三角形培优训练100题集锦(学生用).pdf

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1、.整理版 三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。【常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线

2、，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解

3、答。1、已知，如图ABC中，5AB，3AC，求中线AD的取值范围。分析：本题的关键是如何把AB，AC，AD三条线段转化到同一个三角形当中。解:延长AD到E，使DADE，连接BE 又CDBD，CDABDE SASCDABDE，3 ACBE BEABAEBEAB(三角形三边关系定理)即822AD 41 AD 2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DFDE，D是中点，试比较CFBE 与EF的大小。证明：延长FD到点G，使DFDG，连接BG、EG E C A B D.整理版 CDBD，DGFD，CDFBDG CDFBDG CFBG DFDE EGEF 在BEG中，EGBGBE CFBG，EGE

4、F EFCFBE 3、如图，ABC中，ACDCBD，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.证明方法一：利用相似论证。证明：ACDCBD BCAC21 E是DC中点 ACDCEC2121，BCAACE BCAACE CAEABC DCAC DACADC，BADABCADC CAEDAEBADABC DAEBAD 即AD平分BAE 证明方法二：利用全等论证。证明：延长AE到M，使AEEM，连结DM 易证CEADEM MDEC，DMAC 又ACDCBD DMBD，CADADC 又CADCADB，ADCMDEADM ADBADM ADBADM DAEBAD 即AD平分BAE 4、以ABC的两边AB、A

5、C为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，90CAEBAD，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点。探究：AM与DE的位置关系及数量关系。E C A B D G F E C A B D M E C A B D.整理版 图 1 M N C A B D N E C A B D M 图 2（1）如图 1 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；（2）将图 1 中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转（900）后，如图 2 所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由。解：（1）AMED2，EDAM；证明：延长AM到G，使AMMG，连BG，则AB

6、GC是平行四边形 BGAC，180BACABG 又180BACDAE DAEABG 再证：ABGDAE AMDE2，EDABAG 延长MN交DE于H 90DAHBAG 90DAHHDA EDAM （2）结论仍然成立 证明：如图，延长CA至 F，使FAAC，FA交DE于点P，并连接BF BADA，AFEA EADDAFBAF90 在FAB和EAD中 DABAEADBAFAEFA EADFAB（SAS）DEBF，AENF 90AENAPEFFPD DEFB 又AFCA，MBCM FBAM/，且FBAM21 DEAM，DEAM21 G C H A B D M N E F C P A B D M N

7、E.整理版 5、如图，ABC中，ACAB2，AD平分BAC，且BDAD，求证：ACCD 证明：过D作ABDM，垂足为M 90BMDAMD 又BDAD，DMDM BDMADM BMAM ACAB2 AMAC AD平分BAC CADBAD 在ADC和ADM中 AMAC，CADBAD，ADAD ADCADM 90ADMACD 即:ACCD 6、如图，BDAC/，EA，EB分别平分CAB，DBA，CD过点E，求证：BDACAB 证明：在AB上截取ACAF，连接EF 在CAE和FAE中 AEAEFAECAEAFAC FAECAE FEACEA 90FEBFEABEDCEA 即DEBFEB 在DEB和FE

8、B中 DBEFBEBEBEDEBFEB FEBDEB（ASA）BFBD BDACBFAFAB 7、如图，已知在ABC内，60BAC，40C，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BPABAQBQ 证明：延长AB到D，使BPBD，连接PD则5D M C A B D F E D A B C.整理版 AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线，60BAC，40C 3021，804060180ABC，C4043 QCQB 又80435D 40D 在APD与APC中 APAP，21，40CD APCAPD（AAS）ACAD 即QCAQBDAB BPABAQBQ 8、

