中考数学动点问题专题讲解 甄选.pdf

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1、.中考数学动点问题专题讲解（优选.)动点及动图形的专题复习教案动点及动图形的专题复习教案所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目性题目.解决这类问题的关键是动中求静解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题灵活运用有关数学知识解决问题.关键关键:动中求静动中求静.数学思想：分类思想数学思想：分类思想 函数思想函数思想方程思想方程思想数形结合思想转化思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形

2、、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力图形在动点动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问

3、题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点专题一：建立动点问题的函数解析式专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由

4、于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式一、应用勾股定理建立函数解析式)如图 1,在半径为 6,圆心角为 90的扇形 OAB 的弧 AB 上,有一个动点 P,PHOA,垂足为 H,OPH 的重心为 G.(1)当点 P 在弧 AB 上运动时,线段 GO、GP、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设 PH x,GP y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x的取值范围).(

5、3)如果PGH 是等腰三角形,试求出线段 PH 的长.解:(1)当点P在弧AB上运动时,OP保持不变,于是B线段 GO、GP、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是 GH=NH=(2)在 RtPOH 中,在 RtMPH 中,MP PH2 MH2x29121x363x242232 1OP=2.3 2POH OP2 PH236 x2,ONGxHAyMH 11OH 36 x2.22M图 1.y=GP=MP=GP=PH 时,GP=GH23136 3x23(0 x6).经检验,x 6是原方程的根,且符合题意.经检验,x 0是原方程的根,但不符合题意.(3)PGH 是等腰三角形有三种可能情况:1363

6、x2 x,解得x 6.31时,363x2 2,解得x 0.3PH=GH 时,x 2.综上所述,如果PGH 是等腰三角形,那么线段 PH 的长为6或 2.二、应用比例式建立函数解析式二、应用比例式建立函数解析式例 2 如图 2,在ABC 中,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC 上运动.设 BD=x,CE=y.(1)如果BAC=30,DAE=105,试确定y与x之间的函数解析式；(2)如果BAC的度数为,DAE的度数为,当,满足怎样的关系式时,(1)中y与x之间的函数解析式还成立?试说明理由.A解:(1)在ABC 中,AB=AC,BAC=30,ABC=ACB=75,ABD=ACE=105.B

7、AC=30,DAE=105,DAB+CAE=75,DCB可编辑1/5doc 格式图 2E.又DAB+ADB=ABC=75,CAE=ADB,ADBEAC,ABBD,CEAC1xy1,y.21x(2)由于DAB+CAE=,又DAB+ADB=ABC=90,且函数关系式成立,90=,整理得2290.1x当290时,函数解析式y 成立.如三、应用求图形面积的方法建立函数关系式三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例 4（）如图,在ABC 中,BAC=90,AB=AC=2 2,A 的半径为 1.若点 O 在 BC 边上运动(与点 B、C 不重合),设 BO=x,AOC 的面积为y.(1)求y关于x的函数解

8、析式,A(2)以点 O 为圆心,BO 长为半径作圆 O,求当O 与A 相切时,AOC 的面积.解:(1)过点 A 作 AHBC,垂足为 H.BAC=90,AB=AC=2 2,BC=4,AH=BC=2.x.BOC=4-OHSAOC1OC AH212C图 8,y x 4(0 x 4).(2)当O 与A 外切时,在 RtAOH 中,OA=x 1,OH=2 x,(x 1)2 22(2 x)2.解得x.此时,AOC 的面积y=4 当O 与A 内切时,在 RtAOH 中,OA=x 1,OH=x 2,(x 1)2 22(x 2)2.解得x.此时,AOC 的面积y=471.2217676717.6672综上所

9、述,当O 与A 相切时,AOC 的面积为或.12专题二：动态几何型压轴题专题二：动态几何型压轴题动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、以动态几何为主线的一、以动态几何为主线的（二）线动问题（二）线动问题在矩形 ABCD 中，AB3，点 O 在对角线 AC 上，直线 l

