人教版高中数学必修二教学案-空间几何体的表面积和体积.pdf

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1、 第 1 页 共 16 页 人教版高中数学必修二教学讲义 年 级：上 课 次 数：学 员 姓 名：辅 导 科 目：数学 学 科 教 师：课 题 空间几何体的表面积和体积复习 课 型 预习课 同步课 复习课 习题课 授课日期及时段 教 学 内 容 空间几何体的表面积和体积复习【要点梳理】知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：项目 名称 底面 侧面 棱柱 平面多边形 平行四边形 面积=底高 棱锥 平面多边形 三角形 面积=12底

2、高 棱台 平面多边形 梯形 面积=12（上底+下底）高 要点诠释：求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积 知识点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积 1圆柱的表面积（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为 r，母线长l，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长 C=2r，宽等于圆柱侧面的母线长l（也是高），由此可得 S圆柱侧=Cl=2rl （2）圆柱的表面积：2222()Srrlr rl圆柱表 第 2 页 共

3、 16 页 2圆锥的表面积（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为 r，母线长为l，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长 C=r，半径等于圆锥侧面的母线长为l，由此可得它的侧面积是12SClrl圆锥侧（2）圆锥的表面积：S 圆锥表=r2+rl 3圆台的表面积（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环如果圆台的上、下底面半径分别为r、r，母线长为l，那么这个扇形的面积为(r+r)l，即圆台的侧面积为 S圆台侧=(r+r)l（2）圆台的表面积：22()Srrr lrl圆台表 要点诠释：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何

4、特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系 4圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示 知识点三、柱体、锥体、台体的体积 1柱体的体积公式 棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积 S 和高 h 的乘积，即 V棱柱=Sh 圆柱的体积：底面半径是 r，高是 h 的圆柱的体积是 V圆柱=Sh=r2h 综上，柱体的体积公式为 V=Sh 2锥体的体积公式 棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是 S，高是 h，那么它的体积13VSh棱锥 第 3 页 共 16 页 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是 S，高是 h，那么它的体积13VSh圆锥；如果底面积半径

5、是 r，用r2表示 S，则213Vr h圆锥 综上，锥体的体积公式为13VSh 3台体的体积公式 棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为 S、S，高是 h，那么它的体积是1()3Vh SSSS棱台 圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是 r、r，高是 h，那么它的体积是 2211()()33Vh SSSSh rrrr圆台 综上，台体的体积公式为1()3Vh SSSS 4柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示 知识点四、球的表面积和体积 1球的表面积（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积（2）球的表面积 设球的半径为 R，则球的表面积公式 S球=4R2 即球面面积等于

6、它的大圆面积的四倍 2球的体积 设球的半径为 R，它的体积只与半径 R 有关，是以 R 为自变量的函数 球的体积公式为343VR球 知识点五、侧面积与体积的计算 1多面体的侧面积与体积的计算 在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用 第 4 页 共 16 页（1）棱锥平行于底的截面的性质：在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：SSSSSS小锥底小锥全

7、小锥侧大锥底大锥全大锥侧对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比 要点诠释：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式（2）有关棱柱直截面的补充知识 在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面 棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：S棱柱侧=C直截l（其中 C直截、l分别为棱柱的直截面周长与侧棱长），V棱柱=S直截l（其中 S直截、l分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）2旋转体的侧面积和体积的计算（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因

8、此弄清侧面展开图的形式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关问题的关键 【典型例题】类型一、简单几何体的表面积 例 1如右图，有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为345(0)aa a a、用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，则a的取值范围是 【答案】1503a【解析】底面积为26a，侧面面积分别为 6、8、10，拼成三棱柱时，有三种情况：2212 62(1086)1248saa，222242(108)2436,saa 223242(106)243