9、如图，在四边形ABCD中，BABC，CDAD，BD平分ABC.求证：180CA 解：过点D作BCDE 于E，过点D作ABDF 交BA的延长线于F BD平分ABC DFDE，90DEBF 在CDERt和ADFRt中 DFDECDAD CDERtADFRt（HL）CFAD 180FADBADCBAD 9、如图，在ABC中，ACAB，CADBAD，P为AD上任意一点。求证：PCPBACAB 证明：如图，在AB上截取AE，使ACAE，连接PE 在AEP和ACP中 APAPCADBADACAE ACPAEP（SAS）PCPE 在PBE中，PEPBBE，即PCPBACAB 4 5 2 3D Q P C A

10、 B 1 E F D C A B E D A P C B.整理版 10、在四边形ABCD中，BCAD/，点E是AB上一个动点，若60B，BCAB，且60DEC，判断AEAD 与BC的关系并证明你的结论。分析：此题连接AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。解：有AEADBC 连接AC，过E作BCEF/并AC于F点 则可证AEF为等边三角形 即EFAE，60AFEAEF 120CFE 又BCAD/，60B 120BAD 又60DEC FECAED 在ADE与FCE中 CFEEAD，EFAE，FECAED FCEADE FCAD

11、 AEADBC 点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决。11、如图D为ABC的角平分线，直线ADMN 于A.E为MN上一点，ABC周长记为AP，EBC周长记为BP.求证：ABPP.证明：延长BA到F，使ACAF,连接EF AD为ABC的角平分线 CADBAD ADMN CAECADBADFAE9090 ACAF，AEAE ACEAFE ECEF BFEFBE ACABAFABECBE BC+BE+CEAB+AC+BCBCACABBCECBE ABC的周长小于EBC的周长，即ABPP 12、已知：ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中

12、BA=BC，DA=DE，联结EC，D E A C B D E A C B F F N M D E A C B.整理版 取EC的中点M，联结BM和DM（1）如图 1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是 ；（2）将图 1 中的ADE绕点A旋转到图 2 的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由 解：（1）BM=DM且BMDM 2 分（2）成立 3 分 理由如下：延长DM至点F，使MF=MD，联结CF、BF、BD 易证EMDCMF4 分 ED=CF，DEM=1 AB=BC，AD=DE，且ADE=ABC=90，2=3=45,4=5=45 BAD=2+4+6

13、=90+6 8=360-5-7-1，7=180-6-9，8=360-45-（180-6-9）-（3+9）=360-45-180+6+9-45-9=90+6 8=BAD 又AD=CF ABDCBF BD=BF，ABD=CBF DBF=ABC=90 MF=MD，BM=DM且BMDM 13、如图，已知在ABC中，60B，ABC的角平分线AD，CE相交于点O.求证：ODOE 证明：在AC上取点F，使AEAF，连接OF AD是A的平分线 FAOEAO F O D E A C B DCBAEMMEABCD9.整理版 AOAO AFOAEO FOEO，AOFAOE CE是C的平分线 FCODCO 60B 1

14、20ACBBAC OCACAOCOD6021ACBBAC 606060180180AOFCODCOF CODCOF OCOC OCFOCD OFOD CDAECFAFAC，ODOE 即：CDAEAC 14、如图，ABC中，AD平分BAC，BCDG 且平分BC，ABDE 于E，ACDF 于F.（1）说明CFBE 的理由；（2）如果aAB，bAC，求AE、BE的长。（1）证明:连接DB，DC BCDG 且平分BC DCDB ABDE，ACDF，AD平分BAC DFDE DFCRtDEBRt CFBE （2）解:DFDE，ADAD AFDRtAEDRt AFAE AEAFAECFAFBEAEACAB

15、2，即AEba2，2baAE BECFAFBEAEACAB2 BEba2，2baBE 15、如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，60B，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；G F D E A C B.整理版 O P A M N E B C D F A C E F B D 图 图 图（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请

16、证明；若不成立，请说明理由。解：（1）FE与FD之间的数量关系为FDFE （2）答：（1）中的结论FDFE 仍然成立。证法一：如图 1，在AC上截取AEAG，连结FG 21，AF为公共边，AGFAEF AFGAFE，FGFE 60B，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线 6032 60AFGCFDAFE 60CFG 43及FC为公共边 CFDCFG FDFG FDFE 证法二：如图 2，过点F分别作ABFG 于点G，BCFH 于点H 60B，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线 可得6032，F是ABC的内心 160GEF，FGFH 又1BHDF HDFGEF 可证DHFEGF FDFE

