★初中数学竞赛试题精选.pdf

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1、 .1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（）整除。A.111 B.1000 C.1001 D.1111 解：依题意设六位数为abcabc，则abcabca105b104c103a102b10ca102（1031）b10（1031）c（1031）（a103b10c）（1031）1001（a103b10c），而 a103b10c 是整数，所以能被 1001 整除。故选 C 方法二：代入法 2、若2001119811198011S，则 S 的整数部分是_ 解：因 1981、19822001 均大于 1980，所以9022198019801221S，又

2、1980、19812000 均小于 2001，所以22219022200120011221S，从而知 S 的整数部分为 90。3、设有编号为 1、2、3100 的 100 盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有 100 个学生，第 1 个学生进来时，凡号码是 1 的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是 2 的倍数的开关拉一下，第 n 个（n100）学生进来，凡号码是 n 的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100 整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯

3、是关的，所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那些编号为 1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共 10 盏灯是亮的。.4、某商店经销一批衬衣，进价为每件 m 元，零售价比进价高 a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的 b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是（）A.m(1+a%)(1-b%)元 B.ma%(1-b%)元 C.m(1+a%)b%元 D.m(1+a%b%)元 解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件 m（1a%）元，因调整后的零售价为原零售价的 b%，所以调价后每件衬衣的零售价为 m（1a%）b%元。应选 C 5、如果

4、 a、b、c 是非零实数，且 a+b+c=0，那么|abcabcccbbaa的所有可能的值为 （）A.0 B.1 或-1 C.2 或-2 D.0 或-2 解：由已知，a，b，c 为两正一负或两负一正。当 a，b，c 为两正一负时：0|1|1|abcabcccbbaaabcabcccbbaa所以，；当 a，b，c 为两负一正时：0|1|1|abcabcccbbaaabcabcccbbaa所以，由知|abcabcccbbaa所有可能的值为 0。应选 A 6、在ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，若B60，则bcabac的值为 （）A.21 B.22 C.1 D.2 解：过A点作A

5、DCD于D，在RtBDA中，则于B60，所以DB2C，ADC23。c A B C a b .在 RtADC 中，DC2AC2AD2，所以有（a2C）2b243C2，整理得 a2c2=b2ac，从而有1)(22222bbcabacbcabcabcbaabacbcbcabac 应选 C 7、设 ab0，a2+b2=4ab，则baba的值为 （）A.3 B.6 C.2 D.3 解：因为(a+b)2=6ab，(a-b)2=2ab，由于 ab0，得abbaabba26，故3baba。应选 A 8.已知 a1999x2000，b1999x2001，c1999x2002，则多项式 a2+b2+c2-ab-b

6、c-ca的值为 （）A.0 B.1 C.2 D.3 32)1()1(21211)()()(21222222222原式，又，解：accbbaaccbbacabcabcba 9、已知 abc0，且 a+b+c0，则代数式abccabbca222的值是（）A.3 B.2 C.1 D.0 3)()()()()()(ccbbaabcaccbabcabaabcbaacbcabcacb解：原式 .10、某商品的标价比成本高 p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过 d%，则 d 可用 p 表示为 解：设该商品的成本为 a，则有 a(1+p%)(1-d%)=a，解得p10

7、0p100d 11、已知实数 z、y、z 满足 x+y=5 及 z2=xy+y-9，则 x+2y+3z=_ 解：由已知条件知（x+1）y=6，(x1)y=z29，所以 x1，y 是 t26tz29=0 的两个实根，方程有实数解，则（6）24（z29）4z20，从而知 z=0，解方程得 x+1=3，y=3。所以 x+2y+3z8 12.气象爱好者孔宗明同学在 x（x 为正整数）天中观察到：有 7 个是雨天；有 5 个下午是晴天；有 6 个上午是晴天；当下午下雨时上午是晴天。则 x 等于（）A.7 B.8 C.9 D.10 选 C。设全天下雨 a 天，上午晴下午雨 b 天，上午雨下午晴 c 天，全

