平面几何辅助线添加技法总结与例题详解.pdf

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1、.第一讲第一讲注意添加平行线证题注意添加平行线证题在同一平面,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.添加平行线证题,一般有如下四种情况.1 1为了改变角的位置为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,错角相等,同旁角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.例例 1 1设P、Q为线段BC上两点,且BPCQ,A为BC外一动点(如图 1).当点A运动到使BAPCAQ时,ABC是什么三角形？试证明你的结论.答：当点A运动

2、到使BAPCAQ时,ABC为等腰三角形.A证明：如图 1,分别过点P、B作AC、AQ的平行线得交点D.连结DA.D在DBPAQC中,显然DBPAQC,DPBC.由BPCQ,可知DBPAQC.BPQC有DPAC,BDPQAC.图1于是,DABP,BAPBDP.则A、D、B、P四点共圆,且四边形ADBP为等腰梯形.故ABDP.所以ABAC.这里,通过作平行线,将QAC“平推”到BDP的位置.由于A、D、B、P四点共圆,使证明很顺畅.例例 2 2如图 2,四边形ABCD为平行四边形,BAFBCE.求证：EBAADE.证明：证明：如图 2,分别过点A、B作ED、EC的平行线,得交点P,连PE.EP由A

3、BCD,易知PBAECD.有GDPAED,PBEC.A显然,四边形PBCE、PADE均为平行四边形.有BFCBCEBPE,APEADE.图2由BAFBCE,可知BAFBPE.有P、B、A、E四点共圆.于是,EBAAPE.所以,EBAADE.这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P、B、A、E四点共圆,紧密联系起来.APE成为EBA与ADE相等的媒介,证法很巧妙.2 2为了改变线段的位置为了改变线段的位置利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.例例 3 3在ABC中,BD、CE为角平分线,P为ED上任意一点

4、.过P分别作AC、AB、BC的垂线,M、N、Q为垂足.求证：Word 文档.PMPNPQ.证明：证明：如图 3,过点P作AB的平行线交BD于F,过点F作BC的平行线分别交PQ、AC于K、G,连PG.由BD平行ABC,可知点F到AB、BC两边距离相等.有KQPN.显然,AEFBNPKQ图3MDGCEPEFCG,可知PGEC.PDFDGD由CE平分BCA,知GP平分FGA.有PKPM.于是,PMPNPKKQPQ.这里,通过添加平行线,将PQ“掐开”成两段,证得PMPK,就有PMPNPQ.证法非常简捷.3 3为了线段比的转化为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”

5、,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几证题中是会经常遇到的.例例 4 4设M1、M2是ABC的BC边上的点,且BM1CM2.任作一直线分别交AB、AC、AM1、AM2于P、Q、N1、N2.试证：AM1AM2ABAC.AN1AN2APAQ证明：证明：如图 4,若PQBC,易证结论成立.若PQ与BC不平行,设PQ交直线BC于D.过点A作PQ的平行线交直线BC于E.由BM1CM2,可知BECEM1EM2E,易知APQN2M1M2C D图4N1EBABBEACCE,APDEAQDEAM1M EAM2M2E1,.AN1DEAN2DE则AM1AM2ABACBE CEM1E

6、 M2E.AN1AN2DEAPAQDEAM1AM2ABAC所以,.AN1AN2APAQ这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE,于是问题迎刃而解.例例 5 5AD是ABC的高线,K为AD上一点,BK交AC于E,CK交AB于F.求证：FDAEDA.证明：证明：如图 5,过点A作BC的平行线,分QMPAN别交直线DE、DF、BE、CF于Q、P、FN、M.KE显然,BDKDDC.ANKAAMBD图5CWord 文档.有BDAMDCAN.(1)BDAMAPAFAM,有AP.(2)BDFBBCBCDCANAQAEAN由,有AQ.(3)BCDCECBC由对比(1)、(2)

7、、(3)有APAQ.显然AD为PQ的中垂线,故AD平分PDQ.所以,FDAEDA.这里,原题并未涉及线段比,添加BC的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP与AQ的相等关系显现出来.4 4为了线段相等的传递为了线段相等的传递当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.22例例 6 6在ABC中,AD是BC边上的中线,点M在AB边上,点N在AC边上,并且MDN90.如果BMCNDM2DN2,求证：AD2122(ABAC).4证明：证明：如图 6,过点B作AC的平行线交NDA延长线于E.连ME.MN由BDDC,可知EDDN.

