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1、【学习目标】1.理解分数指数的概念,掌握有理指数幂的运算性质(1)理解 n 次方根,n 次根式的概念及其性质,能根据性质进行相应的根式计算;(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广,了解它是根式的一种新的写法,能正确进行根式与分数指数幂的互化;(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.2.掌握无理指数幂的概念,将指数的取值范围推广到实数集;3.通过指数范围的扩大,我们要能理解运算的本质,认识到知识之间的联系和转化,认识到符号化思想的重要性,在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力;4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识,能学会透过表面去认清事物的本质【要点梳理】要点一、整数指数幂
2、的概念及运算性质 1整数指数幂的概念),0(1010*Z*naaaaaZnaaaannann 个 2运算法则(1)nmnmaaa;(2)mnnmaa;(3)0anmaaanmnm,;(4)mmmbaab.要点二、根式的概念和运算法则 1n 次方根的定义:若 xn=y(nN*,n1,yR),则 x 称为 y 的 n 次方根.n 为奇数时,正数 y 的奇次方根有一个,是正数,记为ny;负数 y 的奇次方根有一个,是负数,记为ny;零的奇次方根为零,记为00 n;n 为偶数时,正数 y 的偶次方根有两个,记为ny;负数没有偶次方根;零的偶次方根为零,记为00n.2两个等式(1)当1n 且*nN时,n
3、naa;(2))(|)(,为偶数为奇数nanaann 要点诠释:要注意上述等式在形式上的联系与区别;计算根式的结果关键取决于根指数的取值,尤其当根指数取偶数时,开方后的结果必为非负数,可先写成的形式,这样能避免出现错误 要点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论,我们约定 a0,n,mN*,且mn为既约分数,分数指数幂可如下定义:1nnaa()mnmmnnaaa-1mnmnaa 要点四、有理数指数幂的运算 1有理数指数幂的运算性质 Qba,00,(1);aaa (2)();aa(3)();aba b 当 a0,p 为无理数时,ap是一个确定的实数,上述有理数指数幂的运算性质仍适用.要点诠释
4、:(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质,将根式转化为分数指数幂运算;2442)4()4(;2142)4()4(.有括号先算括号里的;无括号先做指数运算负指数幂化为正指数幂的倒数底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数,先要化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数运算性质在化简运算中,也要注意公式:a2b2(ab)(ab),(ab)2a22abb2,(ab)3a33a2b3ab2b3,a3b3(ab)(a2abb2),a3b3(ab)(a2abb2)的运用,能够简化运算.【典型例题】类型一、根式 例 1.求下列各式的值:(1)5242544(3);(2)(1
5、0);(3)(3);(4)()ab.【答案】-3;10;3;0abba(ab)(a=b)(ab)(a=b)(a0):(1)2aa;(2)332aa;(3)a a;(4)23633yxyxyx【答案】52a;113a;34a;54y【解析】先将根式写成分数指数幂的形式,再利用幂的运算性质化简即可(1)115222222;aaaaaa(2)221133323333aaaaaa;(3)1131322224()()a aa aaa;(4)解法一:从里向外化为分数指数幂 23633yxyxyx=123633()yxyxyx=232yxyxyx=1222()yxyx=11222yxyx=54y 解法二:从
6、外向里化为分数指数幂 23633yxyxyx=1236233()yxyxyx=112362233()yxyxyx=1112363223()yxyxyx=11123624123yxyxyx =54y【总结升华】此类问题应熟练应用*(0,1)mnmnaaam nN且n当所求根式含有多重根号时,要搞清被开方数,由里向外或由外向里,用分数指数幂写出,然后再用性质进行化简 举一反三:高清课程:指数与指数运算 例 1【变式 1】把下列根式用指数形式表示出来,并化简(1)52aa;63xxx【答案】(1)1310102 a;(2)23x【变式 2】把下列根式化成分数指数幂:(1)68 2;(2)(0)a a
7、 a;(3)332bb;(4)52231()xx【答案】7122;34a;113b;35x【解析】(1)68 2=117766322122222;(2)1331322224()a aa aaaa;(3)211332333bbbbb;(4)52231()xx=243325511()xxx x =35913935355111()xxxx 例 4.计算:(1)1111200.253473(0.0081)3()81(3)88;(2)433333391624337(3)2633634125(36)(4)(3)【答案】3;0;2【解析】(1)原式=331310)3231(31)3.0(211;(2)原式=
8、033236373333;(3)原式=-5+6+4-(3-)=2;注意:(1)运算顺序(能否应用公式);(2)指数为负先化正;(3)根式化为分数指数幂.举一反三:【变式 1】计算下列各式:(1)63425.0031)32(28)67()81(;(2)33323323134)21(428aabbababaa.【答案】112;【解析】(1)原式=62163141413)31)(1()3()2(2)2(181123222324143;(2)原式313131312313131231312)2(2)()8(abaabbaabaaababaa331331313131)2()()8(.【变式 2】计算下列各