8、天晴 d 天。由题可得关系式 a=0，b+d=6，c+d=5，a+b+c=7，得 2d-a=4，即 d2，故 b=4，c=3，于 xa+b+c+d=9。13、有编号为、的四条赛艇，其速度依次为每小时1v、2v、3v、4v千米，且满足1v2v3v4v0，其中，水v为河流的水流速度（千米/小时），它们在河流中进行追逐赛规则如下：（1）四条艇在同一起跑线上，同时出发，、是逆流而上，号艇顺流而下。（2）经过 1 小时，、同时掉头，追赶号艇，谁先追上号艇谁为冠军，问冠军为几号？解：出发 1 小时后，、号艇与号艇的距离分别为 441)(vvvvvvSiii水水（）各艇追上号艇的时间为 44444421)(

9、)(vvvvvvvvvvvvvtiiiiii水水 对1v2v3v4v有321ttt，即号艇追上号艇用的时间最小，号是冠 .军。14.有一水池，池底有泉水不断涌出，要将满池的水抽干，用 12 台水泵需 5 小时，用 10台水泵需 7 小时，若要在 2 小时内抽干，至少需水泵几台？解：设开始抽水时满池水的量为x，泉水每小时涌出的水量为y，水泵每小时抽水量为z，2 小时抽干满池水需 n 台水泵，则 nzyxzyxzyx2210771255 由得 zyzx535，代入得：nzzz21035 2122n，故 n 的最小整数值为 23。答：要在 2 小时内抽干满池水，至少需要水泵 23 台 15.某宾馆一

10、层客房比二层客房少 5 间，某旅游团 48 人，若全安排在第一层，每间 4 人，房间不够，每间 5 人，则有房间住不满；若全安排在第二层，每 3 人，房间不够，每间住 4 人，则有房间住不满，该宾馆一层有客房多少间？解：设第一层有客房x间，则第二层有)5(x间，由题可得 )5(448)5(35484xxxx 由得：xx548484，即12539 x 由得：)5(44848)5(3xx，即117 x 原不等式组的解集为11539 x 整数x的值为10 x。答：一层有客房 10 间。.16、某生产小组开展劳动竞赛后，每人一天多做 10 个零件，这样 8 个人一天做的零件超过 200 个，后来改进技

11、术，每人一天又多做 27 个零件，这样他们 4 个人一天所做零件就超过劳动竞赛中 8 个人做的零件，问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍？解：设劳动竞赛前每人一天做x个零件 由题意)10(8)2710(4200)10(8xxx 解得1715 x x是整数 x16 （1637）163.3 故改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的 3.3 倍。初中数学竞赛专项训练（5）（方程应用）一、选择题：1、甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行 1 小时后他们分别到达各自的终点 A 与 B，若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达 A 之后 35 分钟到达 B，甲乙的速度之比为（）A.35 B.43

12、 C.45 D.34 2、某种产品按质量分为 10 个档次，生产最低档次产品，每件获利润 8 元，每提高一个档次，每件产品利润增加 2 元，用同样工时，最低档次产品每天可生产 60 件，提高一个档次将减少 3 件，如果获利润最大的产品是第 R 档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么 R 等于 （）A.5 B.7 C.9 D.10 3、某商店出售某种商品每件可获利 m 元，利润为 20%（利润售价 进价进价），若这种商品的进价提高 25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利 m 元，则提价后的利润率为 （）A.25%B.20%C.16%D.12.5%4、某项工程，甲单独需 a

13、 天完成，在甲做了 c（cb，若两个三角形的最小内角相等，则ba的值等于 （）A.213 B.215 C.223 D.225 7、在凸 10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是 （）A.0 B.1 C.3 D.5 8、若函数)0(kkxy与函数xy1的图象相交于 A，C 两点，AB 垂直 x 轴于 B，则ABC 的面积为 （）A.1 B.2 C.k D.k2 二、填空题 1、若四边形的一组对边中点的连线的长为 d，另一组对边的长分别为 a，b，则 d 与2ba 的大小关系是 2、如图 8-5，AA、BB分别是EAB、DBC 的平分线，若 AABBAB，则BAC 的度数为 3、已知五条线段长度分