10、 过点 O，且与 AC 垂直交 AD 于点 E.(1)若直线 l 过点 B，把ABE 沿直线 l 翻折，点 A 与矩形 ABCD 的对称中心 A重合，求 BC 的长；(2)若直线 l 与 AB 相交于点 F，且 AOAC，设 AD积为 S.求 S 关于x的函数关系式，并指出x的取探索：是否存在这样的x，以 A 为圆心，以x存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由 题型背景和区分度测量点题型背景和区分度测量点 本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与在性的研究形成了区分度测量点二 区分度性小题处理手法区

11、分度性小题处理手法 1找面积关系的函数解析式，规则图形套用公34lAOEAD14的长为x，五边形 BCDEF 的面值范围；长为半径的圆与直线 l 相切，若BlAOFBECD关知识编制得到第一小题考当直线l沿 AB 边向上平移时，圆的位置关系(相切问题)的存C式或用割补法，不规则图形用2/5doc 格式 可编辑.割补法2直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用 d=r 建立方程3解题的关键是用含x的代数式表示出相关的线段.略解略解(1)A是矩形 ABCD 的对称中心ABAAACABAB，AB3AC6BC 3 31212x29(2)AC x 9，AO x 9，AF(x 9)，AE 4124x1(x2

12、9)2(x29)2SAEFAE AF，S 3x 296x96x x4 270 x281S(3 x 3 3)96x3188若圆 A 与直线 l 相切，则x x29，x1 0(舍去)，x2x23不存在这样的x，使圆4455212A 与直线 l 相切.（例 3：如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC=4，OABC 于 O,点 E 和点 F 分别在边 AB、AC 上滑动并保持 AE=CF,但点 F 不与 A、C 重合，点 E 不与 B、A 重合。判断OEF 的形状，并加以证明。A A判断四边形 AEOF 的面积是否随点 E、F 的变化而变化，若变化，求其变化E E范围，若不变化，求它的值.F

13、FAEF 的面积是否随着点 E、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。C CB BO O本题包容的内涵十分丰富，还可以提出很多问本题包容的内涵十分丰富，还可以提出很多问题研究：题研究：比如，比较线段 EF 与 AO 长度大小等（可以通过 A、E、O、F 四点在以 EF 为直径的圆上得出很多结论）DC例 8：如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点 P 沿 AB 边从点 A开始向点 B 以 2 厘米/秒的速度移动；点 Q 沿 DA边从点D 开始向点 A以 1厘米/秒的速度移动。如果、同时出发，用 t 秒表Q示移动的时间（0 t 6），那么：（1）当 t 为

14、何值时，三角形 QAP 为等腰三角APB形？（2）求四边形 QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论；（3）当 t 为何值时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相似？分析：（1）当三角形 QAP 为等腰三角形时，由于A 为直角，只能是 AQ=AP，建立等量关系，2t 6 t，即t 2时，三角形 QAP 为等腰三角形；（2）四边形 QAPC 的面积=ABCD 的面积三角形 QDC 的面积三角形 PBC 的面积1112612 x(12 2x)622=36，即当 P、Q 运动时，四边形 QAPC 的面积不变。（3）显然有两种情况：PAQABC，QAPABC，2x122x6由相似关系得6

15、 x6或6 x12，解之得x 3或x 1.2建立关系求解，包含的内容多，可以是函数关系，可以是方程组或不等式等，通过解方程、或函数的最大值最小值，自变量的取值范围等方面来解决问题；也可以是通过一些几何上的关系，描述图形的特征，如全等、相似、共圆等方面的知识求解。专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题例题例题 如图 1，已知抛物线的顶点为 A（2，1），且经过原点 O，与 x 轴的另一个交点为 B。1y x2 x4求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为）若点 C 在抛物线的对称轴上，点 D 在抛物线上，且以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形为