17、16、正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，EFDFBE，求EAF的度数。解：将ADF绕点A顺时针旋转90，至ABG EFBEDFBEGBGE 又AEAE，AGAF AEGAEF F B E A C D 图 1 2 1 4 3 G F B E A C D 图 2 2 1 4 3 H G G F D E A C B.整理版 DAFBAEGABBAEGAEEAF 又90DAFBAEEAF 45EAF 17、D为等腰ABCRt斜边AB的中点，DNDM，DM，DN分别交BC，CA于点E，F。（1）当MDN绕点D转动时，求证：DFDE；（2）若2AB，求四边形DECF的面积。分析：（1）

18、连CD，根据等腰直角三角形的性质得到CD平分ACB，ABCD，45A，DACD，则45BCD，90CDA，由DNDM 得90EDF，根据等角的余角相等得到ADFCDE，根据全等三角形的判定易得ADFDCE，即可得到结论；（2）由ADFDCE，则ADFDCESS，于是四边形DECF的面积ACDS，由而2AB可得1 DACD，根据三角形的面积公式易求得ACDS，从而得到四边形DECF的面积。解：（1）连CD，如图，D为等腰ABCRt斜边AB的中点 CD平分ACB，ABCD，45A，DACD 45BCD，90CDA DNDM 90EDF ADFCDE 在DCE和ADF中 ADFCDEDADCDAFD

19、CE ADFDCE DFDE （2）ADFDCE ADFDCESS 四边形DECF的面积ACDS 而2AB 1 DACD 四边形DECF的面积2121DACDSACD 点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质。18、如图，ABC是边长为 3 的等边三角形，BDC是等腰三角形，且120BDC，以N M F D E A C B.整理版 图 1 A B C D E F M N A B C D E F M N 图 2 F E A N M D C B 图 3 D为顶点做一个6

20、0角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求AMN的周长。解：BDC是等腰三角形，且120BDC 30DBCBCD ABC是边长为 3 的等边三角形 60BCABACABC 90DCADBA 顺时针旋转BDM使DB与DC重合 在DMN和NMD中 DNDNMNDMDNMDDM60 MDNDNM BMNCNMMN 6ACABANBMNCMNANAM AMN的周长为 6 19、已知四边形ABCD中，ADAB，CDBC，BCAB，120ABC，60MBN，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC（或它们的延长线）于E、F（1）当MBN绕B点旋转到CFAE 时（如图 1），易证EFCFA

21、E（2）当MBN绕B点旋转到CFAE 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。解：（1）ADAB，CDBC，BCAB，CFAE CBFABE（SAS）；CBFABE，BFBE 120ABC，60MBN 30CBFABE，BEF为等边三角形 BFEFBE，BEAECF21 EFBECFAE（2）图 2 成立，图 3 不成立。证明图 2，延长DC至点K，使AECK，连接BK M A N M D C B.整理版 则BCKBAE BKBE，KBCABE 60FBE，120ABC 60ABEF

22、BC 60KBCFBC 60FBEKBF EBFKBF EFKF EFCFKC 即EFCFAE 图 3 不成立，AE、CF、EF的关系是EFCFAE 20、已知:2PA，4PB，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧。（1）如图，当45APB时，求AB及PD的长；（2）当APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应APB的大小。分析：（1）作辅助线，过点A作PBAE 于点E，在PAERt中，已知APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在ABERt中，根据勾股定理可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将PAD绕点A

23、顺时针旋转90得到ABP，可得ABPPAD，求PD长即为求BP的长，在PAPRt中，可将PP 的值求出，在BPPRt中，根据勾股定理可将BP的值求出；解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在AEGRt中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在PFGRt中，可求出PF，在PDFRt中，根据勾股定理可将PD的值求出；（2）将PAD绕点A顺时针旋转90，得到ABP，PD的最大值即为BP的最大值，故当P、P、B 三点共线时，BP取得最大值，根据PBPPBP可求BP的最大值，此时135180PAPAPB 解：（1）如图，作PBAE 于点E PAERt中，45APB，2PA

