高考数学大一轮复习第八章解析几何第五节椭圆教师用书理.doc

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1、- 1 -第五节第五节 椭圆椭圆2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)；2.了解椭圆的简单应用；3.理解数形结合的思想。2016，全国卷，11,5 分(椭圆的几何性质)2016，天津卷，19,14 分(椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系)2016，浙江卷，9,5 分(椭圆的几何性质)2016，江苏卷，10,5 分(椭圆的几何性质)2015，全国卷，14,5 分(椭圆的几何性质)椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中。椭圆的考查频率非常高，而且运算量、思维

2、量都比较大，这是椭圆命题的一个显著特征。微知识 小题练自|主|排|查1椭圆的概念平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数。(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若ac，则集合P为空集。2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)x2 a2y2 b21(ab0)y2 a2x2 b2- 2 -图形范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b

3、)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为 2a；短轴B1B2的长为 2b焦距|F1F2|2c离心率e (0,1)c a性质a，b，c的关系c2a2b23椭圆中常用的 4 个结论(1)设椭圆1(ab0)上任意一点P(x，y)，则当x0 时，|OP|有最小值b，x2 a2y2 b2这时P在短轴端点处；当xa时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处。(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2b2c2。(3)已知过焦点F1的弦AB，则ABF2的周长为 4a。(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则ac|PF

4、|ac。微点提醒 1在求椭圆的离心率时，椭圆中a，b，c之间的关系容易忽略。2椭圆的离心率的大小决定椭圆的扁平程度：离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越圆。3方程Ax2By21(AB0)表示椭圆的充要条件是A0，B0 且AB。小|题|快|练一 、走进教材1(选修 21P40例 1 改编)若F1(3,0)，F2(3,0)，点P到F1，F2距离之和为 10，则P- 3 -点的轨迹方程是( )A.1 B.1x2 25y2 16x2 100y2 9C.1 D.1 或y2 25x2 16x2 25y2 161y2 25x2 16【解析】 设点P的坐标为(x，y)，因为|PF1|PF2|10|F1F2

5、|6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a5，c3，b4，故点P的轨迹方程为a2c21。故选 A。x2 25y2 16【答案】 A2(选修 21P49A 组 T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A. B.22212C2 D.122【解析】 解法一：设椭圆方程为1，依题意，显然有|PF2|F1F2|，则x2 a2y2 b22c，即2c，即e22e10，解得e1。故选 D。b2 aa2c2 a2解法二：因为F1PF2为等腰直角三角形，所以|PF2|F1F2|2c，|PF1|2c。因为2|PF

6、1|PF2|2a，所以 2c2c2a，所以e 1。故选 D。2c a1212【答案】 D二、双基查验1设P是椭圆1 上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于( )x2 4y2 9A4 B8C6 D18【解析】 依定义知|PF1|PF2|2a6。故选 C。【答案】 C2方程1 表示椭圆，则m的范围是( )x2 5my2 m3A(3,5) B(5,3)C(3,1)(1,5) D(5,1)(1,3)【解析】 由方程表示椭圆知Error!- 4 -解得3m5 且m1。故选 C。【答案】 C3椭圆1 的离心率为 ，则k的值为( )x2 9y2 4k4 5A21 B21C或 21 D

7、.或 2119 2519 25【解析】 若a29，b24k，则c，5k由 ，即 ，得k；c a4 55k34 519 25若a24k，b29，则c，k5由 ，即 ，解得k21。故选 C。c a4 5k54k4 5【答案】 C4已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率为 ，则椭圆的标准方程为_。1 2【解析】 设椭圆的标准方程为1(ab0)，x2 a2y2 b2因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e ，1 2所以Error!解得Error!故椭圆的标准方程为1。x2 4y2 3【答案】 1x2 4y2 35已知F1，F2是椭圆C的左，右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|2|PF2|，PF1