8、有CBBEDCND.于是,BENC.D显然,MD为EN的中垂线.有EMMN.E22222222图6由BMBEBMNCMDDNMNEM,可知BEM为直角三角形,MBE90.有ABCACBABCEBC90.1122于是,BAC90.所以,ADBC(ABAC).4222这里,添加AC的平行线,将BC的以D为中点的性质传递给EN,使解题找到出路.例例 7 7如图 7,AB为半圆直径,D为AB上一点,分别在半圆上取点E、F,使EADA,FBDB.过D作AB的垂线,交半圆于C.求证：CD平分EF.证明：证明：如图 7,分别过点E、F作AB的垂线,G、H为垂足,连FA、EB.易知22DBFBABHB,C22

9、FADAEAGAB.E22二式相减,得DBADAB(HBAG),或(DBAD)ABAB(HBAG).于是,DBADHBAG,ABGD O H或DBHBADAG.图7就是DHGD.显然,EGCDFH.故CD平分EF.这里,为证明CD平分EF,想到可先证CD平分GH.为此添加CD的两条平行线EG、FH,从而得到G、H两点.证明很精彩.经过一点的若干直线称为一组直线束.一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等.如图 8,三直线AB、AN、AC构成一组直线束,DE是与BC平行的直线.于是,有DMAMME,BNANNCBADMEWord 文档N图8C.即BNMEDMDM

10、或.BNMENCNC此式表明,DMME的充要条件是BNNC.利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮.例例 8 8如图 9,ABCD为四边形,两组对边延长后得交点E、F,对角线BDEF,AC的延长线交EF于G.求证：EGGF.证明：证明：如图 9,过C作EF的平行线分别交AE、AAF于M、N.由BDEF,可知MNBD.易知SBEFSDEF.有SBECSKG*5DFC.BD可得MCCN.所以,EGGF.MNCEFG图9例例 9 9如图 10,O是ABC的边BC外的旁切圆,D、E、F分别为O与BC、CA、AB的切点.若OD与EF相交于K,求证：AK平分BC.证明：证明：如图 10,过点

11、K作BC的行平线分别A交直线AB、AC于Q、P两点,连OP、OQ、CBOE、OF.FPQK由ODBC,可知OKPQ.E由OFAB,可知O、K、F、Q四点共圆,有 FOQFKQ.O由OEAC,可知O、K、P、E四点共圆.有EOPEKP.图10显然,FKQEKP,可知FOQEOP.由OFOE,可知RtOFQRtOEP.则OQOP.于是,OK为PQ的中垂线,故QKKP.所以,AK平分BC.综上,我们介绍了平行线在平面几问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线,让平行线在平面几证题中发挥应有的作用.第二讲第二讲 巧添辅助圆巧添辅助圆在某些数学问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的在联系,

12、通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆的若干思路.1 1挖掘隐含的辅助圆解题挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.1.1作出三角形的外接圆例例 1 1如图 1,在ABC中,ABAC,D是底边BCA上一点,E是线段AD上一点且BED2CEDEA.求证：BD2CD.分析：关键是寻求BED2CED与结论的联系.BCD容易想到作BED的平分线,但因BEED,故不能GF直接证出BD2CD.若延长AD交ABC的外接圆图1于F,则可得EBEF,从而获取.Word 文档

13、.证明：证明：如图 1,延长AD与ABC的外接圆相交于点F,连结CF与BF,则BFABCAABCAFC,即BFDCFD.故BF:CFBD:DC.又BEFBAC,BFEBCA,从而FBEABCACBBFE.故EBEF.作BEF的平分线交BF于G,则BGGF.因GEF1BEFCEF,GFECFE,故FEGFEC.从而GFFC.2于是,BF2CF.故BD2CD.1.2 利用四点共圆CB例例 2 2凸四边形ABCD中,ABC60,BADODBCD90,AB2,CD1,对角线AC、BD交于点O,如图 2.A则 sinAOB_.分析：由BADBCD90可知A、B、C、DP四点共圆,欲求 sinAOB,联想

14、到托勒密定理,只须求出BC、AD即可.图2解：解：因BADBCD90,故A、B、C、D四点共圆.延长BA、CD交于P,则ADPABC60.设ADx,有AP3x,DP2x.由割线定理得(23x)3x2x(12x).解得ADx232,BC3.由托勒密定理有BDCA(43)(232)2110312.1BP42又SABCDSABDSBCD3 3156 3.故 sinAOB.226例例 3 3已知：如图 3,ABBCCAAD,AHCD于H,CPBC,CP交AH于P.求证：A3ABC的面积SAPBD.4分析：因SABCBPQDC图3H323BCACBC,只44须证ACBCAPBD,转化为证APCBCD.这

15、由A、B、C、Q四点共圆易证(Q为BD与AH交点).证明：证明：记BD与AH交于点Q,则由ACAD,AHCD得ACQADQ.又ABAD,故ADQABQ.从而,ABQACQ.可知A、B、C、Q四点共圆.APC90PCHBCD,CBQCAQ,APCBCD.ACBCAPBD.于是,S33ACBCAPBD.44Word 文档.2 2构造相关的辅助圆解题构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决.2.1 联想圆的定义构造辅助圆例例 4 4如图 4,四边形ABCD中,ABCD