24、1222 PEAE 4PB 3PEPBBE 在ABERt中，90AEB 1022BEAEAB 解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将将PAD绕点A顺时针旋转90得到ABP，可得ABPPAD，BPPD，APPA 90PPA，45PAP，90PBP 2PP，2PA K A B C D E F M N 图 2 E P A D C B P P A C B D E.整理版 图 1 N M A D C B 图 2 N M A D C B 图 3 N M A D C B P P A C B D P P A C B D 52422222PBPPBPPD；解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长

25、线交于F，设DA的延长线交PB于G 在AEGRt中，可得310coscosABEAEEAGAEAG，31EG，32EGPEPG 在PFGRt中，可得510coscosABEPGFPGPGPF，1510FG 在PDFRt中，可得 523101510105102222FGAGADPFPD（2）如图所示，将PAD绕点A顺时针旋转90,得到ABP，PD的最大值，即为BP的最大值 BPP 中，PBPPBP，22PAPP，4PB且P、D两点落在直线 AB 的两侧 当P、P、B三点共线时，BP取得最大值（如图）此时6PBPPBP，即BP的最大值为 6 此时135180PAPAPB 21、在等边ABC的两边A

26、B、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且60MDN，120BDC，DCBD.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系。G F P A C B D E.整理版 图 1 N M A D C B（1）如图 1，当点M、N边AB、AC上，且DNDM 时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ；此时_LQ；（2）如图 2，点M、N边AB、AC上，且当DNDM 时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图 3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若xAN，则_Q（用x、L表示）分析：（1）

27、如果DNDM，DNMDMN，因为DCBD，那么30DCBDBC，也就有903060NCDMBD，直角三角形MBD、NCD中，因为DCBD，DNDM，根据HL定理，两三角形全等。那么NCBM，60DNCBMD，三角形NCD中，30NDC，NCDN2，在三角形DNM中，DNDM，60MDN，因此三角形DMN是个等边三角形，因此BMNCNCDNMN2，三角形AMN的周长MNANAMQ ABACABNCMBANAM2，三角形ABC的周长ABL3，因此3:2:LQ（2）如果DNDM，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。延长AC至E，使BMCE，连接DE（1）中我们已经得出，90NCDMBD，那么三

28、角形MBD和ECD中，有了一组直角，CEMB，DCBD，因此两三角形全等，那么DEDM，CDEBDM，60MDNBDCEDN 三角形MDN和EDN中，有DEDM，60MDNEDN，有一条公共边，因此两三角形全等，NEMN，至此我们把BM转换成了CE，把MN转换成了NE，因为CECNNE，因此CNBMMNQ与L的关系的求法同（1），得出的结果是一样的。（3）我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换，思路同（2）过D作MDBCDH，三角形BDM和CDH中，由（1）中已经得出的90MBDCH，我们做的角CDHBDM，CDBD，因此两三角形全等（ASA）那么CHBM，DHDM，三角形MDN和NDH中，

29、已知的条件有DHMD，一条公共边ND，要想证得两三角形全等就需要知道HDNMDN，因为MDBCDH，因此120BDCMDH，因为60MDN，那么60120NDH 60，因此NDHMDN，这样就构成了两三角形全等的条件三角形MDN和DNH就全等了那么BMACANNHNM，三角形AMN的周长BMABANMNAMANQ ABANBMACAN22因为xAN，LAB31，因此三角形AMN的周长LxQ322 解：（1）如图 1，BM、NC、MN之间的数量关系：MNNCBM；此时32LQ（2）猜想：结论仍然成立 证明：如图 2，延长AC至E，使BMCE，连接DE CDBD，且120BDC 30DCBDBC

