九年级数学反比例函数经典习题解析.pdf

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1、 反比例函数 内容讲解 1反比例函数：一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y 或 （k 为常数，k0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数 2.反比例函数的图象和性质 3k的几何含义：反比例函数 ykx(k0)中比例系数 k 的几何意义，即过双曲线 ykx(k0)上任意一点 P作 x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为 A、B，则所得矩形 OAPB 的面积为 .习题精选 1.如图，过反比例函数 图象上任意两点 A、B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 C、D，连结 OA、OB，设 AC 与 OB 的交点为 E，与梯形 ECDB 的面积分别为，比较它们的大小，可得()A.B.C.D

2、.大小关系不能确定 2.如图，直线 y=mx 与双曲线kyx交与 A、B 两点，过点 A 作 AMx 轴，垂足为 M，连接 BM，若 SABM=2，则 k 的值是 （）A、2 B、m-2 C、m D、4 3.在同一直角坐标系中，函数 y=kx+k,与 y=xk(k0)的图像大致（）4.如图，点 A 在双曲线6yx上，且 OA4，过 A 作 ACx轴，垂足为 C，OA的垂直平分线交 OC 于 B，则ABC 的周长为()A.4 7 B.5 C.2 7 D.22 5.在反比例函数xay 中，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，则二次函数axaxy2的图象大致是下图中的（）6.反比例函数 y=-5

3、x的图像如图所示，P 是图像上的任意点，过点 P 分别做两坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形OAPB，点 D 是对角线 OP 上的动点，连接 DA、DB，则图中阴影部分的面积是 _ 。k 的符号 k0 k0 图像的大致位置 经过象限 第 象限 第 象限 性质 在每一象限内 y 随 x 的增大而 在每一象限内 y 随 x 的增大而 o y x y x o 第 6 题 7.如图，在直角坐标系中，OBADOC，边 OA、OC 都在 x 轴的正半轴上，点 B 的坐标为（6，8），BAO OCD90，OD5反比例函数(0)kyxx的图象经过点 D，交 AB 边于点 E （1）求 k 的值 （2）求 BE 的

4、长 8.已知一次函数与反比例函数 的图象交于点(21)P ，和(1)Qm，（1）求反比例函数的关系式；（2）求Q点的坐标；（3）在同一直角坐标系中画出这两个函数图象的示意图，并观察图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？9.如图，一次函数bkxy的图象与反比例数xmy 的图象交于 A（-3，1）、B（2，n）两点.（1）求上述反比例函数和一次函数的解析式；（2）求AOB 的面积.10.已知平行于 x 轴的直线)0(aay与函数xy 和函数xy1的图象分别交于点 A 和点 B，又有定点 P（2，0）.（1）若0a，且 tanPOB=91，求线段 AB 的长；（2）在过 A，B 两

5、点且顶点在直线xy 上的抛物线中，已知线段 AB=38，且在它的对称轴左边时，y 随着 x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；（3）已知经过 A，B，P 三点的抛物线，平移后能得到259xy 的图象，求点 P 到直线 AB 的距离.11.如图，直线 AB 过点 A（m,0）、B（0,n）（其中 m0,n0）反比例函数xpy（p0）的图象与直线 AB 交于 C、D 两点，连结 OC、OD（1）已知 mn10，AOB 的面积为 S，问：当 n 何值时，S 取最大值？并求这个最大值；（2）若 m=8，n=6，当AOC、COD、DOB 的面积都相等时，求 p 的值。P O Q x y 1 2

6、 2 1-1-2-2-1 12.有一个 RtABC，A=90，B=60，AB=1，将它放在直角坐标系中，使斜边 BC 在 x 轴上，直角顶点 A在反比例函数 y=3x的图象上，求点 C 的坐标 13.已知，如图所示，正方形 OABC 的面积为 9，点 O 为坐标原点，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，点 B 在函数y=kx（k0，x0）的图像上，点 P（m，n）是函数 y=kx上的任意一点，过 P 作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 E、F，并设矩形 OEPF 和正方形 OABC 不重合的部分面积为 S （1）求 B 点的坐标和 k 的值；（2）当 S=92时，求点 P 的坐标；（