8、F230，则椭圆的离心率为_。【解析】 在三角形PF1F2中，由正弦定理得sinPF2F11，即PF2F1， 2设|PF2|1，则|PF1|2，|F2F1|，3所以离心率e。2c 2a33【答案】 33- 5 -第一课时第一课时 椭圆的概念及其性质椭圆的概念及其性质微考点 大课堂考点一 椭圆的定义及应用【典例 1】 (1)(2016北京东城期末)过椭圆 4x2y21 的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的ABF2的周长为( )A2 B4C8 D22(2)F1，F2是椭圆1 的两个焦点，A为椭圆上一点，且AF1F245，则AF1F2x2 9y2 7的面积为

9、( )A7 B.7 4C. D.7 27 52【解析】 (1)因为椭圆方程为 4x2y21，所以a1。根据椭圆的定义，知ABF2的周长为|AB|AF2|BF2|AF1|BF1|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a4。故选 B。(2)由题意得a3，b，c，|F1F2|2，|AF1|AF2|6。722|AF2|2|AF1|2|F1F2|22|AF1|F1F2|cos45|AF1|24|AF1|8，(6|AF1|)2|AF1|24|AF1|8。|AF1| 。7 2S 2 。故选 C。1 27 22227 2【答案】 (1)B (2)C反思归纳 1.椭圆定义的应用范围(1)

10、确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆。(2)解决与焦点有关的距离问题。2焦点三角形的应用椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形” ，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等。【变式训练】 (1)已知A，B是圆2y24(F为圆心)上一动点，线段AB(1 2，0)(x1 2)的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为_。(2)已知F是椭圆 5x29y245 的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点。求- 6 -|PA|PF|的最大值和最小值。【解析】 (1)如图，由题意知|PA|PB|，|PF|BP|2。所以|PA|

11、PF|2 且|PA|PF|AF|，即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a1，c ，b2 。所以动点P的轨迹方程为x2y21。1 23 44 3(2)如图所示，设椭圆右焦点为F1，则|PF|PF1|6。|PA|PF|PA|PF1|6。利用|AF1|PA|PF1|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，|PA|PF|6，|PA|PF|6。22故|PA|PF|的最大值为 6，最小值为 6。22【答案】 (1)x2y214 3(2)最大值 6，最小值 622考点二 椭圆的标准方程及其应用【典例 2】 (1)若直线x2y20 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )A.y21x2 5

12、B.1x2 4y2 5C.y21 或1x2 5x2 4y2 5D以上答案都不对(2)设F1，F2分别是椭圆E：x21(00，B0，AB)。【变式训练】 (1)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，x2 a2y2 b233过F2的直线l交C于A，B两点，若AF1B的周长为 4，则C的方程为( )3A.1 B.y21x2 3y2 2x2 3C.1 D.1x2 12y2 8x2 12y2 4(2)过点(，)，且与椭圆1 有相同焦点的椭圆的标准方程为35y2 25x2 9_。【解析】 (1)因为AF1B的周长为 4，所以 4a4，所以a，因为离心率为，33333所以c1，所以b，

13、所以椭圆C的方程为1。故选 A。a2c22x2 3y2 2(2)椭圆1 的焦点为(0，4)，(0,4)，即c4。由椭圆的定义知，2ay2 25x2 9，解得a2。 302 542 302 5425由c2a2b2可得b24。所以所求椭圆的标准方程为1。y2 20x2 4【答案】 (1)A (2)1y2 20x2 4考点三 椭圆的简单几何性质多维探究角度一：与椭圆有关的最值或范围问题【典例 3】 已知点F1，F2是椭圆x22y22 的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|的最小值是( )PF1PF2- 8 -A0 B1C2 D22【解析】 设P(x0，y0)，则(1x0，y0)，PF1(1x

14、0，y0)，(2x0，2y0)，PF2PF1PF2|PF1PF24x2 04y2 0222y2 0y2 02。y2 02点P在椭圆上，0y1，2 0当y1 时，|取最小值 2。故选 C。2 0PF1PF2【答案】 C角度二：求离心率的值或范围【典例 4】 (1)(2016全国卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)x2 a2y2 b2的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点。P为C上一点，且PFx轴。过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )A. B.1 31 2C. D.2 33 4(2)(2015福建高考)已知椭圆E：1(ab0)的右