9、2,saa 拼成四棱柱时只有一种情况：表面积为22(86)24 62428aa，第 5 页 共 16 页 由题意得2224281248aa，解得1503a【总结升华】（1）直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积；表面积等于它的侧面积与上、下两个底面的面积之和（2）求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法所谓定义法就是利用侧面积为各侧面面积之和来求，公式法即直接用公式求解 举一反三：【变式 1】一个圆柱的底面面积是S，侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为（）A4 S B2 S CS D2 33S【答案】A【解析】由圆柱的底面面积是S，求出圆柱的半径为Sr，进一步求出侧面积为4

10、 S 例 2在底面半径为 R，高为 h 的圆锥内有一内接圆柱，求内接圆柱的侧面积 最大时圆柱的高，并求此时侧面积的最大值【思路点拨】一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求解。【答案】高为2h 侧面积的最大值为12Rh【解析】如右图，设圆柱的高为 x，其底面半径为 r，则rhxRh，()R hxrh 圆柱的侧面积 2222()()RRSrxx hxxhxhh 侧 22222()()2422RhhRhhRxxhh ，当2hx 时，2hRS侧最大值 即内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高为2h，此时侧面积的最大值为12Rh【总结升华】与旋转体有关的问题，常作轴截面，利用相似比得出变量之间的关系，进一步

11、转化成代数问题解决 举一反三：【变式 1】圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和底面半径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比 第 6 页 共 16 页【答案】21【解析】如右图为其轴截面图，设圆柱、圆锥的底面半径分别是 r、R，圆锥的母线长为l 则有rRrRR，即12rR，R=2r，2lR 2222222441212(21)(21)421SrrrrSRRRRr圆柱表圆锥表【总结升华】这是一个圆锥和圆柱的组合体旋转体一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求各元素之间的关系，再利用相应表面积公式计算 例 3粉碎机的下料斗是正四棱台形，如图，它的两底面边长分别是 80 mm和 440

12、mm，高是 220 mm计算制造这一下料斗所需铁板的面积【思路点拨】问题的实质是求正四棱台的侧面积，欲求侧面积，需先求出斜高可在有关的直角梯形中求出斜高【答案】2.8105【解析】如图所示，O、O1是两底面的中心，则 OO1是正棱台的高设 EE1是斜高，过 E1作 E1FOO1交 OE 于 F，则 E1FOE，在直角梯形 OO1E1E 中，2211EEE FEF 22111()OOEOEO 2440802002()269(mm)2 边数 n=4，两底面边长 a=440 mm，a=80 mm，斜高 h269 mm，11()()22Scchn aah正棱台侧 5214(80440)2692.8 1

13、0(mm)2 答：制造这一下料斗约需铁板 2.8105 mm2【总结升华】（1）解决与正棱台有关的计算问题，关键是利用有关直角梯形，即上图中的梯形 OEE1O1、梯形 OAA1O1、梯形 AEE1A1（2）求棱台的侧面积，只需利用公式求解即可，这就需要求出上、下底面半径以及母线长 举一反三：【变式 1】圆台的上、下底面半径分别是 10 cm 和 20 cm，它的侧面展开扇环的圆心角是 180，那么圆台的表面积是多少？（结果中保留）【答案】1100 第 7 页 共 16 页【变式 2】邻边长为 a，b 的平行四边形，且 ab，分别以 a，b 两边所在直线为轴旋转这个平行四边形，所得几何体的表面积

14、分别为 S1，S2，则有（）AS1S2 BS1S2 CS1S2 DS1S2 【答案】A 类型二、简单几何体的体积 例 4已知一个三棱台上、下底面分别是边长为 20 cm 和 30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积 【答案】4 3cm 21900cm【解析】如右图所示，在三棱台 ABCABC中，O、O 分别为上、下底面的中心，D、D分别是 BC、BC的中点，则 DD是梯形 BCCB的高，所以13(2030)752SDDDD 侧 又 AB=20 cm，AB=30 cm，则上、下底面面积之和为 2223(2030)325 3(cm)4SS下上