14、别是 3、5、7、9、11，将其中不同的三个数组成三数组，比如（3、5、7）、（5、9、11）问有多少组中的三个数恰图 8-6 A B D C P 图 8-4 A B C D A D C F CB E A B B D C 图 8-5 E A .好构成一个三角形的三条边的长 4、如图 8-6，P 是矩形 ABCD 内一点，若 PA3，PB4，PC5，则 PD 5、如图 8-7，甲楼楼高 16 米，乙楼座落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午 12 时太阳光线与水平面的夹角为 30，此时求如果两楼相距 20 米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是米。6

15、、如图 8-8，在ABC 中，ABC60，点 P 是ABC 内的一点，使得APBBPCCPA，且 PA8，PC6，则PB 16 米 20 米 A B C D 甲 乙 图 8-7 图 8-8 B A C P .三、解答题 1、如图 8-9，AD 是ABC 中 BC 边上的中线，求证：AD21（AB+AC）2、已知一个三角形的周长为 P，问这个三角形的最大边长度在哪个范围内变化？3、如图 8-10，在 RtABC 中，ACB90，CD 是角平分线，DEBC 交 AC 于点 E，DFAC 交 BC于点 F。求证：四边形 CEDF 是正方形。CD22AEBF 4、从 1、2、3、4、2004 中任选

16、k 个数，使所选的 k 个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的 k 的最小值是多少？数学竞赛专项训练（8）参考答案 一、选择题 1、如图过 C 作 CEAD 于 E，过 D 作 DFPB 于 F，过 D 作DGCE 于 G。显然 DGEF21AB5，CDDG，当 P 为 AB 中点时，有CDDG5，所以 CD 长度的最小值是 5。2、如图延长 AB、DC 相交于 E，在 RtADE 中，可求得 AE16，DE83，于是 BEAEAB9，在 RtBEC 中，可求得BC33，CE63，于是 CDDECE23 BCCD53。3、由已知 AD+AE+

17、EF+FDEF+EB+BC+CF A B D C 图 8-9 A C F B D E 图 8-10 A B C D P E F G 60 A B C D E A D C B E F H G .AD+AE+FDEB+BC+CF11)(21CDBCABAD EFBC，EFAD，FCDFEBAE 设kFCDFEBAE，141161kkCDkkDFkkABkkAE，AD+AE+FD3+13131416kkkkkk 111313kk 解得 k4 作 AHCD，AH 交 BC 于 H，交 EF 于 G，则 GFHCAD3，BHBCCH9-36 54ABAEBHEG，52454BHEG 5393524GFE

18、GEF 4、假设、三个角都是锐角，即90，90，90，也就是 A+B90，B+C90，C+A90。2（A+B+C）270，ABC135与 ABC180矛盾。故、不可能都是锐角，假设、中有两个锐角，不妨设、是锐角，那么有 AB90，CA90，A(ABC)b，故A 是ABC 的最小角，设AQ，则以 b,b,a 为三边之三角形的最小角亦为 Q，从而它与ABC 全等，所以 DCb，ACDQ，因有公共底角B，所以有等腰ADC等腰CBD，从而得BCBDABBC，即bbaab，令bax，即得方程012 xx，解得215 bax。选 B。7、C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是 360，故外角中钝角的个数不

19、能超过 3Q A B C D .个，又因为内角与外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过 3 个，实际上，容易构造出内角中有三个锐角的凸 10 边形。8、A。设点 A 的坐标为（yx，），则1xy，故ABO 的面积为2121xy，又因为ABO 与CBO 同底等高，因此ABC 的面积2ABO 的面积1。二、填空题 1、如图设四边形 ABCD 的一组对边 AB 和 CD 的中点分别为M、N，MNd，另一组对边是 AD 和 BC，其长度分别为 a、b，连结 BD，设 P 是 BD 的中点，连结 MP、PN，则 MP2a，NP2b，显然恒有2bad，当 ADBC，由平行线等分线段定理知 M、N、P 三点

