使曲线 C 与该圆环的公共部分是两段分离的曲线，应有 1rR3.7.2918 在梯形 ABCD 中，AB2，BC1

28、，ABC60，可得 DC1，AEABBC，AFAD19DC，AEAF(ABBC)(AD19DC)ABADAB19DCBCADBC19DC21cos 602191cos 6019cos 1202921718229217182918，当且仅当292，即 23时，取得最小值为2918.81 2 2 2 e1e2|e1|e2|cose1，e212，e1，e23.不妨设 e112，32，0，e2(1，0，0)，b(m，n，t)由题意知be112m32n2，be2m52，解得 n32，m52，b52，32，t.b(xe1ye2)5212xy，3232x，t，|b(xe1ye2)|252x2y23232x2

29、t2x2xyy24x5yt27xy42234(y2)2t2.由题意知，当 xx01，yy02 时，xy42234(y2)2t2取到最小值此时 t21，故|b|522322t22 2.9 2 四边形 ABCD 为菱形，且边长为 2，BAD120，BCAD，DCAB.由题意得AEABBEAB13AD，AFADDFAD1AB.AEAFAB13AD1ABAD14ABAD13ABAD13441132212431.4223431.1423343，2.1022 由题意知，APADDPAD14AB，BPBCCPBC34CDAD34AB，所以APBPAD14ABAD34ABAD212ADAB316AB2，即 2

30、2512ADAB31664，解得ABAD22.11.16 由ABACtan A，可得|AB|AC|cos Atan A，因为 A6，所以|AB|AC|3233，即|AB|AC|23.所以 SABC12|AB|AC|sin A12231216.12解(1)mn23，AB(1，2)，AC(1，2)，OP23(1，2)23(2，1)(2，2)，|OP|22222 2.(2)OPm(1，2)n(2，1)(m2n，2mn)，xm2n，y2mn，两式相减，得 mnyx.令 yxt，由图知，当直线 yxt 过点 B(2，3)时，t 取得最大值 1，故 mn 的最大值为 1.【一年模拟试题精练】1B 由题意可

31、知，AM12(ABAD)12，6，故选 B.2 B 由题意可知，向量 a 与 b 为基底，所以不共线，m12m33，得 m3，故选 B.3B ab12cos20cos 20.4D 因为 ab 与 c 共线，所以有 abmc，又 bc 与 a 共线，所以有 bcna，即 bmca 且 bcna，因为 a，b，c 中任意两个都不共线，则有m1，n1，所以 bmcaca，即 abc0，选 D.5B 如果记得结论，“A，B，D 三点共线，O 是直线 AB 外一点，ODxOAyOB，A，B，D 三点共线xy1，”则本题可很快得出结论，设 D 是 OC 与 AB 的交点，且ODxOAyOB，则 xy1，而

32、OCODxOAyOB，显然 1,又 mx，ny，故mn(xy)1，如果记不得这个结论，则直线从等式OCmOAnOB入手，OC2(mOAnOB)2m2n22mnOAOB，而 OAOB|OA|OB|1，因此 1OC2m2n22mn，所以 mn1.6B 因为 E，M，C 三点共线，所以设AMxAE(1x)AC，则AM x2AB(1x)(ABAD)1x2AB(1x)AD.同理 D，M，F 三点共线，所以设AMyAF(1y)AD，则AMyAB12y3AD，所以有1x2y，1x12y3，解得 y34，即AM34AB12AD，所以 34，12，即 341238，选 B.7B 恒成立；(ab)|a|b|sin

33、a，b，(a)b|a|b|sina，b，当 0时，(ab)(a)b 不成立；当 a，b，c 不共面时，(ab)c(ac)(bc)不成立，例如取a，b，c 为两两垂直的单位向量，易得(ab)c 2，(ac)(bc)2；由 ab|a|b|sina，b，ab|a|b|cosa，b，可知(ab)2(ab)2|a|2|b|2 (ab)2|a|2|b|2(ab)2(x21y21)(x22y22)(x1x2y1y2)2(x1y2x2y1)2，故 ab|x1y2x2y1|恒成立 8.2 将矩形放入平面直角坐标系，如图，因为 AB 2，BC2，E 为 BC 的中点，所以 B(2，0)，D(0，2)，C(2，2)

34、，E(2，1)，设 F(x，2)则AF(x，2)，AB(2，0)，所以AFAB(x，2)(2，0)2x 2，所以 x1.所以AE(2，1)，BF(x 2，2)(1 2，2)，所以AEBF(2，1)(1 2，2)2.9解(1)mn，2sin Bsin C2cos Bcos C 30，cos(BC)32，cos A32，又 0A，A30，(2)选择，A30，B45，C105，a2 且 sin 105 sin(4560)6 24，casin Csin A 6 2，SABC12acsin B 31，选A30，a2，2sin C(31)sin B2c(31)b，由余弦定理：a24b2312b22b312b 32b28b2 2，c312b 6 2，SABC 31(选，不能)