15、焦点为F，短轴的一个端点为x2 a2y2 b2M，直线l：3x4y0 交椭圆E于A，B两点。若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于 ，则椭圆E的离心率的取值范围是( )4 5A. B.(0，32(0，3 4C. D.32，1)3 4，1)【解析】 (1)设E(0，m)，则直线AE的方程为 1，由题意可知x ay mM，和B(a,0)三点共线，则，化简得a3c，则C的离心率(c，mmc a) (0，m 2)mmcam2 cm 2 ae 。故选 A。c a1 3(2)不妨设左焦点为F2，连接AF2，BF2，由椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相- 9 -平分，所以四边形AFBF2为平

16、行四边形，所以|AF|BF|BF2|BF|2a4，所以a2，设M(0，b)，所以db b1，所以e ，又4 54 51b2a21b2411432e(0,1)，所以e。故选 A。(0，32【答案】 (1)A (2)A反思归纳 1.求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解。(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解。2利用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系。微考场 新提升1曲线1 与曲线1(k

17、0，c0，则直线l的方程为bxcybc0，由已知得 2b，解得b23c2，又bcb2c21 4b2a2c2，所以 ，即e2 ，所以e (e 舍去)。故选 B。c2 a21 41 41 21 2光速解法：不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(c，0)，b0，c0，则直线l的方程为bxcybc0，由已知得 2b，所以 2b，所以e 。故bcb2c21 4bc a1 4c a1 2选 B。答案 B4(2016安徽皖西七校联考)已知圆M：(x)2y236，定点N(，0)，点P为圆55M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满足2，0，则点G的轨迹NPNQGQNP方程是_。解析 由2，0

18、知，GQ是线段NP的垂直平分线，NPNQGQNP|GN|GP|，|GM|GN|MP|6。点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，由 2a6，得a3。又c，b24。点G的轨迹方程为1。5x2 9y2 4答案 1x2 9y2 45设F1，F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点M，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率为_。解析 由题意知F1MF2，|MF2|c，|F1M|2ac，则c2(2ac) 224c2，e22e20，解得e1。3- 11 -答案 13第二课时第二课时 椭圆的综合问题椭圆的综合问题微考点 大课堂考点一 直线与椭圆的相交弦长问题【典例

19、1】 椭圆两顶点A(1,0)，B(1,0)，过焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两点。当|CD|时，求l的方程。32 2【解析】 由题意b1，c1。a2b2c2112。椭圆方程为x21。y2 2若直线l斜率不存在时，|CD|2，不合题意。2若直线l斜率存在时，设l方程ykx1，联立Error!得(k22)x22kx10。8(k21)0 恒成立。设C(x1，y1)，D(x2，y2)。x1x2，x1x2。2k k221 k22|CD|x1x2|1k21k2 x1x224x1x2。2 2k21k22即，2 2k21k223 22解得k22。k。2直线l方程为xy10 或xy10。22【答案】

20、xy10 或xy1022反思归纳 1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程(组)，解决相关问题，涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单。2设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|1k2x1x224x1x2- 12 -(k为直线斜率)。(11 k2)y1y224y1y2【变式训练】 已知椭圆1(ab0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e，直线x2 a2y2 b255l交椭圆于M，N两点。(1)若直线l的方程为yx4，求弦MN的长；(2)如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，

21、求直线l方程的一般式。【解析】 (1)由已知得b4，且 ，即 。c a55c2 a21 5 ，解得a220。a2b2 a21 5椭圆方程为1。x2 20y2 16则 4x25y280 与yx4 联立。消去y，得 9x240x0，x10，x2。40 9所求弦长|MN|x2x1|。11240 29(2)椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知2。又B(0,4)，(2，4)2(x02，y0)。故得x03，y02，即得Q的坐标为BFFQ(3，2)。设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x26，y1y24，且1，1。x2 1 20y2 1 16x2

22、2 20y2 2 16以上两式相减，得0。x1x2x1x2 20y1y2y1y2 16kMN 。y1y2 x1x24 5x1x2 y1y24 5(6 4)6 5- 13 -故直线MN的方程为y2 (x3)，6 5即 6x5y280。【答案】 (1) (2)6x5y28040 29考点二 中点弦问题【典例 2】 已知椭圆y21。x2 2(1)求斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程；(2)过N(1,2)的直线l与椭圆相交，求被l截得的弦的中点的轨迹方程；(3)求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程。(1 2，1 2)【解析】 设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为M(x0，y0)，

