立体几何10道大题.pdf

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1、立体几何练习题 1、四棱锥中,底面为平行四边形,侧面面,已知,、(1)设平面与平面得交线为,求证:;(2)求证:;(3)求直线与面所成角得正弦值、2、如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 就是平行四边形,AD=AC=1,O 为 AC 得中点,PO 平面ABCD,PO=2,M 为 PD 得中点。(1)证明:PB/平面 ACM;(2)证明:AD 平面 PAC(3)求直线 AM 与平面 ABCD 所成角得正切值。3、如图,四棱锥中,与都就是等边三角形.(1)证明:平面;(2)求二面角得平面角得余弦值.4、如图,四棱锥 PABCD 中,PA底面 ABCD,ACAD.底面 ABCD 为梯形,

2、ABDC,ABBC,PA=AB=BC=3,点 E 在棱 PB 上,且 PE=2EB.()求证:平面 PAB平面 PCB;()求证:PD平面 EAC;()求平面 AEC 与平面 PBC 所成锐二面角得余弦值.5、如图,已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直线,平面平面,且,且.(1)设点为棱中点,在面内就是否存在点,使得平面？若存在,请证明;若不存在,请说明理由;(2)求二面角得余弦值、6、如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,平面 A1BC侧面 A1ABB1,且 AA1=AB=2.(1)求证:ABBC;(2)若直线 AC 与平面 A1BC 所成得角为,求锐二面角 AA1CB 得大小.7、

3、在四棱锥 VABCD 中,底面 ABCD 就是正方形,侧面 VAD 就是正三角形,平面 VAD底面 ABCD.(1)求证 AB面 VAD;(2)求面 VAD 与面 VDB 所成得二面角得大小.8、如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 为菱形,且BAD=,对角线 AC 与 BD 相交于 O,OF平面 ABCD,BC=CE=DE=2EF=2.()求证:EFBC;()求面 AOF 与平面 BCEF 所成锐二面角得正弦值.9、如图,在四棱锥 PABCD 中,底面为直角梯形,ADBC,BAD=90,PA底面 ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N 分别为 PC、PB 得中点.()求证

4、:PBDM;()求 BD 与平面 ADMN 所成得角.10、如图,在等腰梯形中,四边形 为矩形,平面平面,、(1)求证:平面;(2)点在线段上运动,设平面与平面二面角得平面角为,试求得取值范围、立体几何试卷答案 (2)证明:连接 AC,由余弦定理得,6 分 取中点,连接,则、面 8 分()如图,以射线 OA 为轴,以射线 OB 为轴,以射线 OS 为轴,以为原点,建立空间直角坐标系,B y S C A D 2、试题解析:(1)证明:为 AC 得中点,即 O 为 BD 得中点,且 M 为 PD 得中点,又平面 ACM,平面 ACM,所以 PB/平面 ACM。(2)证明:因为,AD=AC,所以,所

5、以,又 PO 平面 ABCD,所以 所以 AD 平面 PAC。(3)取 OD 得中点为 N,因为所以 MN 平面 ABCD,所以为直线 AM 与平面 ABCD 所成角。因为 AD=AC=1,所以 所以又所以 3、(1)证明见解析;(2).试题解析:(1)证明:过作平面于,连.依题意,则.又为,故为得中点.面,面面.在梯形中,4、【解答】()证明:PA底面 ABCD,BC底面 ABCD,PABC.又 ABBC,PAAB=A,BC平面 PAB.又 BC平面 PCB,平面 PAB平面 PCB.()证明:PCAD,在梯形 ABCD 中,由 ABBC,AB=BC,得BAC=,DCA=BAC=,又 ACA

6、D,故DAC 为等腰直角三角形,DC=AC=(AB)=2AB.连接 BD,交 AC 于点 M,则=2.连接 EM,在BPD 中,=2,PDEM,又 PD/平面 EAC,EM平面 EAC,PD平面 EAC.()解:以 A 为坐标原点,AB,AP 所在直线分别为 y 轴,z 轴,建立如图所示得空间直角坐标系.则 A(0,0,0),B(0,3,0),C(3,3,0),P(0,0,3),E(0,2,1)设=(x,y,1)为平面 AEC 得一个法向量,则,=(3,3,0),=(0,2,1),解得 x=,y=,=(,1).设=(x,y,1)为平面 PBC 得一个法向量,则,又=(3,0,0),=(0,3,