16、平行四边3/5doc 格式 可编辑.形，求 D 点的坐标；连接 OA、AB，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P，使得 OBP 与 OAB 相似？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。O Oy yA AB Bx xO Oy yA AB Bx x图 1例 1 题图图 2分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按 OB 为边和对角线两种情况2.函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是

17、否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。例例 1(1(，已知ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点 Q 到达点 C 时，P、Q 两点都停止运动，设运动时间为 t（s），解答下列问题：（1）当 t2 时，判断BPQ 的

18、形状，并说明理由；（2）设BPQ 的面积为 S（cm2），求 S 与 t 的函数关系式；（3）作 QR/BA 交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时，APRPRQ？分析分析:由 t2 求出 BP 与 BQ 的长度,从而可得BPQ 的形状;作 QEBP 于点 E,将 PB,QE 用 t 表示,由SBPQ=BPQE 可得S 与 t 的函数关系式;先证得四边形 EPRQ 为平行四边形,得 PR=QE,再由APRPRQ,对应边成比例列方程,从而 t 值可求.解解:(1)BPQ 是等边三角形,当 t=2 时,AP=21=2,BQ=22=4,所以 BP=AB-AP=6-2=4,即 BQ=BP.又

19、因为 B=600,所以 BPQ 是等边三角形.(2)过 Q 作 QEAB,垂足为 E,由 QB=2t,得 QE=2tsin600=3t,由 AP=t,得 PB=6-t,所以SBPQ=BPQE=(6-t)3t=12121232t+33t；2(3)因为 QR BA,所以 QRC=A=600，RQC=B=600，又因为 C=600,所以 QRC 是等边三角形,这时 BQ=2t,所以 QR=RC=QC=6-2t.因为 BE=BQcos600=2t=t,AP=t,所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以 EP=QR,又 EP QR,所以四边形 EPRQ 是平行四边形,所以 PR=EQ=3

20、t,由 APR PRQ,得到6512APPR,即t3tPRRQ3t62t,解得 t=,65所以当 t=时,APR PRQ.点评点评:本题是双动点问题本题是双动点问题.动态问题是近几年来中考数学的热点题型动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大这类试题信息量大,对同学们获取对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、挖掘运动、变化的全过变化的全过4/5doc 格式 可编辑.程程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系并特别关注运动与变化中的不变量

21、、不变关系或特殊关系,动中取静动中取静,静中求动静中求动.)如图，在RtABC中，A 90，AB 6，AC 8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ BC于Q，过点Q作QRBA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动设BQ x，QR y（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；A（3）是否存在点P，使PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有REDP满足要求的x的值；若不存在，请说明理由分析分析:由 BHD BAC,可得 DH;由 RQC ABC,可得BH QCy关于x的函数关系式;由腰相等列方程可得x的

22、值;注意需分类讨论.解：解：（1）A Rt，AB 6，AC 8，BC 10点D为AB中点，BD DHB A 901AB 32DHBD，ACBC，B BBHD BAC，DH（2）BD312 AC 8 BC105QRAB，QRC A 90C C，RQC ABC，RQQCy10 x3，即y关于x的函数关系式为：y x6ABBC6105（3）存在.按腰相等分三种情况：RM当PQ PR时，过点P作PM QR于M，则QM A12 90，C 2 90，1 CR84QM4EDPcos1 cosC，105QP5CB13x6425，x 1812555A312当PQ RQ时，x6，55DPERx 6当PR QR时，则R为PQ中垂线上的点，BQH于是点R为EC的中点，11CR CE AC 224QRBAtanC，CRCA3x61565，x 2281815综上所述，当x为或 6 或时，PQR为等腰三角形521 M2H QC点评点评:建立函数关系式,实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示;要求使PQR为等腰三角形的x的值,可假设PQR为等腰三角形,找到等量关系,列出方程求解,由于题设中没有指明等腰三角形注意分情况赠人玫瑰，手留余香。感谢您使用本店文档您的满意是我们的永恒的追求！（本句可删）-5/5doc 格式 可编辑