30、又ABC是等边三角形 90NCDMBD N A.整理版 在MBD与ECD中 DCBDECDMBDCEBM ECDMBD（SAS）DEDM，CDEBDM 60MDNBDCEDN 在MDN与EDN中 DNDNEDNMDNDEDM EDNMDN（SAS）BMNCNEMN 故AMN的周长MNANAMQ ABACABNCANBMAM2 而等边ABC的周长ABL3 3232ABABLQ（3）如图 3，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若xAN，则LxQ322（用x、L表示）点评：本题考查了三角形全等的判定及性质；题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的，当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通

31、过作辅助线来构建于已知和所求条件相关的全等三角形。22、如图 2-7-1，ABC 和DCE 均是等边三角形，B、C、E 三点共线，AE 交 CD 于 G，BD 交AC 于 F。求证：AE=BD;CF=CG.思路 证明ACEBCD。证明 ABC 和DCE 都是等边三角形，CB=CA，CD=CE，BCA=ECD=，BCD=ACE=，BCDACE，AE=BD。思路 证明FCDGCE。证明 由BCDDCE 都是等边三角形可知 CD=CE，BCA=ECD=ACD=-BCA-ECD=FCDGCE，CF=CG 说明 证明两条线段相等的重要方法之一就是证明它们所在的两个三角形全等。23、如图 2-7-2，在正

32、方形 ABCD 中，M 是 AB 的中点，MNMD，BN 平分CBE。求证：MD=MN。思路：取 AD 的中点 P，连结 PM，证明DMPMNB。证明：取 AD 的中点 P，连结 PM，则有 DP=MB。H 图 3 N M A D C B.整理版 DMMN，DMA+BMN=，又由正方形 ABCD 知A=，DMA+MDA=，BMN=MDA 又 BN 平分CBE，MBN=又由 P、M 分别为 AD、AB 的中点，ABCD 是正方形，得PAM 是等腰直角三角形，故DPM=。DPM=MBN，DPMMBN，DM=MN。说明：本题中 DM 和 MN 所在的三角形不全等，这时就要考虑作出它们所在的新三角形，

33、证明这两个新三角形全等。24、如图 2-7-3，ABC 中，ABC=2C，BAC 的平分线交 BC 于 D。求证：AB+BD=AC 思路 1：延长 AB 到 E，使 BD，证明AEDACD。证法 1：延长 AB 到 E，使 BE=BD，连结 ED，则E=BDE。ABD=E+BDE=2CE 又 ABC=2C，C=E AD 平分BAC，1=2，又 AD=AD，ADEADC，AC=AE。即 AC=AB+BE=AB+BD。思路 2：在 AC 上取一点 E，使 AE=AB，证明AEDABD。证法 2：在 AC 上取点 E，使 AE=AB，连结 CD。由 AD 平分BAC 得1=2 又 AD=AD，ADB

34、ADE，AED=ABC，DE=DB，又 ABC=2C，AED=2C 又 AED=EDC+C，EDC=C，ED=EC，EC=BD，AB+BD=AE+EC+AC。说明：要证明 AB+BD=AC，一般来说有两种方法，一种方法是作出一条线段，使其长度为 AB+BD，如证法 1 就采用此法；另一种方法是把 AC 分成两部分，使其分别等于 AB、BD，如证法 2 就采用此法。25、如图 2-7-4，ABC 中，ACAB，AD 平分BAC，P 为 AD 上任一点，连结 PB、PC。求证：PC-PBAC-AB。思路：通过构造全等三角形，把 PC、PB、AC、AB 集中在同一三角形中，利用三角形两边之差小于第三

35、边这一性质来证明本题结论。证明：在 AC 上取点 E，使 AE=AB，连结 PE，由 AD 平分ABC 得1=2。又 AE=AB，AP=AP，APEAPB，PE=PB，在 EPC 中，PC-PEEC，即 PC-PBAC-AE。PC-PBAC-AB。说明：当要证明式子的线段比较分散时，常通过构造全等三角形，把相关线段集中起来，这样便于利用三角形的三边不等关系。26、如图 2-7-5，从等腰 RtABC 的直角顶点 C 向中线 BD 作垂线，交 BD 于 F，交 AB 于 E，连结 DE。求证：CDF=ADE。思路 1：作BCA 的平分线交 BD 于 G，证明CDGADE。.整理版 证法 1：作B

