“对数函数”(第一课时)教学实录.pdf

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1、“对数函数”“对数函数”（第一课时）教学实录（第一课时）教学实录一、对数函数的定义一、对数函数的定义师：（幻灯片，问题 1）考古学家通过检验死亡生物体残留物中碳14 的含量 P，利用t log573012P估算出文物的年代 t。请问：t 是 P 的函数吗生：是。师：能说明理由吗（请生1 回答）生 1：因为每一个 P 都有唯一的 t 和它对应。师：很好。（对生 1 的回答进行补充，并通过幻灯投影：根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14 含量 P，通过对应关系t log573012P，都有唯一确定的年代 t 与它对应，所以，t 是 P 的函数。）师：（板书：t log5730:12P）师：（幻灯

2、片，问题 2）细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个则一个细胞分裂 n 次n后，得到细胞个数N 2。若要得到 N 个细胞，求分裂次数n，则可用n log2N计算。请问：n 是 N 的函数吗生：n 是 N 的函数，因为对每一个细胞数N，按对应关系n log2N，都有唯一确定的分裂次数n 与它对应。师：回答十分正确。（幻灯投影：对于每个细胞数N，按照对应关系n log2N，都有唯一确定的分裂次数 n 与之对应，所以 n 是 N 的函数。）师：（板书：n log2N）师：现在，让我们再来看看刚才这两个函数。同学们，你们能说出它们有哪些共同特征吗生：有对数。师：对，它们都含有对数运

3、算符号。（板书对数运算符号：log）还有呢生：底数是一个常数。|师：嗯。我们可以设它为a。（在对数运算符号右下角写上a：loga）还有吗生：自变量是真数。师：没错。两个函数的真数恰好就是自变量，我们用x表示。（在真数位置写上x：logax），至于因变量，我们用y来表示。（补充为完整的对数函数表达式：y logax）师：我们把这个函数叫做对数函数。（板书课题：对数函数）师：（板书：形如y logax的函数叫做对数函数。）师：根据前面学习过的对数知识，这里的底数a应该满足什么条件生：a应该大于 0 且不等于 1。师：（板书：a 0,a 1）/师：自变量x的取值范围呢生：大于 0。师：对，因为 0

4、和负数没有对数。（板书：x 0）师：请大家判断，这两个函数是对数函数吗（板书：（1）y 3log5x（2）y log4x）5x，都与对数函数的形式不符。5生：（在老师的指点下）这两个函数都不是对数函数，因为第一个函数对数符号前面的系数不是1，而是 3；（2）第二个函数的真数不是自变量x，而是师：没错。对数函数的定义是一个形式定义，只有跟它形式相同，或者通过恒等变形后形式相同的函数，才是对数函数。二、对数函数的图象二、对数函数的图象师：在明确了对数函数的定义后，接下来要探讨什么你能根据探讨指数函数的思路，提出探讨方法吗生：要画函数的图象，讨论函数的性质。师：对了。那我们为什么要画函数的图象呢生

5、2：因为从函数的图象可以看出函数的性质。师：可以看出函数的哪些性质，能说具体一点吗生：（不断补充）单调性、奇偶性、定义域、值域、图象的关键点。师：回答得非常好。在学指数函数的时候，我们就是根据指数函数的图象来分析指数函数的性质的，这是数形结合的方法，是分析函数性质的重要方法，也是一般方法。下面我们就用这一方法来探讨对数函数的性质。为此，我们要先作出对数函数的图象。师：先让我们对对数函数的图象作一个整体了解。|（几何画板展示：动态显示对数函数的图象随底数a 的变化而变化。提示学生注意底数 a 的取值范围与图象的形状的关系，底数在何值时图象发生了质的变化。）生：（观察）师：我们看到对数函数的图象随

6、底数a的变化而变化，你有什么重要发现生 3：a 1时，函数是增函数，0 a 1时，函数是减函数。师：你观察到了函数图象最明显的一个变化，很好。生 4：函数图象都过点（1，0）。师：你观察得比较细致。类比指数函数的图象，你们觉得对数函数的图象需要分类吗生：要分为a 1和0 a 1两类。￥师：好。下面我们由特殊函数入手，看对数函数的图象有何特征。对a 1的情形，我们选择y log2x，对0 a 1的情形，我们选择y log1x。请大家作出这两个函数的图象。2生：（作函数图象）师：（巡视辅导，提示作函数图象的步骤：列表、描点、连线）列表时，你觉得横坐标取哪些值比较好呢一要注意关键点，二要便于计算，又

