小学数学奥数基础教程三年级目30讲全.pdf

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1、.小学奥数根底教程 三年级 第 1 讲 加减法的巧算 第 2 讲 横式数字谜(一)第 3 讲 竖式数字谜(一)第 4 讲 竖式数字谜(二)第 5 讲 找规律(一)第 6 讲 找规律(二)第 7 讲 加减法应用题 第 8 讲 乘除法应用题 第 9 讲 平均数 第 10 讲 植树问题 第 11 讲 巧数图形 第 12 讲 巧求周长 第 13 讲 火柴棍游戏(一)第 14 讲 火柴棍游戏(二)第 15 讲 趣题巧解 第 16 讲 数阵图(一)第 17 讲 数阵图(二)第 18 讲 能被 2，5 整除的数的特征 第 19 讲 能被 3 整除的数的特征 第 20 讲 乘、除法的运算律和性质 第 21 讲

2、 乘法中的巧算 第 22 讲 横式数字谜(二)第 23 讲 竖式数字谜(三)第 24 讲 和倍应用题 第 25 讲 差倍应用题 第 26 讲 和差应用题 第 27 讲 巧用矩形面积公式 第 28 讲 一笔画(一)第 29 讲 一笔画(二)第 30 讲 包含与排除 一、两、三位数乘一位数一 二、两、三位数乘一位数二 三、乘法分配律 数学智慧园一 四、等量替换 五、两、三位数除以一位数一 六、两、三位数除以一位数二 七、和差问题 数学智慧园二 八、图形空格填数 九、归一问题 十、和倍问题 十一、差倍问题 数学智慧园三 十二、两积之和.第 2 讲 横式数字谜(一)在一个数学式子(横式或竖式)中擦去局

3、部数字，或用字母、文字来代替局部数字的不完整的算式或竖式，叫做数字谜题目。解数字谜题就是求出这些被擦去的数或用字母、文字代替的数的数值。例如，求算式 324+=528 中所代表的数。根据加数=和-另一个加数知，=582-324258。又如，求右竖式中字母 A，B 所代表的数字。显然个位数相减时必须借位，所以，由 12-B5 知，B12-57；由 A-13 知，A314。解数字谜问题既能增强数字运用能力，又能加深对运算的理解，还是培养和提高分析问题能力的有效方法。这一讲介绍简单的算式(横式)数字谜的解法。解横式数字谜，首先要熟知下面的运算规则：(1)一个加数+另一个加数=和；(2)被减数-减数=

4、差；(3)被乘数乘数=积；(4)被除数除数=商。由它们推演还可以得到以下运算规则：由(1)，得 和-一个加数=另一个加数；其次，要熟悉数字运算和拆分。例如，8 可用加法拆分为 80817263544；24 可用乘法拆分为 24124=2123846(两个数之积)=1212226=(三个数之积)=12262223=(四个数之积)例 1 以下算式中，*各代表什么数？(1)+513-6；(2)28-157；(3)3=54；(4)387；(5)56*7。解：(1)由加法运算规则知，=13-6-52；(2)由减法运算规则知，28-(157)6；(3)由乘法运算规则知，54318；(4)由除法运算规则知，

5、=873261；(5)由除法运算规则知，*5678。例 2 以下算式中，各代表什么数？(1)+=48；(2)621-；(3)5-18612；(4)63-4513。解：(1)表示一个数，根据乘法的意义知，+=3，故=48316。(2)先把左端(6)看成一个数，就有 (6)21，321-6，1535。(3)把 5，186 分别看成一个数，得到 5=12186，5=15，=1553。(4)把 63，45分别看成一个数，得到 4563-13，455，4559。例 3(1)满足 581271 的整数等于几？(2)180是由哪四个不同的且大于 1的数字相乘得到的？试把这四个数按从小到大的次序填在下式的里。

6、180=。(3)假设数，满足=48 和=3，则，各等于多少？分析与解：(1)因为 5812410，7112511，并且为整数，所以，只有=5 才满足原式。(2)拆分 180 为四个整数的乘积有很多种方法，如 1801459012330 但拆分成四个大于 1的数字的乘积，围就缩小了，如 18022592356 假设再限制拆分成四个不同的数字的乘积，围又缩小了。按从小到大的次序排列只有下面一种：1802356。所以填的四个数字依次为2，3，5，6。(3)首先，由=3 知，因此，在把 48 拆分为两数的乘积时，有 4848124216312486，其中，只有 48124 中，124=3，因此=12，