7、3),解得 x=0,y=1,=(0,1,1).(取 PB 中点为 F,连接 AF 可证为平面 PBC 得一个法向量.)cos,=|=,平面 AEC 与平面 PBC 所成锐二面角得余弦值为、注:以其她方式建系得参照给分.5、(1)详见解析;(2)、试题分析:(1)连接,交于点,连接,证明平面,从而即为所求;(2)建立空间直角坐标系,求得两个平面得法向量后即可求解、试题解析:(1)连接,交于点,连接,则平面,为中点,为中点,为得中位线,又平面平面,平面平面,平面,6【解答】(本小题满分 14 分)(1)证明:如右图,取 A1B 得中点 D,连接 AD,因 AA1=AB,则 ADA1B 由平面 A1

8、BC侧面 A1ABB1,且平面 A1BC侧面 A1ABB1=A1B。得 AD平面 A1BC,又 BC平面 A1BC,所以 ADBC.因为三棱柱 ABCA1B1C1就是直三棱柱,则 AA1底面 ABC,所以 AA1BC.又 AA1AD=A,从而 BC侧面 A1ABB1,又 AB侧面 A1ABB1,故 ABBC.(2)解:连接 CD,由(1)可知 AD平面 A1BC,则 CD 就是 AC 在平面 A1BC 内得射影 ACD 即为直线 AC 与平面 A1BC 所成得角,则 在等腰直角A1AB 中,AA1=AB=2,且点 D 就是 A1B 中点,且,过点 A 作 AEA1C 于点 E,连 DE 由(1

9、)知 AD平面 A1BC,则 ADA1C,且 AEAD=A AED 即为二面角 AA1CB 得一个平面角,且直角A1AC 中:又,且二面角 AA1CB 为锐二面角,即二面角 AA1CB 得大小为.7、【解答】证明:(1)由于面 VAD 就是正三角形,设 AD 得中点为 E,则 VEAD,而面 VAD底面 ABCD,则 VEAB.又面 ABCD 就是正方形,则 ABAD,故 AB面 VAD.(2)由 AB面 VAD,则点 B 在平面 VAD 内得射影就是 A,设 VD 得中点为 F,连 AF,BF 由VAD就是正,则 AFVD,由三垂线定理知 BFVD,故AFB 就是面 VAD 与面 VDB 所

10、成得二面角得平面角.设正方形 ABCD 得边长为 a,则在 RtABF 中,AB=a,AF=a,tanAFB=故面 VAD 与面 VDB 所成得二面角得大小为.8、【解答】(本小题满分 12 分)证明:()四边形 ABCD 为菱形 ADBC,且 BC面 ADEF,AD面 ADEF,BC面 ADEF,且面 ADEF面 BCEF=EF,EFBC.解:()FO面 ABCD,FOAO,FOOB 又OBAO,以 O 为坐标原点,OA,OB,OF 分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,取 CD 得中点 M,连 OM,EM.易证 EM平面 ABCD.又BC=CE=DE=2EF=2,得出以下各点

11、坐标:B(0,1,0),C(,0,0),D(0,1,0),F(0,0,),E(,),向量=(,),向量=(,1,0),向量,设面 BCFE 得法向量为:,得到,令时,=(1,1),面 AOF 得一个法向量,设面 AOF 与面 BCEF 所成得锐二面角为,则 cos=,sin=.故面 AOF 与面 BCEF 所成得锐二面角得正弦值为.9 9 如图,以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 Axyz,设 BC=1,则 A(0,0,0)P(0,0,2),B(2,0,0),M(1,12,1),D(0,2,0)()因为=0 所以 PBDM.()因为=0 所以 PBAD.又 PBDM.因此得余角即就是 BD 与平面 ADMN.所成得角.因为所以=因此 BD 与平面 ADMN 所成得角为.10、试题解析:(1)证明:在梯形中,平面平面,平面平面,平面,平面、(2)由(1)分别以直线为轴,轴,轴发建立如图所示空间直角坐标系,令,则,、设为平面得一个法向量,由,得,取,则,就是平面得一个法向量,、,当时,有最小值,当时,有最大值,、