20、共线，此时有2bad，所以d与2ba 的大小关系是)2(2dbabad或。2、12。设BAC 的度数为 x，ABBB BBD2x，CBD4x ABAA AABAB ACBD4x AAB)180(21x 18044)180(21xxx，于是可解出 x12。3、以 3，5，7，9，11 构成的三数组不难列举出共有 10 组，它们是（3，5，7）、（3，5，9）、（3，5，11）、（3，7，9）、（3，7，11）、（3，9，11）、（5，7，9）、（5，7，11）、（5，9，11）、（7，9，11）。由 3+59，3+511，3+711 可以判定（3，5，9）、（3，5，11）、（3，7，11）这三

21、组不能构成三角形的边长，因此共有 7 个数组构成三角形三边长。4、过 P 作 AB 的平行线分别交 DA、BC 于 E、F，过 P 作 BC的平行线分别交 AB、CD 于 G、H。设 AGDHa，BGCHb，AEBFc，DECFd，则222222222222DPadcbBPdbCPcaAP，于是2222DPBPCPAP，故184532222222BPCPAPDP，DP32 5、设冬天太阳最低时，甲楼最高处 A 点的影子落在乙楼的 C 处，那么图中 CD 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度，设 CEAB 于点 E，那么在AEC 中，AEC90，ACE30，EC20 米。A B D C P M N

22、 A B D C P E F G H a a b b c d .所以 AEEC6.11332030tan20tanACE（米）。CDEBAB-AE16-11.64.4（米）设点 A 的影子落到地面上某一点 C，则在ABC 中，ACB30，AB16 米，所以7.27316cotACBABBC（米）。所以要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要 27.7 米。6、提示：由题意APBBPCCPA120，设PBC，ABC60 则ABP60，BAPPBC，ABPBPC，PCBPBPAP，BP2APPC 3448 PCAPBP 三、解答题 1、证明：如图延长 AD 至 E，使 ADDE，连结 BE

23、。BDDC，ADDE，ADCEDB ACDEBD ACBE 在ABE 中，AEABBE，即 2ADABAC AD21（ABAC）2、答案提示：在ABC 中，不妨设 abc a+bca+b+c2c 即 p2cc2p，另一方面 ca 且 cb2ca+b 3c3pcpcba。因此23pcp 3、证明：ACB90，DEBC，DFAC，DEAC，DEBC，从而ECFDECDFC90。CD 是角平分线 DEDF，即知四边形 CEDF 是正方形。在 RtAED 和 RtDFB 中，DEBC ADEB RtAEDRtDFB BFDEDFAE，即 DEDFAEBF CD2DE2DF，BFAEDFDEDFDECD

24、22222 16 米 20A B C D 甲 乙 E A B D C E .4、解：这一问题等价于在 1，2，3，2004 中选 k1 个数，使其中任意三个数都不能成为三边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的 k 的最大值是多少？符合上述条件的数组，当 k4 时，最小的三个数就是 1，2，3，由此可不断扩大该数组，只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和，所以，为使 k达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597 共 16 个数，对符合上述条件的任数组，a1，a

25、2an显然总有 ai大于等于中的第 i个数，所以 n16k1，从而知 k 的最小值为 17。初中数学竞赛专项训练（9）（面积及等积变换）一、选择题：1、如图 9-1，在梯形 ABCD 中，ABCD，AC 与 BD 交于 O，点 P 在 AB 的延长线上，且 BPCD，则图形中面积相等的三角形有 （）A.3 对 B.4 对 C.5 对 D.6 对 2、如图 9-2，点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AB、BC的中点，连 AF、CE，设 AF、CE 交于点 G，则ABCDAGCDSS矩形四边形等于 （）A.65 B.54 C.43 D.32 3、设ABC 的面积为 1，D 是边 AB 上一点

26、，且ABAD31，若在边 AC 上取一点 E，使四边形 DECB 的面积为43，则EACE的值为 （）A.21 B.31 C.41 D.51 4、如图 9-3，在ABC 中，ACB90，分别以 AC、AB 为边，在ABC 外作正方形 ACEF 和正方形 AGHB，作 CKAB，分别交 AB 和 GH 于 D 和 K，则正方形 ACEF 的面积 S1与矩形 AGKD的面积 S2的大小关系是 （）A.S1S2 B.S1S2 P A D C B O 图9-1 A B C D E F G 图 9-2 A B C D H G K F E 图 9-3 A B C D 图 9-4 .C.S1S2 D.不能确