7、能反映图象的变化趋势。生：横坐标可以取 1，2，4，8，生：（作图。生 5、生 6 板演）师：（把学生中完成得较好的向全班展示，并给予表扬。）师生：（点评生 5、生 6 的板演，认为作图规范、漂亮，并对细节处进行修正）师：（幻灯片，展示作函数图象的过程）￥111，248师：请在刚才作图的同一坐标系内，分别取三个点，作出y log3x和y log1x的图象。3生：（在老师的指点下，取横坐标1，1，3 作图）3师：这两个图象分别与刚才画的两个图象中的哪一个相似生：y log3x的图象与y log2x的相似，y log1x的图象与y log1x的相似。32师：（幻灯片，投影y log1x和y log

8、3x的图象）3师：（几何画板：对数函数的图象）再次观察对数函数的图象，注意底数a的取值，对应的函数图象与y log2x和y log1x的图象相似吗2生：当a 1时，函数图象与y log2x的图象相似，当0 a 1时，函数图象与y log1x的2图象相似。师：对，那你能画出对数函数的草图吗生：（画对数函数的草图）师：（幻灯片，对数函数的草图）无论a 1还是0 a 1，对数函数的图象都过点（1，0），所以，点（1，0）是对数函数的“关键点”，画图时，先把这个点定好。当a 1时，是一条“上升的”曲线，当0 a 1时，是一条“下降的”曲线。三、对数函数的性质三、对数函数的性质师：下面，我们来探讨对数函

9、数的性质。还从y log2x和y log1x的性质入手。大家先观察2y log2x的图象，看它有什么特征，然后由形入数，分析y log2x的性质。生：（在老师的适时提醒下）图象位于Y 轴右边，向上、向下无限延伸，从左向右看逐渐上升。师：（在学生回答的同时，幻灯投影显示表1）师：这些图象特征，用数学语言表述出来，就是函数的性质。比如，图象位于Y 轴的右边，说明生：函数的定义域是(0,);师：非常好。（幻灯片投影这一结论）图象向下、向上无限延伸，表明生：函数的值域是(,)。师：（幻灯片投影这一结论）图象上升生：函数是增函数。师：这样表述准确吗生：函数在(0,)上是增函数。师：（幻灯片投影这一结论）

10、对，不要忘记函数的单调性与单调区间是紧密联系在一起的。这个函数的奇偶性如何生 7：既不是奇函数，也不是偶函数。&师：你是如何知道的生 7：因为它的图象既不关于Y 轴对称，也不关于原点对称。师：你回答得真好，说明你对数形结合的方法有很好的理解。从这里我们可以看到，函数图象对于我们分析和掌握函数的性质是很有帮助的，所以对于每一类函数的图象，我们要会画它的草图，知道它的主要特征。师：现在，请同学们自己分析y log1x图象的特征，并讨论它的性质，把表2 完成。2（幻灯片，投影空表 2）生：（说出y log1x图象的主要特征及函数的主要性质）2师：（幻灯片，逐条投影表2 的内容：图象位于Y 轴右边，图

11、象向上、向下无限延伸，从左向右图象逐渐下降；定义域：(0,)，值域：R，在(0,)上：减函数）师：从这两个函数来看，它们的主要性质有哪些是相同的，哪些是不同的生：两个函数的定义域和值域相同，但单调性刚好相反。师：没错。那么，这两个函数的主要性质可不可以推广到一般对数函数呢生：可以。当a 1时，y logax的性质与y log2x的性质相同，当0 a 1时，y logax的性质与y log1x的性质相同。2师：好。请同学们归纳对数函数的主要性质。（幻灯片，投影表 3）师生：（共同归纳对数函数的性质，同时完成表3：定义域：(0,)，值域：R，过定点：（1，0），a 1时在(0,)上是增函数，0 a 1时在(0,)是减函数）（下课铃响）四、课堂小结四、课堂小结师：这节课，我们一起探讨了对数函数的图象和性质，大家表现非常优秀。我们的成果体现在表3 里面了。我们先探讨了具体的函数，然后把结果进行推广，采用的是从特殊到一般的思维方法，我们由函数的图象特征来发现函数的性质，采用了数形结合的数学方法。由特殊到一般、数形结合，是数学常用的方法，希望大家好好体会。五、布置作业五、布置作业（幻灯片投影）x（1）在同一坐标系内作出y log2x和y 2的图象，并指出这两个函数的图象有什么关系。（2）在同一坐标系内作出y log1x和y ()的图象，并指出这两个函数图象有什么关系。212x