7、3）写出 S 关于 m 的函数关系式 反比例函数教师版 内容讲解 1反比例函数：一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y 或 （k 为常数，k0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数 2.反比例函数的图象和性质 3k的几何含义：反比例函数 ykx(k0)中比例系数 k 的几何意义，即过双曲线 ykx(k0)上任意一点 P作 x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为 A、B，则所得矩形 OAPB 的面积为 .习题精选 1.如图，过反比例函数 图象上任意两点 A、B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 C、D，连结 OA、OB，设 AC 与 OB 的交点为 E，与梯形 ECDB 的面积分别

8、为，比较它们的大小，可得()A.B.C.D.大小关系不能确定 答案：B 2.如图，直线 y=mx 与双曲线kyx交与 A、B 两点，过点 A 作 AMx 轴，垂足为 M，连接 BM，若 SABM=2，则 k 的值是 （）A、2 B、m-2 C、m D、4 答案：A 3.在同一直角坐标系中，函数 y=kx+k,与 y=xk(k0)的图像大致（）答案：B 4.如图，点 A 在双曲线6yx上，且 OA4，过 A 作 ACx轴，垂足为 C，OA的垂直平分线交 OC 于 B，则ABC 的周长为()A.4 7 B.5 C.2 7 D.22 答案：C k 的符号 k0 k0 图像的大致位置 经过象限 第 象

9、限 第 象限 性质 在每一象限内 y 随 x 的增大而 在每一象限内 y 随 x 的增大而 o y x y x o 5.在反比例函数xay 中，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，则二次函数axaxy2的图象大致是下图中的（）答案：A 6.反比例函数 y=-5x的图像如图所示，P 是图像上的任意点，过点 P 分别做两坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形OAPB，点 D 是对角线 OP 上的动点，连接 DA、DB，则图中阴影部分的面积是 _ 。答案：52 7.如图，在直角坐标系中，OBADOC，边 OA、OC 都在 x 轴的正半轴上，点 B 的坐标为（6，8），BAO OCD90，OD5反比例函数

10、(0)kyxx的图象经过点 D，交 AB 边于点 E （1）求 k 的值 （2）求 BE 的长 答案：（1）OBADOC，OCBADCOA B(6，8)，BAO90，8463OCDC 在 RtCOD 中，OD5，OC4，DC3 D(4，3)点 D 在函数kyx的图象上，34k 12k （2）E 是12(0)yxx图象与 AB 的交点，AE1262 BE82=6 8.已知一次函数与反比例函数 的图象交于点(21)P ，和(1)Qm，（1）求反比例函数的关系式；（2）求Q点的坐标；（3）在同一直角坐标系中画出这两个函数图象的示意图，并观察图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？解：

11、（1）设反比例函数关系式为kyx，反比例函数图象经过点(21)P，2k 反比例函数关第式2yx （2）点(1)Qm，在2yx 上，2m (12)Q，（3）示意图 当2x 或01x时，一次函数的值大于反比例函数的值 9.如图，一次函数bkxy的图象与反比例数xmy 的图象交于 A（-3，1）、B（2，n）两点.（1）求上述反比例函数和一次函数的解析式；（2）求AOB 的面积.解：（1）依题意有：m1(3)=3 P O Q x y 1 2 2 1-1-2-2-1 第 6 题 反比例函数的表达式是：xy3 又B(2,n)n=13232bkbk解之得：2121kb 一次函数的表达式是：（2）由（1）知

12、 ,当 y=0 时，1x C（1，0）OC1 又A(3,1)B(2,)SAOBSAOCSBOC 10.已知平行于 x 轴的直线)0(aay与函数xy 和函数xy1的图象分别交于点 A 和点 B，又有定点 P（2，0）.（1）若0a，且 tanPOB=91，求线段 AB 的长；（2）在过 A，B 两点且顶点在直线xy 上的抛物线中，已知线段 AB=38，且在它的对称轴左边时，y 随着 x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；（3）已知经过 A，B，P 三点的抛物线，平移后能得到259xy 的图象，求点 P 到直线 AB 的距离.答案：（1）设第一象限内的点 B（m,n），则 tanPOB

13、91mn，得 m=9n，又点 B 在函数xy1 的 图 象 上，得mn1，所以 m=3（3 舍去），点 B 为)31,3(，而 ABx 轴，所以点 A（31，31），所以38313AB；（2）由条件可知所求抛物线开口向下，设点 A（a,a），B（a1，a），则 AB=a1a=38,所以03832 aa，解得313aa或.当 a=3 时，点 A（3，3），B（31，3），因为顶点在 y=x 上，所以顶点为（35，35），所以可设二次函数为35)35(2xky，点 A 代入，解得 k=43,所以所求函数解析式为35)35(432xy.同理，当 a=31时，所求函数解析式为35)35(432xy；（