15、 由 S侧=S上+S下，得75325 3DD，所以133(cm)3DD，310 320(cm)63O D，3305 3(cm)6OD，所以棱台的高222213 310 3()5 34 3(cm)33hO OD DODO D，由棱台的体积公式，可得棱台的体积为()3hVSSS S下下上上 2224 3333203020 301900(cm)3444【总结升华】注意构造简单几何体中的特殊三角形与特殊梯形，它们的数量关系往往是连接已知与未知的桥梁，要注意利用 举一反三：【变式 1】棱台的两个底面面积分别是 245 cm2和 80 cm2，截得这个棱台的棱锥的高为 35cm，求这个棱台的 第 8 页

16、共 16 页 体积。【答案】2325【变式 2】（1）各棱长都为 1 的正四棱锥的体积 V=_（2）如右图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，动点 E，F 在棱 A1B1上，动点 P，Q 分别在棱 AD，CD 上若 EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z 大于零），则四面体 PEFQ 的体积（）A与 x，y，z 都有关 B与 x 有关，与 y，z 无关 C与 y 有关，与 x，z 无关 D与 z 有关，与 x，y 无关【答案】（1）212（2）D 【解析】从图中可以分析出，EFQ 的面积永远不变，为面 A1B1CD 面积的而当 P 点变化时，它到面 A1B1CD 的距

17、离是变化的，即 y 的大小，影响 P 到面 A1B1CD的距离，因此会导致四面体体积的变化故选 D 例 5一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则这个几何体的体积为 m3 【答案】6【解析】由三视图可知这个几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的 其体积为等于圆锥的体积与长方体的体积之和 即2211133 2 133Vr habc =6（m3）【总结升华】给出几何体的三视图，求该几何体的体积或表面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特 第 9 页 共 16 页 征，再利用公式求解此类题目是新课标高考的热点，应引起重视 举一反三：【变式 1】某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 A283 B8

18、3 C82 D23 【答案】A 【解析】由三视图可知，其几何体是由一个正方体挖去一个圆锥 所得，所以其体积是正方体的体积减去圆锥的体积之差，即283 类型三、球的表面积与体积 例 6已知过球面上三点 A、B、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且 AC=BC=6，AB=4，求球面面积与球的体积 【答案】54 27 6【解析】如右图，设球心为 O，球半径为 R，作 OO1平面 ABC 于点 O1，由于 OA=OB=OC=R，则 O1是ABC 的外心，设 M 是 AB 的中点，由于 AC=BC，则 O1CM设 O1M=x，连接 O1A，O1B，易知 O1MAB，则2212O Ax，221162

19、OCCMO Mx 又 O1A=O1C，2222262xx 解得7 24x 1119 24O AO BOC 在 RtOO1A 中，12ROO，OO1A=90，OA=R，由勾股定理得2229 224RR，解得3 62R 则 S 球=4R2=54，3427 63VR球【总结升华】本题利用球面的性质，根据条件中的等量关系建立方程 第 10 页 共 16 页 例 7已知正四棱锥的底面边长为 a，侧棱长为2a（1）求它的外接球的体积（2）求它的内切球的表面积【答案】（1）38 627a（2）2473a【解析】如右图，作 PE 垂直底面 ABCD 于 E，则 E 在 AC 上（1）设外接球的半径为 R，球心

20、为 O，连接 OA、OC，则 OA=OC=OP，O 为PAC 的外心，即PAC 的外接圆半径就是球的半径 AB=BC=a，2ACa 2PAPCACa，PAC 为正三角形 262coscos303aAERaOAE，2348 6327VRa球（2）设内切球的半径为 r，作 PEBC 于 F，连接 EF 则有22227(2)()22aPFPBBFaa 211772224PBCSBC PFaaa，24(71)PBCSSSa棱锥全底 又222762222aPEPFEFaa 2311663326VS haaa棱锥底，326334266121)aVraSa棱锥棱锥全(7，224743Sra球【总结升华】多面