7、=4。这道题还可以这样解：由=3 知，=3。把=48 中的换成3，就有 (3)48，于是得到=48316。因为 1644，所以=4。再把=3 中的换成 4，就有=3=43=12。这是一种代换的思想，它在今后的数学学习中应用十分广泛。下面，我们再结合例题讲一类填运算符号问题。例 4 在等号左端的两个数中间添加上运算符号，使以下各式成立：(1)4 4 4 424；(2)5 5 5 5 5=6。.解：(1)因为 444424，所以必须填一个。4416，剩下的两个 4 只需凑成 8，因此，有如下一些填法：444424；444424；444424。(2)因为 5+1=6，等号左端有五个 5，除一个 5

8、外，另外四个 5 凑成 1，至少要有一个，有如下填法：55+5-5+56；5555-56；55555=6；555556。由例 4 看出，填运算符号的问题一般会有多个解。这些填法都是通过对问题的综合观察、分析和试算得到的，如果只是盲目地试算，则就可能走很多弯路。例 5 在下式的两数中间添上四则运算符号，使等式成立：8 2 33 3。分析与解：首先考察右端3 3，它有四种填法：3+36；3-30；339；33=1。再考察左端8 2 3”，因为只有一个奇数 3，所以要想得到奇数，3 的前面只能填或-，要想得到偶数，3 的前面只能填。经试算，只有两种符合题意的填法：8-2333；82-333。填运算符

9、号可加深对四则运算的理解和认识，也是培养分析能力的好容。练习 2 1.在以下各式中，分别代表什么数？+1635；47-=12；-315；4=36；4=15；84=4。2.在以下各式中，各代表什么数？(+350)3=200；(54-)40；360-710；49-5=1。3.在以下各式中，各代表什么数？150-=；92=22。4.120 是由哪四个不同的一位数字相乘得到的？试把这四个数字按从小到大的次序填在下式的里：120。5.假设数，同时满足=36 和-=5，则，各等于多少？6.在两数中间添加运算符号，使以下等式成立：(1)5 5 5 5 53；(2)1 2 3 41。7.在以下各式的填上适宜的

10、运算符号，使等式成立：1244=103。8.在以下各式的填上适宜的运算符号，使等式成立：123456789100；123456789100；123456789100；123456789100；123456789100；123456789100；123456789100。答案与提示练习 2 1.略。2.=250，=54，=50，=175。3.=50，=0 或 2，=2。4.1358 或 1456 或 2345。5.=9，=4。6.(1)5-55-55=3；(2)123-4=1。7.1244=10-3 或 1244=103。8.123-45-6789100；123 45 67 8 9 100；12

11、3456789100；123456789100；12345678 9100；123456789=100；12-3-45-6789100。第 3 讲 竖式数字谜(一)这一讲主要讲加、减法竖式的数字谜问题。解加、减法数字谜问题的根本功，在于掌握好上一讲中介绍的运算规则(1)(2)及其推演的变形规则，另外还要掌握数的加、减的拆分。关键是通过综合观察、分析，找出解题的突破口。题目不同，分析的方法不同，其突破口也就不同。这需要通过不断的学和练，逐步积累知识和经历，总结提高解题能力。例 1 在右边的竖式中，A，B，C，D 各代表什么数字？解：显然，C=5，D=1(因两个数 字之和只能进一位)。由于 A41

12、即 A5的个位数为 3，且必进一位(因为 43)，所以 A5=13，从而 A13-5=8。同理，由 7B1=12，即 B812，得到 B 12-84。故所求的 A=8，B=4，C=5，D=1。例 2 求下面各竖式中两个加数的各个数位上的数字之和：.分析与解：(1)由于和的个位数字是 9，两个加数的个位数字之和不大于 9918，所以两个加数的个位上的两个方框里的数字之和只能是9。(这是突破口)再由两个加数的个位数之和未进位，因而两个加数的十位数字之和就是 14。故这两个加数的四个数字之和是914=23。(2)由于和的最高两位数是19，而任何两个一位数相加的和都不超过 18，因此，两个加数的个位数

13、相加后必进一位。(这是突破口，与(1)不同)这样，两个加数的个位数字相加之和是 15，十位数字相加之和是 18。所求的两个加数的四个数字之和是151833。注意：(1)(2)两题虽然题型一样，但两题的突破口不同。(1)是从和的个位着手分析，(2)是从和的最高两位着手分析。例 3 在下面的竖式中，A，B，C，D，E 各代表什么数？分析与解：解减法竖式数字谜，与解加法竖式数字谜的分析方法一样，所不同的是减法。首先，从个位减起(因差的个位是 5)。45，要使差的个位为 5，必须退位，于是，由 14-D5 知，D=14-59。(这是突破口)再考察十位数字相减：由 B-1-09 知，也要在百位上退位，于