9、式:高清课程:指数与指数运算 例 3 30312)26()03.1(2323)661()41(【答案】21+15 64【解析】原式=16+5+2+34=21+15 64 例 5.化简下列各式.(1)2132111136251546xyx yx y;(2)111222mmmm;(3)10.5233277(0.027)21259.【答案】1624y;1122mm【解析】(1)即合并同类项的想法,常数与常数进行运算,同一字母的化为该字母的指数运算;(2)对字母运算的理解要求较高,即能够认出分数指数的完全平方关系;(3)具体数字的运算,学会如何简化运算.(1)2132111136251546xyx y
10、x y 211 11()(1)()332 2665(4)5xy 110662424x yy(2)2112211122111122222mmmmmmmmmm(3)10.5233277(0.027)21259 2331252555=(0.027)-=0.09=0.0927933 举一反三:【变式 1】化简:233()xyxy.【答案】5766x y【解析】原式=1157113323233662222()()xyxyxyxyx y.注意:当 n 为偶数时,(0)|(0)nna aaaa a.【变式 2】化简222222223333xyxyxyxy【答案】32xyxy【解析】应注意到223xx与之间的
11、关系,对分子使用乘法公式进行因式分解,原式22223333333322223333()()()()xyxyxyxy 22222222222233333333()()()()xxyyxxyy 2332()2xyxyxy .【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质;(2)被开方数分母为 1,且不含非正整数指数幂;(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.【变式 3】化简下列式子:(1)33223 (2)4 22 6 (3)3232x2x1x3x3x1 【答案】2 26;44182;2x(x1)2(x1)【解析】(1)原式22(33)2(33)2(33)33242
12、32(31)22(33)2(126 3)2 266(33)(33)(2)222444444(182)(18)2 182(2)244182 18 223 22 624 22 60 由平方根的定义得:444 22 6182(3)33233x3x3x1(x1)x1 2x1(x1)x2x1|x1|x1(x1)32322x(x1)x2x1x3x3x12(x1).高清课程:指数与指数运算 例 4 例 6已知32121xx,求23222323xxxx的值【答案】13【解析】从已知条件中解出的值,然后代入求值,这种方法是不可取的,而应设法从整体寻求结果与条件32121xx的联系,进而整体代入求值 32121x
13、x,129xx,17xx 22249xx,2245xx 23222323xxxx=11122()(1)3472xxxx =3(7 1)315145453【总结升华】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系,然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值本题的关键是先求3322xx及22xx的值,然后整体代入 举一反三:【变式 1】求值:(1)已知11225xx,求21xx的值;(2)已知 a0,b0,且 ab=ba,b=9a,求 a 的值.【答案】23;【解析】熟练掌握幂的运算是关键问题.(1)由11225xx,两边同时平方得 x+2+x-1=25,整理得:x+x-1=23,则有2123x
14、x;(2)a0,b0,又 ab=ba,1119()()(9)ababbbababaa 8182499933aaa.巩固练习 一、选择题 13x,则21 69xx等于()A.31xB.1 3xC.2(1 3)xD.非以上答案 33(3)a,44(2)b,则ab()B.5 C.-1D.25 2 13 2 242的结果是()1111132168421212121212,结果是()A.113211 22B.11321 2 C.13212 D.13211 22 5.44366399aa 等于()A.B.C.D.1,0ab,且2 2bbaa,则bbaa的值等于()A.B.C.二、填空题 7 37 34=.
15、(21)(12)bbb=.9.221331(2)(2)2=.3,2ab化简224(4129)aabb=.三、解答题 11.计算:(1)11221233112534316;(2)12323410.02750 0.00164.12.计算下列各式:(1)011430.753237(0.064)(2)16|0.01|8 ;(2)1122111122222ababababab。13.计算:232111333311111xxxxxxxx 巩固练习 一、选择题 1111132168421212121212,结果是()A.113211 22B.11321 2 C.13212 D.1321122 2.计算2 1
16、3 2 242的结果是()3.若1,0ab,且2 2bbaa,则bbaa的值等于()A.B.C.4.下列各式中错误的是()A.21153151(1)aaaa B.269463(,0)abab a b C.12211133342423424(,0)x yxyx yy x y D.113324115324153(,0)525a b cac a b cab c 5.122、133、166这三个数的大小关系为()A.166 133 122 B.166 113223 C.122 133 166 D.133 122 166 6.已知定义在上的奇函数()f x和偶函数()g x满足()()2xxf xg x
17、aa 0,1aa且,若(2)ga,则(2)f()A.2 B.154 C.174 D.二、填空题 7.212)2(.8.1133223232=.0 x,则13131142422223234()xxxxx=.14aa,则1122aa=.三、解答题 11.计算:(1)11221233112534316;(2)12323410.02750 0.00164.12.计算下列各式:(1)011430.753237(0.064)(2)16|0.01|8 ;(2)1122111122222ababababab 13.计算:232111333311111xxxxxxxx 2212213333334,3,3abxaa byba b.求证:2233xyxy为定值.15.(1)化简:111321114322abcc aa bb ca bb cc ax yx yxxx;(2)已知)0,0)(21baabbax,求11222xxxb的值.
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