27、定，与ABAC的大小有关 5、如图 9-4，四边形 ABCD 中，A60，BD90，AD8，AB7，则 BC+CD 等于 （）A.36 B.53 C.43 D.33 6、如图 9-5，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设 a1，则正方形的面积为 （）A.2537 B.253 C.215 D.2)21(7、如图 9-6，矩形 ABCD 中，ABa，BCb，M 是 BC 的中点，DEAM，E 为垂足，则 DE（）A.2242baab B.224baab C.2242baab D.224baab 8、O 为ABC 内一点，AO、BO、CO 及其延长线把ABC 分成六个小三角形，它们的面积如

28、图 9-7 所示，则 SABC（）A.292 B.315 C.322 D.357 二、填空题 1、如图 9-8，梯形 ABCD 的中位线 EF 的长为 a，高为 h，则图中阴影部分的面积为 2、如图 9-9，若等腰三角形的底边上的高等于 18cm，腰上的中线等于 15cm，则这个等腰三角形的面积等于 3、如图 9-10，在ABC 中，CEEB12，DEAC，若ABC 的面积为 S，则ADE 的面积为 4、如图 9-11，已知 D、E 分别是ABC 的边 BC、CA 上的点，且 BDa b a a b b 图 9-5 a b A B C D E M 图 9-6 A B C D E F O 84

29、x y403035图 9-7 图9-8 A E D C F B A M C D B G 图 9-9 A C E B D 图 9-10 A B Q R D C E P 图 9-11 A B C D G F E 图 9-12 .4，DC1，AE5，EC2。连结 AD 和 BE，它们相交于点 P，过点 P 分别作 PQCA，PRCB，它们分别与边 AB 交于点 Q、R，则PQR 的面积与ABC 的面积之比为 5、如图 9-12，梯形 ABCD 中，ADBC，ADBC25，AFFD11，BEEC23，EF、CD 延长线交于 G，用最简单的整数比来表示，SGFDSFEDSDEC 6、如图 9-13，P

30、是矩形 ABCD 内一点，若 PA3，PB4，PC5，则 PD 三、解答题 1、如图 9-14，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，F 是 CD 上的点，SABESADF31S矩形ABCD。求：CEFAEFSS的值。2、一条直线截ABC 的边 BC、CA、AB（或它们的延长线）于点 D、E、F。求证：1FBAFEACEDCBD A B C D P 图 9-13 A D F C E B 图 9-14 A B C D E F 图 9-15 .3、如图 9-16，在 ABCD 中，P1、P2、P3Pn-1是 BD 的 n 等分点，连结 AP2，并延长交 BC 于点 E，连结 APn-2并延长

31、交 CD 于点 F。求证：EFBD 设 ABCD 的面积是 S，若 SAEF83S，求 n 的值。4、如图 9-17，ABC 是等腰三角形，C90，O 是ABC 内一点，点 O 到ABC各边的距离等于 1，将ABC 绕点 O 顺时针旋转 45得到A1B1C1，两三角形的公共部分为多边形 KLMNPQ。证明：AKL，BMN，CPQ 都是等腰直角三角形。求证：ABC 与A1B1C1公共部分的面积。D B A C E F P1 P2 Pn-2 Pn-1 图 9-16 图 9-17 A B C C1 A1 B1 L M K N Q P O .数学竞赛专项训练（7）30 数学竞赛专项训练（9）参考答案

32、一、选择题：1、C。ACDBCPBCDBCPBCDACDBOCAODABDABCSSSSSSSSSS，2、D。连结 AC，有3:1:ABCAGCSS，则 ABCDABCDABCDACDAGCAGCD32212131S矩形矩形矩形四边形SSSSS。3、B。如图联结 BE，ADES41431，设xACCE，则xABE1S 414131SxxADE，31EACE 4、A。解：AGADSACS221，因为ACBRtADCRt，所以ABACACAD，即ABADAC2，又因为 ABAG，所以221SAGADACS，所以应选 A。5、B。解：如图延长 AD，BC 相交于 E，在 RtABE 中，可求得 AE