14、是有 10B-1-09，从而 B0。百位减法中，显然 E=9。千位减法中，由 10A-1-37 知，A1。万位减法中，由 9-1-C0 知，C8。所以，A1，B0，C8，D9，E9。例 4 在下面的竖式中，车、马、炮各代表一个不同的数字。请把这个文字式写成符合题意的数字式。分析与解：例 3 是从个位着手分析，而这里就只能从首位着手分析。由一个四位数减去一个三位数的差是三位数知，炮1。被减数与减数的百位数一样，其相减又是退位相减，所以，马9。至此，我们已得到下式：由上式知，个位上的运算也是退位减法，由 11-车=9 得到车2。因此，符合题意的数字式为：例 5 在右边的竖式中，巧，填，式，谜分别代

15、表不同的数字，它们各等于多少？解：由(4谜)的个位数是 0 知，谜0 或 5。当谜0 时，(3式)的个位数是 0，推知式0，与谜式矛盾。当谜5 时，个位向十位进 2。由(3式+2)的个位数是 0 知，式6，且十位要向百位进 2。由(2填+2)的个位数是 0，且不能向千位进 2 知，填4。最后推知，巧1。所以巧1，填4，式=6，谜5。练习 3 1.在以下各竖式的中填上适当的数字，使竖式成立：2.以下各竖式中，里的数字被遮盖住了，求各竖式中被盖住的各数字的和：3.在以下各竖式的中填入适宜的数字，使竖式成立：4.下式中不同的汉字代表19 中不同的数字，一样的汉字代表一样的数字。这个竖式的和是多少？5

16、.在以下各竖式的中填入适宜的数字，使竖式成立：答案与提示练习 3 1.(1)764265=1029；(2)981959=1940；(3)99 9031002；(4)9897 9231118。2.(1)28；(2)75。3.(1)23004-185014503；(2)1056-98967；(3)24883-16789=8094；(4)9123-7684=1439。4.987654321。5.提示：先解上层数谜，再解下层数谜。第 4 讲 竖式数字谜(二)本讲只限于乘数、除数是一位数的乘、除法竖式数字谜问题。掌握好乘、除法的根本运算规则(第 2 讲的公式(3)(4)及推演出的变形式子)是解乘、除法竖

17、式谜的根底。根据题目构造形式，通过综合观察、分析，找出突破口是解题的关键。例 1 在左下乘法竖式的中填入适宜的数字，使竖式成立。分析与解：由于积的个位数是 5，所以在乘数和被乘数的个位数中，一个是 5，另一个是奇数。因为乘积大于被乘数的 7倍，所以乘数是大于7 的奇数，即只能是 9(这是问题的突破口)，被乘数的个位数是 5。因为 797089，所以，被乘数的百位数字只能是 7。至此，求出被乘数是 785，乘数是 9(见右上式)。例 2 在右边乘法竖式的里填入适宜的数字，使竖式成立。分析与解：由于乘积的数字不全，特别是不知道乘积的个位数，我们只能从最高位入手分析。乘积的最高两位数是2，被乘数的最

18、高位是 3，由 可以确定乘数的大致围，乘数只可能是 6，7，8，9。到底是哪一个呢？我们只能逐一进展试算：(1)假设乘数为 6，则积的个位填 2，并向十位进 4，此时，乘数 6 与被乘数的十位上的数字相乘之积的个位数只能是 5(因 4+5=9)。这样一来，被乘数的十位上就无数可填了。这说明乘数不能是 6。.(2)假设乘数为 7，则积的个位填 9，并向十位进 4。与(1)分析一样，为使积的十位是 9，被乘数的十位只能填5，从而积的百位填 4。得到符合题意的填法如右式。(3)假设乘数为 8，则积的个位填 6，并向十位进 5。为使积的十位是 9，被乘数的十位只能填 3 或 8。当被乘数的十位填 3

19、时，得到符合题意的填法如右式。当被乘数的十位填 8 时，积的最高两位为 3，不合题意。(4)假设乘数为 9，则积的个位填 3，并向十位进 6。为使积的十位是 9，被乘数的十位只能填 7。而此时，积的最高两位是 3，不合题意。综上知，符合题意的填法有上面两种。除法竖式数字谜问题的解法与乘法情形类似。例 3 在左下边除法竖式的中填入适当的数，使竖式成立。分析与解：由 488=6 即 86=48 知，商的百位填 6，且被除数的千位、百位分别填 4，8。又显然，被除数的十位填 1。由 1=商的个位8 知，两位数 1能被 8 除尽，只有 168=2，推知被除数的个位填 6，商的个位填 2。填法如右上式。

