概率论与数理统计复习题_1.pdf

《概率论与数理统计复习题_1.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计复习题_1.pdf（7页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、概率论与数理统计复习题 一事件及其概率 1.设为三个事件,试写出下列事件得表达式:(1)都不发生;(2)不都发生;(3)至少有一个发生;(4)至多有一个发生；(5)不同时发生且发生。解:（)(2)(3)(4)(5)2.设为两相互独立得随机事件,求。解:()()()()()()()()0.76P ABP AP BP ABP AP BP A P B;()()()()0.16,(|)()0.4P ABP ABP A P BP A BP A。3.设互斥,，,求。解:。4.设,求。解:()()(|)0.3,()()()()0.8,P ABP B P A BP ABP AP BP AB。5.设独立且求。解

2、：()1()1()1()()()0.994P ABCP ABCP ABCP A P B P C 。6.袋中有个黄球，个白球，在袋中任取两球,求(1)取到两个黄球得概率；(2)取到一个黄球、一个白球得概率。解:（1);(2）。7.从十个数字中任意选出三个不同得数字,求三个数字中最大数为得概率。解：。8.从中任取两数,求两数之与小于得概率。解:。9.某人射击时中靶得概率为,如果射击直到中靶为止,求射击次数为得概率。解:。10.从中任取一数,记为，再从中任取一数,记为，求。解:411111132 2|(0).423448iP YP Xi P YXi 11.甲袋中装有只红球,只白球，乙袋中装有只红球,

3、只白球,现从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球,问从乙袋中取出红球得概率为多少?解:设“从甲袋中取出得就就是红球”,“从乙袋中取出得就就是红球”,则:由全概率公式得:。12.某大卖场供应得微波炉中,甲、乙、丙三厂产品各占 50%、4%、0%,而三厂产品得合格率分别为 9%、85、80%,求(1)买到得一台微波炉就就是合格品得概率;(2)已知买到得微波炉就就是合格品,则它就就是甲厂生产得概率为多大?解:(1）设分别表示买到得微波炉由甲、乙、丙厂生产,表示买到合格品,则 123123()0.5,()0.4,()0.1,(|)0.95,(|)0.85,(|)0.8,P AP AP AP B

4、 AP B AP B A 由全概率公式得;(2)。二一维随机变量及其数字特征 1.已知得概率密度函数,求与。解:。2.设得概率密度函数,已知,求。解：11002()1,()2,02323aabaxb dxbx axb dxab。3.设,求。解:22332(0.1)(0.9)0.027,11010.90.271P XCP XP X 。4.设三次独立随机试验中事件出现得概率相同，已知事件至少出现一次得概率为,求在一次试验中出现得概率。解:三次试验中出现得次数，由题意:416437)1(1)1(101133003ppppCXPXP。5.某种灯管得寿命(单位:小时)得概率密度函数为,(1)求;(2)任

5、取只灯管,求其中至少有只寿命大于得概率。解：()；(2)设只灯管中寿命大于得个数为,则,故 54121232210115333243P YP YP Y 。6.设求。解:。7.设，求。解:原式2222()23232333E XEXEXDXEX。8.设,求。解:,。9.设服从上得均匀分布,求方程解:，。10.设，求。解:2311,13(31)111 11,(),ln32123220,xDXf xEdxXxelse。11.设某机器生产得螺丝长度。规定长度在范围内为合格，求螺丝不合格得概率。解:螺丝合格得概率为 9544.01)2(2)2()2(06.012.006.005.1006.012.012.

6、005.1012.005.10XPXP 故螺丝不合格得概率为。12.设，,求、。解：。13.设与独立,且求。解:。14.设求。解：。15.设,求得概率密度函数。解：(1)当时,;(2)当时,；(3)当时,；(4)当时,;故，。三二维随机变量及其数字特征 1.已知二维随机变量得联合分布律为 2 3 5 4、1 0、0、5 0、2 0、05(1)求;(2)求;(3)求得边缘分布律;(4)判断与就就是否相互独立。解:()由分布律性质得：解得；(2)4.02.02.05,35,24,3YXPYXPYXP,4,35,24,28YXPYXPYXPYXP，；2 3 5 4、0、1 0、5 5 0、2 0、2

7、 0、05、45 0、3、5 0、2 (3)因,故不相互独立。2.已知得联合分布律为：(1)求;(2)求，并判断就就是否相关;(3)判断就就是否独立。解：（1）；(2)0:0.3,0.5,0.2;:0.5,0.50.6,0,()0cov(,)0,XYXYEXEYE XYX Y,不相关;(3),不独立。3.已知得联合分布律为：且与相互独立，求:(1)得值;(2);(3)得边缘分布律;(4);(5)得分布律。解:(1）;(2)；(3);(4)22222251353222,(),()6636339EXEXDXEXEXEYEYDYEYEY;(5)。4.已知得概率密度函数为,求:(1)常数；(2)关于变

8、量得边缘概率密度函数;(3)。解:(1)3113221)(),(202010 ccccdxxcdyyxcdxdxdyyxf;(2)10111(),02()(,)3320,Xxy dyxxfxf x y dyelse;(3)916)(31),()()(10220 dyyxdxdxdyyxfyxYXE。5.设得概率密度函数为:,求:(1)；(2);(3)。解:(1)1220021(,)()133f x y dxdydxxAxy dyAA；(2);(3)。6.设得概率密度函数为：,(1)求;(2)求;(3)判断就就是否独立;(4)求;(5)求;(6)求得概率密度函数。解:(1）；(2)，;(3)不独