33、14，于是 DEAE，AD=6，又 BE3，在 RtCDE 中，可求得 CD23，CE43，于是BCBECE3，BC+CD53。6、A。解：由右图与左图的面积相等，得2)()(bababb，已知1a，所以有2)1()12(bbb，即012bb，解得251 b，从而正方形的面积为2537)253()1(22b。A E D B C A B C D E 60 .数学竞赛专项训练（7）31 7、A。解：由ADEABM，得 DE222242)21(baabbaabAMABAD 8、B。CDOACOBDOABOSSDOAOSS，即30354084xy 又CEOBCOBDEABOSSOEBOSS，即3570

34、84xy 84211234yxyx，解之得5670yx SABC84+40+30+35+70+56315。二、填空题 1、ahS21阴影。解：延长 AF 交 DC 的延长线于 M，则ABFMCF，AFFM，SABFSCMF。S阴影SDFM，AFFM SADFSMDF ABCDS21梯形阴影S ahSABCD梯形，ahS21阴影。2、144。解：作 MNBC 于 N，AMMC，MNAD，DNNC。921ADMN，在 RtBMN 中，BM15，MN9。BN12，而 BDDC2DN，3DN12，DN4，BC16，SABC=21ADBC211816144。3、SADE92S。解：CEEB12，设 CE

35、k，则 EB2k，DEAC，而 BEBC2k3k23，2)32(sSBDE，SBDE94S DEAC 21BECEBDAD，21BDADSSBDEADE，则 SADE21 SBDE92S 4、1089400。解：过点 E 作 EFAD，且交 BC 于点 F，则52EACEFDCF，所以 .数学竞赛专项训练（7）32 75255CDFD。因为 PQCA，所以33287544BFBDBEBPEAPQ 于是33140PQ。因为 PQCA，PRCB，所以QPRACB，因为PQRCAB 故1089400)3320()(22CAPQSSCABPQR。5、126。解：设 AD2，则 BC5，FD1，EC3

36、GFGEFDEC13，GFFE12，SGFDSFEDGFFE12 显然有 SEFDSCEDFDEC13，SGFDSFEDSCED126。6、32。解：过点 P 作 AB 的平行线分别交 DA、BC 于 E、F，过 P 作 BC 的平行线分别交 AB、CD 于 G、H。设 AGDHa，BGCHb，AEBFc，DECFd，则222222222222CPadDPcbBPdbcaAP，于是2222DPBPCPAP，故184532222222BPCPAPDP，DP32。三、解答题 1、设 BCa，CDb，由ABCD31矩形SSABE，得ab31BEb21。BE32a，则EC31a。同理 FC31b，ab

37、ba181313121SCEF。abCDADECSAECD32)(21梯形，ababaabSSAEF1853118132SSADFCEFAECD梯形 15181185ababSSCEFAEF。2、答案提示：连结 BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比；再约分。3、解：因 ADBC，ABDC，所以DAPBEPABPFDPnn2222，.数学竞赛专项训练（7）33 从而有22AP2222222222nBPDPEPnDPBPFPAPnnnn，即FPAPFPAPnn2222 所以 EFBD 由可知22nABDF，所以SnSAFD21，同理可证SnSABE21 显然22nDCDF，所以241nn

38、DCDFDCDFDCDCFC，从而知SnnSECF2)24(21，已知,83SSAEF所以有 SnnSnSS2)24(2121283，即83)2(2)4(22122nnn 解方程得 n6。4、证明：连结 OC、OC1，分别交 PQ、NP 于点 D、E，根据题意得COC145。点 O 到 AC 和 BC 的距离都等于 1，OC 是ACB 的平分线。ACB90 OCEOCQ45 同理OC1DOC1N45 OECODC190 CQPCPQC1PNC1NP45 CPQ 和C1NP 都是等腰直角三角形。BNMC1NP45 A1QKCQP45 B45 A145 BMN 和A1KQ 都是等腰直角三角形。B1