20、例 3 是从最高位数入手分析而得出解的。例 4 在右边除法竖式的中填入适宜的数字。使竖式成立。分析与解：从的几个数入手分析。首先，由于余数是 5，推知除数5，且被除数个位填 5。由于商 4 时是除尽了的，所以，被除数的十位应填2，且由于 34=12，84=32，推知，除数必为 3 或 8。由于已经知道除数 5，故除数=8。(这是关键！)从 84=32 知，被除数的百位应填 3，且商的百位应填 0。从除数为 8，第一步除法又出现了 4，88=64，83=24，这说明商的千位只能填 8 或 3。试算知，8 和 3都可以。所以，此题有下面两种填法。练习 4 1.在以下各竖式的里填上适宜的数：2.在右

21、式中，我、爱、数、学分别代表什么数时，乘法竖式成立？3.我、们、爱、祖、国各代表一个不同的数字，它 们各等于多少时，右边的乘法竖式成立？4.在以下各除法竖式的里填上适宜的数，使竖式成立：5.在下式的里填上适宜的数。答案与提示练习 4 1.(1)7865755055；(2)2379 8=19032 或 7379 8=59032。2.我5，爱=1，数=7，学=2。3.我、们、爱、祖、国分别代表 8，7，9，1，2。4.(1)56077=801；(2)8223=274。5.第 5 讲 找规律(一)这一讲我们先介绍什么是数列，然后讲如何发现和寻找数列的规律。按一定次序排列的一列数就叫数列。例如，(1)

22、1，2，3，4，5，6，(2)1，2，4，8，16，32；(3)1，0，0，1，0，0，1，(4)1，1，2，3，5，8，13。一个数列中从左至右的第 n 个数，称为这个数列的第 n 项。如，数列(1)的第 3 项是 3，数列(2)的第 3 项是 4。一般地，我们将数列的第n 项记作 an。数列中的数可以是有限多个，如数列(2)(4)，也可以是无限多个，如数列(1)(3)。许多数列中的数是按一定规律排列的，我们这一讲就是讲如何发现这些规律。数列(1)是按照自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列，其规律是：后项=前项+1，或第 n 项 ann。数列(2)的规律是：后项=前项2，或第 n 项

23、 数列(3)的规律是：1，0，0”周而复始地出现。数列(4)的规律是：从第三项起，每项等于它前面两项的和，即 a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+35，a6=3+5=8，a7=5+8=13。常见的较简单的数列规律有这样几类：第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关。例如数列(1)(2)。第二类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可找到规律。例如数列(3)(4)。第三类是数列本身要与其他数列比照才能发现其规律。这类情形稍为复杂些，我们用后面的例3、例 4 来作一些说明。例 1 找出以下各数列的规律，并按其规律在()填上适宜的数：(1)4，7，10，13，()，(2)84，

24、72，60，()，()；(3)2，6，18，()，()，(4)625，125，25，()，()；(5)1，4，9，16，()，(6)2，6，12，20，()，()，解：通过对的几个数的前后两项的观察、分析，可发现.(1)的规律是：前项+3=后项。所以应填 16。(2)的规律是：前项-12=后项。所以应填 48，36。(3)的规律是：前项3=后项。所以应填 54，162。(4)的规律是：前项5=后项。所以应填 5，1。(5)的规律是：数列各项依次为 1=11，4=22，9=33，16=44，所以应填 55=25。(6)的规律是：数列各项依次为 2=12，6=23，12=34，20=45，所以，应

25、填 56=30，67=42。说明：本例中各数列的每一项都只与它的项数有关，因此 an可以用 n 来表示。各数列的第 n 项分别可以表示为(1)an3n+1；(2)an96-12n；(3)an23n-1；(4)an55-n；(5)ann2；(6)ann(n+1)。这样表示的好处在于，如果求第 100 项等于几，则不用一项一项地计算，直接就可以算出来，比方数列(1)的第 100 项等于 3100+1=301。本例中，数列(2)(4)只有 5 项，当然没有必要计算大于 5 的项数了。例 2 找出以下各数列的规律，并按其规律在()填上适宜的数：(1)1，2，2，3，3，4，()，()；(2)()，()