21、体之间或多面体与球之间的切接关系，是一种空间简单几何体之间的位置关系处理这类问题时，一般可以采用两种转化方法：一是转化为平面图形之间的内切或外接关系；二是利用分割的方式进行转化，使运算和推理变得简单，这里体现的转化思想是立体几何中非常重要的思想方法 第 11 页 共 16 页 举一反三：【变式 1】表面积为 324的球，其内接正四棱柱的高是 14，求这个正四棱柱的表面积.【答案】576【解析】设球半径为 R，正四棱柱底面边长为 a，则作轴截面如图，14AA，2ACa，又 24324R，9R，218ACR，228 2ACACCC，8a，28848 14576.S 表【总结升华】解决球与其他几何体

22、的内切、外接问题的关键在于仔细观察、分析几何体的结构特征，弄清相关元素的位置关系和数量关系，选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球和其他几何体的各种元素，尽可能地体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的【变式 2】求体积为V的正方体的外接球的表面积和体积【答案】32V 【解析】如图所示，显示正方体的中心为其外接球的球心，过球心作平行于正方体任一面的球的截面，则其截面为圆内一正方形（正方形的各顶点均在圆内，而不是在圆上）因此，这样的截面无法反映球的半径与正方体的棱长的关系，注意到球心必在正方体的一个对角面上，因此，以正方体的一个对角面作截面即可 如图，以正方体的对角面11A

23、CC A作球的截面，则球心O为1AC的中点，设正方体的棱长为x，则33,xVxV，而2231111112,33ACxACAAACxV 332RV 32234343,32SRVVRV球球【总结升华】正方体外接球的轴截面不是圆内一正方形，而是圆内一矩形，因此在解决棱柱内切球和外接球的有关问题时，必须谨慎地作其轴截面，切忌想当然地作图 解决球与其他几何体的内切、外接问题的关键在于仔细观察、分析几何体的结构特征，弄清相关元素的位置关系和数量关系，选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球和其他几何体的各种元素，尽可能地体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的【变式 3】正三棱锥的高均

24、为 1，底面边长为2 6，内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积 第 12 页 共 16 页【答案】9 26 3 (40 16 6)【解析】过侧棱 PA 与球心 O 作截面 PAE 交侧面 PBC 于 PE，由于ABC 为正三角形，故 AE 既是ABC 底边上的高，又是 BC 边上的中线，作正三棱锥的高 PD，则 PD 过球心 O，且 D 为ABC 的中心 （1）正三角形 ABC 边长为2 6 DE=1/3AE=13322 6=2 故 PE=123 S全=S侧+S底 =1132 632 6 3 222=9 26 3 （2）以球心为顶点,棱锥的四个面为底面,把正三棱锥分割为四个小棱

25、锥,设球半径为 r,则 V1+V2+V3+V4=13rS全=13hSABC 故 r=(SABCh)/S全=62 S球=24 r=24(62)(4016 6)课 后 作 业 年 级：上 课 次 数：作业上交时间：学 员 姓 名：辅 导 科 目：数学 学 科 教 师：作业内容 作业得分 作 业 内 容【巩固练习】1侧棱长和底面边长都为 1 的正三棱锥的体积是（）A1324 B 212 C 1124 D24 2.如果圆锥的轴截面是正三角形，那么它的侧面积是底面积的（）A4 倍 B3 倍 C2倍 D2 倍 3.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半

26、径 第 13 页 共 16 页 为（）A7 6 5 3 4.棱台上、下底面面积之比为1:9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是()A1:7 2:7 7:19 5:16 5.已知正方体的 8 个顶点中，有 4 个为一侧面是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个正三棱锥与正方体的全面积之比为（）A12 B13 C22 D36 6如右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A9122 B9182 C942 D3618 7设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A2a B273a C2113a D25 a 8 已知球的直径 SC=4，A,B 是该球球面上

