数列的极限及运算法则.pdf

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1、数列的极限及其运算法则 学习要求：1理解数列极限的概念。正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想 2理解和掌握三个常用极限及其使用条件能运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力 3掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列的极限 4.掌握无穷等比数列各项的和公式.学习材料：一、基本知识 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数 无限增大时，无穷数列 的项 无限趋近于某个常数 （即 无限趋近于 ），那么就说数列 以 为极限，或者说 是数列 的极限记作 ，读作“当 趋向于无穷大时，的极限等于 ”“”表示“趋向于无穷大”，即 无限增大

2、的意思 有时也记作：当 时，理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数 的无限增大，数列的项 无限地趋近于某个常数 ”的意义有两个方面：一方面，数列的项 趋近于 是在无限过程中进行的，即随着 的增大 越来越接近于 ；另一方面，不是一般地趋近于 ，而是“无限”地趋近于 ，即 随 的增大而无限地趋近于 0.2.几个重要极限：（1）（2）（是常数）（3）(为常数 )，当 时，；当 或 时，不存在。3.数列极限的运算法则:与函数极限的运算法则类似,如果 那么 特别：若 为常数，则 推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况如，若 ，有极限，则 二

3、、基本题目 1判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由 （1）1，；（2），；（3）2.（1）若 ，则 的取值范围是 。（2）数列 的前 项和为 ，且 ，求 的值。3 已知 ，求 解：因为 ，所以 4 求下列极限：（1）；（2）解：（1）；（2）5 求下列极限：(1).(2).(3).(4).解：(1).(2)(方法一).(方法二)，.分子、分母同除 的最高次幂.第二个题目不能体现“分子、分母同除 的最高次幂”这个方法的优势.这道题目就可以.使用上述方法就简单多了.因为分母上是 ，有常数项，所以(2)的方法一就不能用了.(3).规律一：一般地，当分子与分母是关于 的次数相同的多

4、项式时，这个公式在 时的极限是分子与分母中最高次项的系数之比.(4)分子、分母同除 的最高次幂即 ，得.规律二：一般地，当分子、分母都是关于 的多项式时，且分母的次数高于分子的次数时，当 时，这个分式极限为 0.6求下列极限.(1).(2).(3).解：(1).(2).(3).说明：当 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在 7 求下列极限：（1）；（2）解：先求和再求极限 （1）（2）8 公比绝对值小于 1 的无穷等比数列前 n 项和的极限 公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前 n 项的和，当 n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和.设无穷等比数列 的公比 的绝对值小于 1，则其各项的和 为 （1）求无穷等比数列 0.3，0.03，0.003，各项的和.解：0.3，0.03，0.003，的首项 ，公比 所以 s=0.3+0.03+0.003+=（2）将无限循环小数 化为分数.解：练习：如图，在边长为 的等边 中，圆 为 的内切圆，圆 与圆 外切，且与 相切，圆 与圆 外切，且与 相切，如此无限继续下去，记圆 的面积为 .()证明 是等比数列；（）求 的值.