26、，10，5，12，6，14，7；(3)3，7，10，17，27，()；(4)1，2，2，4，8，32，()。解：通过对各数列的几个数的观察分析可得其规律。(1)把数列每两项分为一组，1，2，2，3，3，4，不难发现其规律是：前一组每个数加 1 得到后一组数，所以应填 4，5。(2)把后面的六个数分成三组：10，5，12，6，14，7，每组中两数的商都是 2，且由 5，6，7 的次序知，应填 8，4。(3)这个数列的规律是：前面两项的和等于后面一项，故应填(17+27=)44。(4)这个数列的规律是：前面两项的乘积等于后面一项，故应填(832=)256。例 3 找出以下各数列的规律，并按其规律在

27、()填上适宜的数：(1)18，20，24，30，()；(2)11，12，14，18，26，()；(3)2，5，11，23，47，()，()。解：(1)因 20-18=2，24-20=4，30-24=6，说明(后项-前项)组成一新数列 2，4，6，其规律是依次加 2，因为 6 后面是 8，所以，a5-a4=a5-30=8，故 a5=8+30=38。(2)12-11=1，14-12=2，18-14=4，26-18=8，组成一新数列 1，2，4，8，按此规律，8 后面为 16。因此，a6-a5a6-26=16，故 a616+26=42。(3)观察数列前、后项的关系，后项=前项2+1，所以 a6=2a

28、5+1247+195，a72a6+1295+1=191。例 4 找出以下各数列的规律，并按其规律在()填上适宜的数：(1)12，15，17，30，22，45，()，()；(2)2，8，5，6，8，4，()，()。解：(1)数列的第 1，3，5，项组成一个新数列 12，17，22，其规律是依次加 5，22 后面的项就是 27；数列的第 2，4，6，项组成一个新数列15，30，45，其规律是依次加 15，45 后面的项就是 60。故应填 27，60。(2)如(1)分析，由奇数项组成的新数列 2，5，8，中，8 后面的数应为 11；由偶数项组成的新数列 8，6，4，中，4 后面的数应为 2。故应填

29、11，2。练习 5 按其规律在以下各数列的()填数。1.56，49，42，35，()。2.11，15，19，23，()，3.3，6，12，24，()。4.2，3，5，9，17，()，5.1，3，4，7，11，()。6.1，3，7，13，21，()。7.3，5，3，10，3，15，()，()。8.8，3，9，4，10，5，()，()。9.2，5，10，17，26，()。10.15，21，18，19，21，17，()，()。11.数列 1，3，5，7，11，13，15，17。(1)如果其中缺少一个数，则这个数是几？应补在何处？(2)如果其中多了一个数，则这个数是几？为什么？答案与提示练习 5 1.

30、28。2.27。3.48。4.33。提示：后项-前项依次为 1，2，4，8，16，5.18。提示：后项等于前两项之和。6.31。提示：后项-前项依次为 2，4，6，8，10。7.3，20。8.11，6。9.37。提示：an=n2+1。10.24，15。提示：奇数项为 15，18，21，24；偶数项为 21，19，17，15。.11.(1)缺 9，在 7 与 11 之间；(2)多 15，因为除 15以外都不是合数。第 6 讲 找规律(二)这一讲主要介绍如何发现和寻找图形、数表的变化规律。例 1 观察以下图形的变化规律，并按照这个规律将第四个图形补充完整。分析与解：观察前三个图，从左至右，黑点数依

31、次为 4，3，2 个，并且每个图形依次按逆时针方向旋转 90，所以第四个图如右图所示。观察图形的变化，主要从各图形的形状、方向、数量、大小及各组成局部的相对位置入手，从中找出变化规律。例 2 在以下各组图形中寻找规律，并按此规律在？处填上适宜的数：解：(1)观察前两个图形中的数可知，大圆圈的数等于三个小圆圈的数的乘积的一半，故 第三个图形中的？=5382=60；第四个图形中的？=(212)32=7。(2)观察前两个图形中的数，发现有 10=8+5-3，8=7+4-3，即三角形里面的数的和减去三角形外面的数就是中间小圆圈的数。故 第三个图形中的？=12+1-5=8；第四个图形中的？=7+1-5=

32、3。例 3 寻找规律填数：解：(1)考察上、下两数的差。32-16=16，31-15=16，33-17=16，可知，上面那个？=35-16=19，下面那个？=18+16=34。(2)从左至右，一上一下地看，由 1，3，5，？，9，知，12 下面的？=7；一下一上看，由 6，8，10，12，？，知，9 下面的？=14。例 4 寻找规律在空格填数：解：(1)因为前两图中的三个数满足：256=464，72=612，所以，第三图中空格应填1215=180；第四图中空格应填 16913=13。第五图中空格应填 2247=32。(2)图中下面一行的数都是上一行对应数的 3 倍，故 43下面应填 433=1