39、MLBMN90，AKLA1KQ90 B145 A45 B1ML 和AKL 也都是等腰直角三角形。在 RtODC1和 RtOEC 中，ODOE1，COC145 OCOC12 CDC1E2-1 PQNP2（2-1）22-2，CQCPC1PC1N2（2-1）22 223)22(212CPQS .数学竞赛专项训练（7）34 延长 CO 交 AB 于 H CO 平分ACB，且 ACBC CHAB，CHCOOH2+1 ACBCA1C1B1C12（21）22 223)22(212ABCS A1QBN（2+2）（22-2）（22）2 KQMN222 1)2(212BMNS AK（2+2）（22）22 1)2(

40、212AKLS 22411)223)223(S-S-S-SAKLBMNCPQABCKLMNPQ（多边形S 初中数学竞赛专项训练（10）（三角形的四心及性质、平移、旋转、覆盖）一、填空题：1、G 是ABC 的重心，连结 AG 并延长交边 BC 于 D，若ABC 的面积为 6cm2，则BGD 的面积为（）A.2cm2 B.3 cm2 A C B E 图 10-1 .数学竞赛专项训练（7）35 C.1 cm2 D.23 cm2 2、如图 10-1，在 RtABC 中，C90，A30，C 的平分线与B 的外角的平分线交于 E 点，则AEB 是（）A.50 B.45 C.40 D.35 3、在ABC 中

41、，ACB90，A20，如图 10-2，将ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转角到ACB的位置，其中 A、B分别是 A、B 的对应点，B 在 AB上，CA交 AB于 D，则BDC 的度数为（）A.40 B.45 C.50 D.60 4、设 G 是ABC 的垂心，且 AG6，BG8，CG10，则三角形的面积为（）A.58 B.66 C.72 D.84 5、如图 10-3，有一块矩形纸片 ABCD，AB8，AD6，将纸片折叠，使 AD 边落在AB 边上，折痕为 AE，再将AED 沿 DE 向右翻折，AE 与 BC 的交点为 F，CEF的面积为（）A.2 B.4 C.6 D.8 6、在ABC 中，A45

42、，BCa，高 BE、CF 交于点 H，则 AH（）A.a21 B.a22 C.a D.a2 7、已知点 I 是锐角三角形 ABC 的内心，A1、B1、C1分别是点 I 关于 BC、CA、AB 的对称点，若点 B 在A1B1C1的外接圆上，则ABC 等于（）A.30 B.45 C.60 D.90 8、已知 AD、BE、CF 是锐角ABC 三条高线，垂心为 H，则其图中直角三角形的个数是（）A.6 B.8 C.10 D.12 二、填空题 1、如图 10-4，I 是ABC 的内心，A40，则CIB 2、在凸四边形 ABCD 中，已知 ABBCCDDA223A B C D A B 图 10-2 A B

43、 C D D A E B C A D E B C F 图 10-3 A C I B D 图 10-4 A B C D E D 图 10-5 .数学竞赛专项训练（7）36 1，且ABC90，则DAB 的度数是 3、如图 10-5，在矩形 ABCD 中，AB5，BC12，将矩形 ABCD 沿对角线对折，然后放在桌面上，折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是 4、在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的旋转中心）若现在时间恰好是 12 点整，则经过秒钟后，OAB 的面积第一次达到最大。5、已知等腰三角形顶角为 36，则底与腰的比值等于 6、已知 AM 是ABC 中 BC 边上的中

44、线，P 是ABC 的重心，过 P 作 EF（EFBC），分别交 AB、AC 于 E、F，则AFCFAEBE 三、解答题 1、如图 10-6，在正方形 ABCD 的对角线 OB 上任取一点 E，过 D 作 AE 的垂线与 OA 交于 F。求证：OEOF .数学竞赛专项训练（7）37 2、在ABC 中，D 为 AB 的中点，分别延长 CA、CB 到点 E、F，使 DEDF，过 E、F分别作 CA、CB 的垂线相交于 P，设线段 PA、PB 的中点分别为 M、N。求证：DEMDFN PAEPBF 3、如图 10-8，在ABC 中，ABAC，底角 B 的三等分线交高线 AD 于 M、N，边 CN并延长