36、CA 的平分线交 BD 于 G，BC=AC，BCG=A=，CBG=-CDF=ACE，BCGCAE，CE=AE，CDG 和 ADE 中，CD=AD，DCE=A=，CE=AE，CDGADE，CDF=ADE，思路 2：过 A 作 ANAC，交 CE 延长线于 N，证明 ADEANE。证法 2：过 A 作 ANAC，交 CE 延长线于 N。ACN=CBD，AC=CB，RtACNRtCBD，CDF=ANE，CD=AN=AD，又 CAE=EAN=，AE=AE，ADEANE，ADE=ANE，CDF=ADE。27、在ABC 中，ACB90，ACBC，直线 MN 经过点 C，且 ADMN 于 D，BEMN 于

37、E.（1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证：ADCCEB；DEADBE；（2）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，求证：DEADBE；（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时，试问 DE、AD、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。分析：（1）ADMN BEMN ADCCEB90 DACDCA90 又ACB90 DCAECB90 DACECB ACBC ADCCEB DCBE ADCE DEDCCE BEAD （2）与（1）同理 ADCCEB CDBE ADCE DECECD ADBE （3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3

38、位置时 与（1）（2）同理可知 CEAD，BECD DECDCE BEAD.整理版 28、已知：ABC 为等边三角形，M 是 BC 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点 A，且 60 角的顶点 E 在 BC 上滑动，（点 E 不与点 B、C 重合），斜边和ACM 的平分线 CF 交于点F（1）如图（1）当点 E 在 BC 边得中点位置时（6 分）1)猜想 AE 与 EF 满足的数量关系是 。（分）2)连结点 E 与边得中点，猜想和满足的数量关系是 （分）3)请证明你的上述猜想（分）（）如图（）当点在边得任意位置时：（分）此时和有怎样的数量关系，并说明你的理由？29、已知 AC 平分MAN

39、，MAN=120，（1）在图（1）中，若ABC=ADC=90，求证：AB+AD=AC。(4 分)（2）在图（2）中，若MAN=120，ABC+ADC=180，则（1）中的结论还成立吗？若成立请你给出证明，若不成立请说明理由？（4 分）30、如图 1，在ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点BP、在直线a的异侧，BM 直线a于点M，CN 直线a于点N，连接.PMPN、（1）延长MP交CN于点E（如图 2），求证：BPMCPE；求证：PMPN；（2）若直线a绕点A旋转到图 3 的位置时，点BP、在直线a的同侧，其它条件不变.此时PMPN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理

40、由；（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断PMPN还成立吗？不必说明理由.E 图（1）NFMCBAE图（2）FMCBA图（1）CDBNMA图（2）CDBNMA.整理版 分析（1）证明：如图 2.BMQ直线a于点M，CN直线a于点N，90BMNCNM BMCNMBPECP 又PQ为BC边 中 点，.BPCP又BPMCPE Q，BPMCPE BPMCPEQ 12PMPEPMME 在RtMNE中，12PNME PMPN（2）成立.如图 3.证明：延长MP与NC的延长线相交于点E.BMQ直线a于点M，CN 直线a于点N，90180BMNCNMBMNCNM BMCNMB

41、PECP 又PQ为BC中点，BPCP 又QBPMCPE，BPMCPE 12PMPEPMME 则在RtMNE中，12PNME PMPN（3）PMPN成立.31、如图 1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AEGC，（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论.（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图 2，连接AE 和GC你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.解：（1）答：.AEGC （1 分）证明：延长GC交AE于点.H.整理版 在正方形ABCD与正方形DEFG中，90ADDCADECDG，DEDG