33、29；87 上面应填 873=29。例 5 在以下表格中寻找规律，并求出？：解：(1)观察每行中两边的数与中间的数的关系，发现3+8=11，4+2=6，所以，？=5+7=12。(2)观察每列中三数的关系，发现 1+32=7，7+22=11，所以，？=4+52=14。例 6 寻找规律填数：(1)(2)解：(1)观察其规律知(2)观察其规律知：观察比拟图形、图表、数列的变化，并能从图形、数量间的关系中发现规律，这种能力对于同学们今后的学习将大有益处。练习 6 寻找规律填数：6.以下图中第 50 个图形是还是？答案与提示 练习 6 1.5。提示：中间数=两腰数之和底边数。2.45；1。提示：中间数=

34、周围三数之和3。3.(1)13。提示：中间数等于两边数之和。(2)20。提示：每行的三个数都成等差数列。4.横行依次为 60，65，70，75，325；竖行依次为 40，65，90，115，325。5.14。提示：(23 5)2=14。6.。7.714285；857142。8.8888886；98765439。9.36。提示：等于加式中心数的平方。第 7 讲 加减法应用题 用数学方法解决人们生活和工作中的实际问题就产生了通常所说的应用题。应用题由的条件和未知的问题两局部构成，而且给出的条件应能保证求出未知的问题。这一讲主要介绍利用加、减法解答的简单应用题。例 1 小玲家养了 46 只鸭子，24

35、 只鸡，养的鸡和鹅的总只数比养的鸭多 5 只。小玲家养了多少只鹅？解：将条件表示为以下图：表示为算式是：24+？=46+5。由此可求得养鹅 (46+5)-24=27(只)。答：养鹅 27 只。假设例 1 中鸡和鹅的总数比鸭少5 只(其它不变)，则条件可表示为以下图，表示为算式是：24+？+5=46。由此可求得养鹅 46-5-24=17(只)。例 2 一个筐里装着 52 个苹果，另一个筐里装着一些梨。如果从梨筐里取走 18 个梨，则梨就比苹果少12 个。原来梨筐里有多少个梨？分析：根据条件，将各种数量关系表示为以下图。有几种思考方法：(1)根据取走 18 个梨后，梨比苹果少 12 个，先求出梨筐

36、里现有梨 52-12=40(个)，再求出原有梨 (52-12)+18=58(个)。.(2)根据取走 18 个梨后梨比苹果少 12 个，我们设想少取 12 个梨，则现有的梨和苹果一样多，都是52 个。这样就可先求出原有梨比苹果多18-126(个)，再求出原有梨 52+(18-12)=58(个)。(3)根据取走 18 个梨后梨比苹果少 12 个，我们设想不取走梨，只在苹果筐里参加18 个苹果，这时有苹果 52+18=70(个)。这样一来，现有苹果就比原来的梨多了 12 个(见以下图)。由此可求出原有梨(52+18)-12=58(个)。由上面三种不同角度的分析，得到如下三种解法。解法 1：(52-1

37、2)+18=58(个)。解法 2：52+(18-12)=58(个)。解法 3：(52+18)-12=58(个)。答：原来梨筐中有 58 个梨。例 3*校三年级一班为欢送手拉手小朋友们的到来，买了假设干糖果。水果糖比小白兔软糖多 15 块，巧克力糖比水果糖多 28 块。又知巧克力糖的块数恰好是小白兔软糖块数的 2 倍。三年级一班共买了多少块糖果？分析与解：只要求出*一种糖的块数，就可以根据条件得到其它两种糖的块数，总共买多少就可求出。先求出哪一种糖的块数最简便呢？我们先把条件表示为以下图。由上图可求出，小白兔软糖块数=15+28=43(块)，水果糖块数=43+15=58(块)，巧克力糖块数=43

38、2=86(块)。糖果总数=43+58+86=187(块)。答:共买了 187 块糖果。例 4 一口枯井深 230 厘米，一只蜗牛要从井底爬到井口处。它每天白天向上爬 110 厘米，而夜晚却要向下滑 70厘米。这只蜗牛哪一个白天才能爬出井口？分析与解：因蜗牛最后一个白天要向上爬 110 厘米，井深 230 厘米减去这 110 厘米后(等于 120 厘米)，就是蜗牛前几天一共要向上爬的路程。因为蜗牛白天向上爬 110 厘米，而夜晚又向下滑 70厘米，所以它每天向上爬 110-70=40(厘米)。由于 12040=3，所以，120 厘米是蜗牛前 3 天一共爬的。故第 4 个白天蜗牛才能爬到井口。假设