27、的两点，AB=3，30BSCASC，则棱锥 S-ABC 的体积为（）.A33 B32 C3 D1 9.圆台的较小底面半径为1，母线长为2，一条母线和底面的一条半径有交点且成060,则圆台的侧面积为 10.若圆锥的表面积为a平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为_ 11.如右图，半径为 4 的球 D 中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_ 12.已知矩形ABCD的顶点都在半径为 4 的球O的球面上，且6,2 3ABBC，则棱锥OABCD的体积为 13.六棱台的上、下底面均是正六边形，边长分别是 8cm 和 18cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱

28、长为 13cm，求它的表面积.14将圆心角为0120，面积为3的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积 15.一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这个容器内注入水并且放人一个半径为 r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？第 14 页 共 16 页【答案与解析】1【答案】B 【解析】正三棱锥的底面面积为34，高为33，则体积为133234312 2.【答案】D 【解析】设圆锥的底面半径为r，则母线长222,2lr SrSrlr侧底，2SS侧底 3.【答案】A 【解析】(3)84,7Srr lr侧面积 4.【答案】C 【解析】中截面的面积为

29、4个单位，12124746919VV 5.【答案】B 【解析】如右图，棱锥BACD为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的边长为 1，则2BC，32B ACS,棱锥的全面积342 3.2S全正方体的全面积61 3SSS正正全，：6.【答案】B【解析】该几何体是有一个球和一个圆柱组合而成的，故体积是两体积之和 7【答案】B 【解析】如图所示，由题意可知：球心在三棱柱上、下底面的中心1O、2O的连线的中点O处，连接1O B、1OO、OB，其中OB即为球的半径R，由题意知：1233323O Baa，所以半径2222372312aaRa，所以球的表面积是22743aSR，故选 B 8【答

30、案】C 【解析】由题意可知SAC和SBC是两个全等的直角三角形，过直角顶点,A B分别作斜边上的高线,AH BH，由于030ASCBSC，求得3AHBH，所以等边ABH的面积为233 3(3)44ABHS，所求棱锥SABC的体积等于以ABH为底的两个小三棱锥的体积的和，其高的和即为球的直径SC，故 第 15 页 共 16 页 13 34334SABCV 9.【答案】6 【解析】画出圆台，则12121,2,2,()6rrlSrr l圆台侧面 10.【答案】2 33a 【解析】设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，则由2lr得2lr，而22Srrra圆锥表，即233,33aara r，即直径为2

31、 33a 11.【答案】32 【解析】由球的半径为 4，可知球的表面积为 64设内接圆柱的底面半径为 r，高为 2h，则 h2+r2=16圆柱的侧面积为222244322rhrhrh，当且仅当2 2rh时取等号，此时内接圆柱的侧面积最大，最大值为 32，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为 32 12.【答案】8 3 【解析】因为矩形边长分别是 6,2 3，所以其外接圆的直径为2262 34 3，所以球心 O 到矩形所在圆面的距离2242 32d，所以棱锥OABCD的体积为16 2 328 33.13【答案】936582 3【解析】一个侧面如右图，易知18852a，2213512h.则218

32、8612936()2Scm侧面积，21=8(8sin60)696 3()2Scm 上底，2118(18sin60)6486 3()2Scm下底 所以，表面积为293696 3486 3936582 3()cm 第 16 页 共 16 页 14【答案】4 2 23【解析】设扇形的半径和圆锥的母线都为l，圆锥的半径为r，则 21203,3360ll；232,13r r；24,SSSrlr侧面表面积底面 2112 212 2333VSh 15【答案】315 r【解析】设球取出后水面的高 PH=x，如图所示 3ACr，PC=3r，以 AB 为底面圆直径的圆锥的容积为22311(3)3333VACPCrrr圆锥，343Vr球 球取出后水面下降到 EF，水的体积为 223111(tan30)339VEHPHPHPHx水 而 V水=V圆锥V球，即33314393xrr，315xr 故球取出水面的高为315 r