23、则有y1，y1。x2 1 22 1x2 2 22 2两式作差，得(y2y1)(y2y1)0。x2x1x2x1 2x1x22x0，y1y22y0，kAB，y2y1 x2x1代入后求得kAB。x0 2y0(1)设弦中点为M(x，y)，由式，2，x4y0。又点M(x，y)在椭圆内部。x 2y故所求的轨迹方程为x4y0。(4 30)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA。(1)当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当 2|AM|AN|时，求k的取值范围。【解析】 (1)当t4 时，椭圆E的方程为1，A点坐标为(2,0)，设直线AMx2 4y2 3的方程为yk(x2)。由|AM|AN|可

24、得M，N关于x轴对称，由MANA，可得直线AM的斜率为 1，直线AM方程为yx2，代入椭圆1 得 7x216x40，解得x2 或x2 4y2 3 ，M，N。于是AMN的面积为 。2 7(2 7，12 7)(2 7，12 7)1 224 7(2 72)144 49(2)由题意知A(，0)。设直线AM的方程为yk(x)，tt由Error!得(3tk2)x22tk2xt2k23t0，解得x或x，ttt tk23t3tk2- 16 -所以|AM|。1k2|t tk23t3tk2t|1k26t3tk2同理可得|AN|。因为 2|AM|AN|，所以1k26t3ktk2，整理得t。1k26t3tk21k26

25、t3ktk6k23k k32因为椭圆E的焦点在x轴上，所以t3，即3，整理得3。【变式训练】 已知椭圆1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|6，x2 a2y2 b2直线ykx与椭圆交于A，B两点。(1)若AF1F2的周长为 16，求椭圆的标准方程；(2)若k，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；24在的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，若直线PA的斜率k1(2，1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围。【解析】 (1)|F1F2|6，即 2c6，c3，又|AF1|AF2|2a，而|AF1|AF2|F1F2|16，所以 2a10，a5，b4，故椭圆的标准方程为

26、1。x2 25y2 16(2)若A，B，F1，F2四点共圆，则AB，F1F2互相平分，必定有AF2BF2。将yx与1 联立整理，可得(a28b2)x28a2b20，设A(x1，y1)，24x2 a2y2 b2B(x1，y1)，则x，(x1c，y1)，(x1c，y1)，2 18a2b2 a28b2F2AF2Bc2xyc2xc20，即a2c28b2c29a2b2，而F2AF2B2 12 19 8 2 19a2b2 a28b2b2a2c2,8e418e290，解得e2 (舍去)，或e2 ，因此e。3 23 432- 17 -由e和c3，可得a2，b，椭圆的方程为1。3233x2 12y2 3由A(x

27、1，y1)，B(x1，y1)，k1，k2，y0y1 x0x1y0y1 x0x1所以k1k2。y2 0y2 1 x2 0x2 1又y3，y3，2 0(1x2 0 12)2 1(1x2 1 12)所以 ，y2 0y2 1 x2 0x2 11 4即k1k2 ，k2。1 41 4k1由2b0)的离心率为e ，右焦点为F(c,0)，方程ax2bxc0x2 a2y2 b21 2的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)在( )A圆x2y22 内B圆x2y22 上C圆x2y22 外- 18 -D以上三种情形都有可能解析 由已知得e ，c ，x1x2 ，x1x2 ，xx(x1x2)22x1x2c a1

28、2a 2b ac a2 12 2b0)过点(0,4)，离心率为 。x2 a2y2 b23 5(1)求椭圆C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被C所截线段的中点坐标。4 5解析 (1)将点(0,4)代入C的方程得1，16 b2所以b4。又e ，得，即 1，c a3 5a2b2 a29 2516 a29 25所以a5。所以椭圆C的方程为1。x2 25y2 16(2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为y (x3)，4 54 5设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Error!消去y，得1，x2 25x32 25即x23x80。所以AB的中点坐标x0 ，y0 (x03) ，x1x2 23 24 56 5即所截线段的中点坐标为。(3 2，6 5)- 19 -答案 (1)1 (2)x225y216(32，65)