42、，.ADECDG 12.（3 分）2390 .1390 .18013180-9090AHG-.AEGC （5 分）（2）答：成立.（6 分）证明：延长AE和GC相交于点.H 在正方形ABCD与正方形DEFG中，ADDC，DEDG，ADCDCB 90BBADEDG ，12903.-.ADECDG 54.8 分 又5690 ，47180DCE -1809090，67.又690.AEBAEBCEH ，790CEH 90EHC，.AEGC （10 分）99、已知，点 P 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点（不与 A，B 重合），分别过 A，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为 E，F，Q 为斜边

43、 AB 的中点 （1）如图 1，当点 P 与点 Q 重合时，试判断 AE 与 BF 的位置关系，QE 与 QF 的数量关系；（2）如图 2，当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时，试判断 QE 与 QF 的数量关系，并给予证明；（3）如图 3，当点 P 在线段 BA（或 AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明 考点：全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线 分析：（1）证BFQAEQ 即可；（2）证FBQDAQ，推出 QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可；（3）证AEQBDQ，推出 DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可 解答：解

44、：（1）AEBF，QE=QF，理由是：如图 1，Q 为 AB 中点，AQ=BQ，.整理版 BFCP，AECP，BFAE，BFQ=AEQ，在BFQ 和AEQ 中 BFQAEQ（AAS），QE=QF，故答案为：AEBF，QE=QF（2）QE=QF，证明：如图 2，延长 FQ 交 AE 于 D，AEBF，QAD=FBQ，在FBQ 和DAQ 中 FBQDAQ（ASA），QF=QD，AECP，EQ 是直角三角形 DEF 斜边上的中线，QE=QF=QD，即 QE=QF （3）（2）中的结论仍然成立，证明：如图 3，延长 EQ、FB 交于 D，AEBF，1=D，在AQE 和BQD 中，AQEBQD（AAS）

45、，QE=QD，BFCP，FQ 是斜边 DE 上的中线，QE=QF 100、(1)如图(1)，已知：在ABC中，BAC90，AB=AC，直线m经过点A，BD直线m,CE直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.(2)如图(2)，将(1)中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有BDA=AEC=BAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3)拓展与应用：如图(3)，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为BAC平分线上的一点,且ABF和ACF均为等边三

46、角形，连接BD、CE,若BDA=AEC=BAC，试判断DEF的形状.分析：（1）因为 DE=DA+AE，故通过证BDAAEC，得出 DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE.（2）成立，仍然通过证明BDAAEC，得出 BD=AE，AD=CE，所以 DE=DA+AE=EC+BD.A B C E D m（图 1）（图 2）（图 3）m A B C D E A D E B F C m.整理版（3）由BDAAEC 得 BD=AE，BDAEAC，ABF与ACF均等边三角形，得60FBAFAC，FB=FA，所以FBADBAFACEAC，即FBDFAB，所以BDFAEF，所以 FD=FE，BFDAF

47、E，再根据60BFDDFABFA，得60AFEDFA，即60DFE，故DFE是等边三角形.证明：(1)BD直线m,CE直线m BDACEA=90 BAC90 BAD+CAE=90 BAD+ABD=90 CAE=ABD 又AB=AC ADBCEA AE=BD，AD=CE DE=AE+AD=BD+CE 3 分(2)BDA=BAC=，DBA+BAD=BAD+CAE=180 DBA=CAE BDA=AEC=，AB=AC ADBCEA AE=BD，AD=CE DE=AE+AD=BD+CE6 分（3）由（2）知，ADBCEA，BD=AE，DBA=CAE ABF和ACF均为等边三角形 ABF=CAF=60

48、DBA+ABF=CAE+CAF DBF=FAE BF=AF DBFEAF DF=EF，BFD=AFE DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60 DEF为等边三角形.点拨：利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法.三角形培优训练专题【三角形辅助线作法】图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。【常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三

49、线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的A B C E D m（图 1）A D E B F C O m（图 3）（图 2）m A B C D E.整理版 EDFCBA思维模式是全等变换中的“旋转”。3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的

50、某点作边线，构造一对全等三角形。4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。7、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出现一对全等三角形。8、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二