14、3）设 A（a,a），B（a1，a），由条件可知抛物线的对称轴为aax212.设所求二次函数解析式为：)2)1()(2(59aaxxy.点 A（a,a）代入，解得31a，1362a，所以点 P 到直线 AB 的距离为 3 或136 11.如图，直线 AB 过点 A（m,0）、B（0,n）（其中 m0,n0）反比例函数xpy（p0）的图象与直线 AB 交于 C、D 两点，连结 OC、OD（1）已知 mn10，AOB 的面积为 S，问：当 n 何值时，S 取最大值？并求这个最大值；（2）若 m=8，n=6，当AOC、COD、DOB 的面积都相等时，求 p 的值。答案：解：（1）根据题意，得：OAm

15、，OBn，所以 S21mn，又由 mn10，得 m10n，2121xy232121xy02121x2345231211121 得：S21n（10n）21n25n 21(n5)2225 021，当 n5 时，S 取最大值225 （2）设直线 AB 的解析式为bkxy，因为直线 AB 过点 A(8，0)，B（0，6）所以 608bbk，解得：43k，6b，所以直线 AB 的函数关系式为643xy 过点 D、C 分别作x轴的垂线，垂足分别点 E、F，当AOC、COD、DOB 的面积都相等时，有 SAOC31SAOB，即21OACF3121OAOB，所以 CF2 即 C 点的纵坐标为 2 将 y=2

16、代入643xy，得316x 即点 C 的坐标为2,316 因为点 C 在反比例函数图象上 所以332p 12.有一个 RtABC，A=90，B=60，AB=1，将它放在直角坐标系中，使斜边 BC 在 x 轴上，直角顶点 A在反比例函数 y=3x的图象上，求点 C 的坐标 分析：通过画图可发现：点 A 的位置有两种情况（在第一象限的那支图象上或在第三象限的那支图象上），点 B、C 的位置也有两种情况（可能点靠近原点，也可能点不靠近原点），解题时要注意利用反比例函数图象的对称性 解：本题共有 4 种情况（1）如图，过点 A 做 ADBC 于 D，AB=1，B=60，BD=12，AD=32，点 A

17、的纵坐标为32将其代入 y=3x，得 x=2，即 OD=2 在 RtADC 中，DC=32，所以 OC=72，即点 C1的坐标为（72，0）（2）如图，过点 A 作 AEBC 于 E 则 AE=32，OE=2，CE=32，所以 OC=12即点 C2的坐标为（12，0）根据双曲线的对称性，得点 C3的坐标为（-72，0），点 C4的坐标为（-12，0）所以点 C 的坐标分别为：（72，0）、（12，0）、（-72，0）、（-12，0）13.已知，如图所示，正方形 OABC 的面积为 9，点 O 为坐标原点，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，点 B 在函数 y=kx（k0，x0）的图像上

18、，点 P（m，n）是函数 y=kx上的任意一点，过 P 作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 E、F，并设矩形 OEPF 和正方形 OABC 不重合的部分面积为 S （1）求 B 点的坐标和 k 的值；（2）当 S=92时，求点 P 的坐标；（3）写出 S 关于 m 的函数关系式 分析：把矩形面积用坐标表示，A、B 坐标可求，S 矩形 OAGF 可用含 n 的代数式表示，解题的关键是双曲线关于 y=x 对称，符合题设条件的 P 点不惟一，故思考须周密 解：（1）依题意，设 B 点坐标为（x0，y0）所以 S正方形OABC=x0y0=9，x0=y0=3 即 B（3，3），所以 x0y0=k，k=9；（2）P（m，n）在 y=9x上，S正方形OEP1F=mn=9，所以 S矩形OAGF=3n，由已知可得 S=9-3n=92，解得 n=32，m=6，所以 P1（6，32）如图（a）所示，同理可求得 P2（32，6）（3）如图（b）所示，当 0m3 时，因为点 P 坐标为（m，n），所以 S矩形OEGC=3m，S=S矩形OEPF-S矩形OEGC 所以 S=9-3m（0m3）如图（c）所示，当 m3 时，因为 P 点坐标为（m，n）所以 S矩形 OAGF=3n，mn=9，n=9m，所以 S=9-3n=9-27m