39、将例 4 中枯井深改为 240 厘米，其它数字不变，这只蜗牛在哪个白天才能爬出井口？(第 5 个白天)练习 7 1.甲、乙、丙三人原各有桃子假设干个。甲给乙2个，乙给丙 3 个，丙又给甲 5 个后，三人都有桃子 9 个。甲、乙、丙三人原来各有桃子多少个？2.三座桥，第一座长 287 米，第二座比第一座长 85米，第三座比第一座与第二座的总长短 142 米。第三座桥长多少米？3.(1)幼儿园小班有巧克力糖 40 块，还有一些奶糖。分给小朋友奶糖 24 块后，奶糖就比巧克力糖少了 10 块。原有奶糖多少块？(2)幼儿园中班有巧克力糖 48 块，还有一些奶糖。分给小朋友奶糖 26 块后，奶糖就只比巧

40、克力糖多 18 块。原有奶糖多少块？4.一桶柴油连桶称重 120 千克，用去一半柴油后，连桶称还重 65 千克。这桶里有多少千克柴油？空桶重多少？5.一只蜗牛从一个枯水井底面向井口处爬，白天向上爬110 厘米，而夜晚向下滑 40 厘米，第 5 天白天完毕时，蜗牛到达井口处。这个枯水井有多深？假设第 5 天白天爬到井口处，这口井至少有多少厘米深？(厘米以下的长度不计)6.在一条直线上，A 点在 B 点的左边 20 毫米处，C点在 D 点左边 50 毫米处，D 点在 B 点右边 40 毫米处。写出这四点从左到右的次序。7.(1)五个不同的数的和为 172，这些数中最小的数为 32，最大的数可以是多

41、少？(2)六个不同的数的和为 356，这些数中，最大的是68，最小的数可以是多少？答案与提示练习 7 1.甲 6 个，乙 10 个，丙 11 个。2.517 米。解：287(287 85)-142=517(米)。3.(1)54 块；(2)92 块。解：(1)40-10 24=54(块)；(2)481826=92(块)。4.110 千克，10 千克。解：柴油=(1265)2 110(千克)，空桶=120-110=10(千克)。5.390 厘米；321 厘米。解：(110-40)4110=390(厘米)；(110-40)3 1101=321(厘米)。6.A，C，B，D。解：如右图所示。7.(1)3

42、8；(2)26。解：(1)172-(32 33 34 35)38；(2)356-(68 67 66 65 64)26 第 8 讲 乘除法应用题 本讲向同学们介绍如何利用乘、除法解答简单应用题。用乘、除法解应用题，首先要明确下面几个关系，然后根据应用题中的条件，利用这些数量关系求解。被乘数乘数=乘积，一样数个数=总数，小数倍数=大数，被除数除数=商，被除数商=除数，被除数除数=(不完全)商余数。.例 1 学校开运动会，三年级有 86 人报名参加单项比赛，其他年级参加单项比赛的人数是三年级的4 倍少 5 人。全校参加单项比赛的人数有多少人？分析：先求出其他年级参赛人数，864-5339(人)，再加

43、上三年级参赛人数，就可求出全校参赛人数。解：(864-5)86425(人)。答：全校参赛 425 人。此题中全校参赛人数也可以看成是三年级参赛人数的 5 倍少 5 人，所以可列式为 865-5425(人)。例 2 有 5 只猴子，其中 2 只各摘了 7 个桃子，另外 3 只各摘了 12 个桃子。把所有摘下的桃子平均分给这 5 只猴子，每只猴子能分到多少个桃子？解：共摘桃子 7212350(个)，平均每只猴可分 50510(个)。综合算式(72123)510(个)。答：每只猴子能分到 10 个桃。例 3 小白兔上山采摘了许多蘑菇。它把这些蘑菇先平均分成 4 堆，3 堆送给它的小朋友，自己留一堆。

44、后来它又把留下的这一堆平均分成3 堆，两堆送给别的小白兔，一堆自己吃。自己吃的这一堆有5 个。它共采摘了多少个蘑菇？分析：我们从后向前分析。当分成 3 堆时，共有 5315(个)，这是分成 4 堆时每一堆的个数。所以，分成4 堆时，共有 15460(个)。解：(53)4154=60(个)。答：共摘了 60 个蘑菇。例 4 小雨到奶奶家。如果来回都乘车，则路上要用20分钟。如果去时乘车，回来时步行，则一共要用 50 分钟。小雨步行回来用多少时间？分析：来回都乘车用 20 分，所以乘车单程所用的时间是 202=10(分)。去时乘车回来时步行共用50 分，减掉去时乘车用的 10 分，回来时步行用了