16、,ADDCDBp,BCq.求对角线AC的长.分析：由“ADDCDBp”可知A、B、C在半径为p的D上.利用圆的性质即可找到AC与p、q的关系.解：解：延长CD交半径为p的D于E点,连结AE.A显然A、B、C在D上.BABCD,BCAE.从而,BCAEq.EC在ACE中,CAE90,CE2p,AEq,故DACCE2 AE24p2q2.2.2 联想直径的性质构造辅助圆2例例 5 5已知抛物线yx2x8 与x轴交于B、C两点，点D平分BC.若在x轴上侧的A点为抛物线上的动点,且BAC为锐角,则AD的取值围是_.分析：由“BAC为锐角”可知点A在以定线段BC为直径的圆外,又点A在x轴上侧,从而可确定动

17、点A的围,进而确定AD的取值围.解：解：如图 5,所给抛物线的顶点为A0(1,9),y对称轴为x1,与x轴交于两点B(2,0)、A0(1,9)C(4,0).分别以BC、DA为直径作D、E,则两圆与抛物线均交于两点P(122,1)、EPB(-2,0)DQC(4,0)x图4Q(122,1).可知,点A在不含端点的抛物线PA0Q图5时,BAC90.且有 3DPDQADDA09,即AD的取值围是 3AD9.2.3 联想圆幂定理构造辅助圆22例例 6 6AD是 RtABC斜边BC上的高,B的平行线交AD于M,交AC于N.求证：ABANBMBN.22分析：因ABAN(ABAN)(ABAN)BMBN,而由题

18、设易知AMAN,联想割线定理,构造辅助圆即可证得结论.证明：证明：如图 6,E234590,又34,15,A12.从而,AMAN.2N1F以AM长为半径作A,交AB于F,交35M4BA的延长线于E.则AEAFAN.CDB图6由割线定理有BMBNBFBE(ABAE)(ABAF)Word 文档.(ABAN)(ABAN)ABAN,即ABANBMBN.例例 7 7如图 7,ABCD是O的接四边形,延长AB和DC相交于E,延长AB和DC相交于E,延长AD和BC相交于F,EP222和FQ分别切O于P、Q.求证：EPFQEF.分析：因EP和FQ是O的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP、FQ向EF

19、转化.证明：证明：如图 7,作BCE的外接圆交EF于G,连A结CG.PQ因FDCABCCGE,故F、D、C、OG四点共圆.DC由切割线定理,有BEF2(EGGF)EFFEGEGEFGFEFECEDFCFB22222ECEDFCFBEPFQ,即EPFQEF.2.4 联想托勒密定理构造辅助圆例例 8 8如图 8,ABC与ABC的三边分别为a、b、c与a、b、c,且BB,AA.试证：Aaabbcc.AcbcbBaCBaC(1)(2)图8分析：因BB,AA,由结论联想到托勒密定理,构造圆接四边形加以证明.证明：证明：作ABC的外接圆,过C作CDAB交圆于D,连结AD和BD,如图 9 所示.AAAD,B

20、CDBB,AAD,BBCD.cbCABCDCB.abABBCAC有,DCCBDBDbca图9即.DBDCaacab故DC,DB.又ABDC,可知BDACb,BCADa.aaB2222从而,由托勒密定理,得ADBCABDCACBD,即ac2acabb.故aabbcc.aa练练习习题题1.作一个辅助圆证明：ABC中,若AD平分A,则ABBD.ACDCABBDBD.)ACDEDC(提示：不妨设ABAC,作ADC的外接圆交AB于E,证ABCDBE,从而2.已知凸五边形ABCDE中,BAE3a,BCCDDE,BCDCDE2a.求证：BACCADDAE.(提示：由已知证明BCEBDE3a,从而A、B、C、

21、D、E共圆,得BACCADDAE.)3.在ABC中ABBC,ABC20,在AB边上取一点M,使BMAC.求AMC的度数.(提示：以BC为边在ABC外作正KBC,连结KM,证B、M、C共圆,从而BCM4如图 10,AC是ABCD较长的对角线,过C作CFAF,CEAE.求证：ABAEADAFAC2.FDC1BKM10,得AMC30.)2Word 文档A图10BE.(提示：分别以BC和CD为直径作圆交AC于点G、H.则CGAH,由割线定理可证得结论.)5.如图 11.已知O1和O2相交于A、B,直线CD过A交O1和O2于C、D,且ACAD,EC、ED分别切两圆于C、D.求证：AC2ABAE.(提示：作BCD的外接圆O3,延长BA交O3ED于F,证E在O3上,得ACEADF,从而AEAF,由相交弦定理即得结论.)ACOO216已知E是ABC的外接圆之劣弧BC的中点.B22求证：ABACAEBE.图11(提示：以BE为半径作辅助圆E,交AE及其延长线于N、M,由ANCABM证ABACANAM.)7.若正五边形ABCDE的边长为a,对角线长为b,试证：22ba1.ab(提示：证baab,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)Word 文档