9、立;(4);(5)2111,(),cov(,)()()()33436EXEYE XYX YE XYE X E Y;(6)200,01,01()1,1,()0,201ZZzzzFzP ZzP Xzzfzelsexdxzz。四中心极限定理 1.某种电器元件得寿命服从指数分布(单位:小时),现随机抽取只,求其寿命之与大于小时得概率。解：设第只电器元件得寿命为则。令，则。由中心极限定理得 16001920160019200.81(0.8)0.2119400160000XP XP。2.生产灯泡得合格率为,记个灯泡中合格灯泡数为,求(1)与；(2)合格灯泡数在之间得概率。解:(1）(10000,0,8),

10、()100000.88000,()100000.80.21600XBE XD X;(2)由中心极限定理得)1()1(4080008040408000408000796080407960XpXP。3.有一批建筑房屋用得木柱，其中得长度不小于，现从这批木柱中随机地取根,问至少有根短于得概率就就是多少？解:设这根木柱中短于得个数为,则(100,0.2),1000.220,1000.20.816XBEXDX;由中心极限定理得3020302.51(2.5)0.006216XEXP XPDX。4.某单位设置一电话总机,共有架电话分机。设每个电话分机就就是否使用外线通话相互独立，设每时刻每个分机有得概率要使

11、用外线通话。问总机至少需要多少外线才能以不低于得概率保证每个分机要使用外线时可供使用？解:设至少需要条外线。使用外线得分机数，。由中心极限定理得:。五抽样分布 1.从一批零件中抽取个样本,测得其直径为,求。解:。2.设就就是来自正态总体得简单随机样本,已知服从分布,求。解：212212121(0,18)(0,1)(1)181818XXXXXXNNa。3.总体,(1)对容量得样本,求样本均值大于得概率;(2)为使大于得概率不小于,样本容量至少应为多少？解：（)707272,2,(70)11(2)(2)0.922XNP X ；)2(100707272,(70)110.9555100/nnXNP X

12、nn 。4.设取自正态总体，求。解：由于,故。5.设来自总体,为样本方差,求。解：22442222222(1)2,(1),()(1)2(1)1(1)1nSESnD SDnnnnn。六参数估计 1.设随机变量，其中已知。为样本均值,求得矩估计量。解:。2.设总体得概率密度函数为：，其中就就是未知参数,求得矩估计量。解:。3.设总体得分布律为 现有样本:,求得矩估计值与极大似然估计值。解：（1),将代入得;(2)似然函数 ln13613ln13ln3ln(12)01223LL。4.设总体得概率密度函数为。(1)求;(2)求得矩估计量。解:()dxexeexdeedxxedxxxfXExxxx)()

13、()(;(2)。5.设轴承内环得锻压零件得平均高度服从正态分布。现在从中抽取只内环,其平均高度毫米,求内环平均高度得置信度为得置信区间。解:已知，置信区间为。将代入，得所求置信区间为。6.为了估计一批钢索所能承受得平均张应力(单位：千克力/平方米),从中随机地选取了个样品作实验,由实验所得数据算得:，设钢索所能承受得张应力服从正态分布,试在置信水平 95%下求这批钢索所能承受得平均张应力得置信区间。解:未知,置信区间为。将代入,得所求置信区间为。7.冷铜丝得折断力服从正态分布,从一批铜丝中任取根，测试折断力，得数据为 57,572,570,68,572,57,7,59,584，5 求:(1）样

14、本均值与样本方差;(2）方差得置信区间()。解:（）;（2)未知,置信区间为2222122(1)(1)975.73975.73,(35.83,252.40)(1)(1)19.02282.7004nsnsnn。七假设检验 1.某糖厂用自动打包机装糖,已知每袋糖得重量(单位:千克)服从正态总体分布,今随机地抽查了 9 袋,称出它们得重量如下:5，94,，15,2,4，8,05 问在显著性水平下能否认为袋装糖得平均重量为0 千克？解:由题意需检验。已知,拒绝域为，将代入,得。未落入拒绝域中，故接受,即可以认为袋装糖得平均重量为千克。2.某批矿砂得 5 个样本得含金量为:设测定值总体服从正态分布,问在

15、显著性水平、1 下能否认为这批矿砂得金含量得均值为?解:由题意需检验。未知,拒绝域为，将代入得。未落入拒绝域中，故接受,即可以认为这批矿砂得含金量得均值为。3.某种螺丝得直径,先从一批螺丝中抽取个测量其直径,其样本均值,方差。问能否认为这批螺丝直径得方差仍为()？解:由题意需检验。未知,拒绝域为或。将代入得。未落入拒绝域中,故接受,即可以认为这批螺丝直径得方差仍为。4.某厂生产得电池得寿命长期以来服从方差得正态分布。现从一批产品中随机抽取个电池,测得其寿命得样本方差,问能否推断这批电池寿命得波动性较以前有显著得增大()？解：由题意需检验。未知,拒绝域为。将代入得,落入拒绝域中,故拒绝,即能推断这批电池寿命得波动性较以前有显著增大。