45、50-1040(分)。解：50-202=40(分)。答：步行回来用 40 分钟。例 5 师徒二人加工同样的机器零件。师傅加工的个数是徒弟的 4 倍，其个数比徒弟多 54 个。师徒二人这天各加工了多少个零件？分析：如以下图所示，把徒弟加工的个数看成1份，师傅加工的就是4 份，因而师傅比徒弟多(4-1)份。由上图可求得 1 份为 54(4-1)=18(个)，由此可求出师徒二人各加工了多少个零件。解：徒弟加工了 54(4-1)=18(个)，师傅加工了 18472(个)。答：徒弟加工了 18 个，师傅加工了 72 个。解这类题的关键是分析出54是如何多出来的，即弄明白用倍数-1来除它，所得的数代表什么

46、。例 6 工厂装配四轮推车，1 个车身要配 4 个车轮。现在有 40 个车身，70 个车轮。问：装配出多少辆四轮推车后，剩下的车身和车轮的数量相等？分析：1 个车身配 4 个车轮，即每装配出一辆四轮推车，用的车轮数比车身数多 4-1=3(个)。现在车轮比车身多 70-4030(个)，要把这 30 个车轮消耗掉，需装配 30310(辆)四轮车。解：(70-40)(4-1)10(辆)。答：需装配出 10 辆四轮推车。练习 8 1.*项工作 3 人做需要 3 个星期又 3 天，中间无休息日，则，1 人单独做这项工作需要多少天？2.贺林家养鸡的只数是鹅的只数的6 倍，鸭比鹅多8 只，鸭有 15 只。贺

47、林家养了多少只鸡？3.小敏买了一本书和一包糖。买一本书用了3 元 6角，买糖用的钱数是买书所用钱数的5 倍。她带去的 50元钱还剩多少？4.小峰去教师家看望教师。如果往返都骑自行车，则在路上要用 1 时 20 分。如果去时骑自行车，回来时步行，则一共要用 2 时 30 分。小峰步行回来用多少时间？5.4 元钱能买西瓜 8 千克，10 元钱能买多少西瓜？6.小兰有 24 本书，小玲有 18 本书。小兰要给小玲几本书，两人的书才一样多？7.小红与小光买拼音本。小红买了 12 本，小光买了8 本。小红比小光多用 2 元 4 角钱。每本多少钱？8.甲、乙两辆汽车分别从同一车站出发，沿相反方向开去，3

48、时共行 360 千米。甲的速度是乙的速度的 2倍。甲、乙的速度各是多少？9.甲、乙两个粮库共存粮150 吨。甲库运出 40 吨，乙库运入 10 吨，这时甲库存粮是乙库存粮的2 倍。甲、乙粮库原来存粮各多少？答案与提示练习 8 1.72 天。解：3(733)=32472(天)。2.42 只。解：(15-8)642(只)。3.28 元 4 角。解：50036365284(角)28 元 4 角，或 50036(51)284(角)28 元 4 角。4.1 时 50 分。解：(60230)(6020)2110(分)1 时 50 分。5.20 千克。解：(84)10=20(千克)。6.3 本。解：(24-

49、18)2=3(本)。7.6 角。解：24(12-8)=6(角)。8.甲 80 千米/时，乙 40 千米/时。解：乙 3603(21)=40(千米/时)，甲 402=80(千米/时)。.9.甲 120 吨，乙 30 吨。解：乙库原有(150-4010)(21)-1030(吨)，甲库原有 150-30=120(吨)。第 9 讲 平均数 把一个(总)数平均分成几个相等的数，相等的数的数值就叫做这个(总)数的平均数。例如，24 平均分成四个数：6，6，6，6，数 6 就叫做 24 分成四份的平均数。又如，24 平均分成六个数：4，4，4，4，4，4，数 4 就叫做 24 分成六份的平均数。由此可见，平

50、均数是相对于总数和分成的份数而言的。知道了被均分的总数和均分的份数，就可以求出平均数：总数份数=平均数。平均数这个数学概念在我们的日常生活和工作中经常用到。例如，*次考试全班同学的平均成绩，几件货物的平均重量，*辆汽车行驶*段路程的平均速度等等，都是我们经常碰到的求平均数的问题。根据求平均数的一般公式可以得到它们的计算方法：全班同学的总成绩全班同学人数=平均成绩，几件货物的总重量货物件数=平均重量，一辆汽车行驶的路程所用的时间=平均速度。我们在上一讲的例 2 中，已经接触到求平均数的应用题，下面再举一些例子来说明有关平均数应用问题的解法。例 1 一小组六个同学在*次数学考试中，分别为 98 分