45、交 AB 于 E。求证：EMBN A E C B F D P M N 图 10-7 A B C N M E D 图 10-8 .数学竞赛专项训练（7）38 4、如图 10-9，半径不等的两圆相交于 A、B 两点，线段 CD 经过点 A，且分别交两于 C、D 两点，连结 BC、CD，设 P、Q、K 分别是 BC、BD、CD 中点 M、N 分别是弧 BC和弧 BD 的中点。求证：QBNQPMBP KPMNQKA B C D M N K P Q 图 10-9 .数学竞赛专项训练参考答案（10）39 数学竞赛专项训练（10）参考答案 一、选择题 1、解：)(12131312cmSSSABCABDBGD

46、。选 C。2、解：在 RtABC 中，C90，A30，则ABC60，因为 EB 是B 的外角的平分线，所以ABE60，因为 E 是C 的平分线与B 的平分线的交点，所以 E 点到 CB 的距离等于 E 到 AB 的距离，也等于 E 点到 CA 的距离，从而 AE 是A 的外角的平分线。所以752150BAE，AEB180607545。应选 B。3、解：依题意在等腰三角形 BCB 中，有BCB，B902070。所以18027040，即DCA40，从而BDCDCAA402060。应选 D。4、解：设 AD 为中线，则 DG21AG3，延长 GD 到 G，DGDG3，723246821GBCABCC

47、GGGBCSSSS。应选 C。5、解：由折叠过程知，DEAD6，DAECEF45，所以CEF 是等腰直角三角形，且 EC862，所以 SCEF2。故选 A。6、解：取ABC 的外心及 BC 中点 M，连 OB、OC、OM，由于A45，故BOC90，OM21a，由于 AH2OM，AHa。应选 C。7、解：因为 IA1IB1IC12r（r 为ABC 的内切圆半径），所以 I 点同时是A1B1C1的外接圆的圆心，设 IA1与 BC 的交点为 D，则 IBIA12ID，所以IBD30。同理，IBA30，于是ABC60。故选 C。8、图中有 6 个直角，每一个直角对应两个直角三角形，共有 12 个直角三

48、角形：ADB、ADC、BEA、CFA、CFB、HDB、HDC、HEC、HEA、HFA、BEC、HFB。故选 D。二、填空题 1、解：11024090290)22()22(ACABADICBIDBIC .数学竞赛专项训练参考答案（10）40 2、解：连 AC，即 ADa，则在等腰 RtABC 中 22222222)3(8ADCDaaaBCABAC 有CAD90 DABDACCAB90+45135。3、解：设折叠后所成圆形覆盖桌面的面积为 S，则：ECECABSSSSSSSAECAECABCDAECCADABC25211矩形 由 RtABERtCD1E 知 ECAE 设 ECx，则222xBEAB

49、，即222)12(5xx 解得：4820354884512548845241692524169SSxAEC 4、解：答：591515。设 OA 边上的高为 h，则 hOB，所以OBOAhOASOAB2121 当 OAOB 时，等号成立，此时OAB 的面积最大。设经过 t 秒时，OA 与 OB 第一次垂直，又因为秒针 1 秒钟旋转 6 度，分针 1 秒钟旋转 0.1 度，于是（60.1）t90，解得 t=591515。5、解：设等腰三角形底边为 a，腰为 b，作底角B 的平分线交 AC 于 D，则 70)36180(21B BCD、DAB 均为等腰三角形。BDADBCa，而 CDba 由BCDA

50、BC aabbaBCCDABBC即 则有21501)()(2bababa解得（取正）6、解：如图分别过 B、C 两点作 BG、CK 平行于 AM 交直线 EF于 G、K，则有APCKAFCEAPBGAEBE 两式相加APCKBGAFCFAEBE 又梯形 BCKG 中，PM21（BG+CK），而由 P 为重心得 AP2PM A B M C K F D E G .数学竞赛专项训练参考答案（10）41 故122PMPMAFCFAEBE 三、解答题 1、证明：正方形 ABCD OADE DFAE F 是DAE 的垂心 EFAD EFAB OAOB OEOF 2、证明：如图，据题设可知 DM 平行且等于