线性代数(两套)试题及答案.pdf

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1、-16-（试卷一）一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2 分）1.排列 7623451 的逆序数是_。2.若122211211aaaa，则160030322211211aaaa 3.已知n阶矩阵A、B和C满足EABC，其中E为n阶单位矩阵，则CAB 1。4.若A为nm矩阵，则非齐次线性方程组AXb有唯一解的充分要条件是 _ 5.设A为8 6的矩阵，已知它的秩为 4，则以A为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_2_。6.设 A 为三阶可逆阵，1230120011A，则*A 7.若 A 为nm矩阵，则齐次线性方程组0Ax 有非零解的充分必要条件是 8.已知五阶行列式123453201111

2、1112140354321D，则4544434241AAAAA 9.向量(2,1,0,2)T的模（范数）_。10.若Tk11与T121正交，则k 二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1.向量组r,21线性相关且秩为 s，则(D)sr sr rs rs 2.若 A 为三阶方阵，且043,02,02EAEAEA，则A(A)8 8 -16-34 34 3设向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则(d)()(ARBR )()(ARBR)()(ARBR )()(ARBR 4.设n阶矩阵A的行列式等于D，则 kA等于_。c )(AkA )(BAkn )(C Akn 1 )(D A 5.设n阶矩

3、阵A，B和C，则下列说法正确的是_。)(AACAB 则 CB )(B 0AB,则0A或0B )(C TTTBAAB)()(D 22)(BABABA 三、计算题（本题总计 60 分。1-3 每小题 8 分,4-7 每小题 9 分）1.计算n阶行列式22221D 22222 22322 21222n n2222。2设 A 为三阶矩阵，*A为 A 的伴随矩阵，且21A，求*AA2)3(1.3求矩阵的逆 111211120A 4.讨论为何值时，非齐次线性方程组21231231231xxxxxxxxx 有唯一解；有无穷多解；无解。5.求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。

4、522132243143214321xxxxxxxxxxx -16-6.已 知 向 量 组T32011、T53112、T13113、T94214、T52115，求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示 7.求矩阵201034011A的特征值和特征向量 四、证明题（本题总计 10 分）设为bAX 0b的一个解，12,n r 为对应齐次线性方程组0AX的基础解系，证明12,n r 线性无关。（答案一）一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2 分）115；2、3；3、CA；4、nbARAR),(；5、2；6、123012001；7、nAR；8、0；9、3；10、1。.二、选择

5、题（本题总计 10 分，每小题 2 分 1、D；2、A；3、D；4、C；5、B 三、计算题（本题总计 60 分，1-3 每小题 8 分，4-7 他每小题 9 分）1、解：D),4,3(2nirri00021 00022 00122 03022n 20022n -3 分 122rr 00001 00022 00122 03022n 20022n-6 分 )!2(2)2()3(21)2(1nnn-8 分（此题的方法不唯一，可以酌情给分。）解：（1）11111111124121311211111111112AAB-1 分 -16-222222222602222464420004242-5 分 （2）

6、171111610239511311131122BA161287113084-8 分 3.设 A 为三阶矩阵，*A为 A 的伴随矩阵，且21A，求*AA2)3(1.因*AAEE21A，故411nA*A 3 分 *AAA211A 5 分 27164134342322)3(31*AAAAA 8 分 4、解：100111010011001001),(EA1312rrrr101110011010001001-3 分 23rr 112100011010001001)1()1()1(321rrr112100011010001001-6 分 故1120110011A-8 分 （利用AAA11公式求得结果也正

7、确。）5、解；21111111),(bA131231rrrrrr322211101101123rr )1()1()1)(2(0011011222-3 分 （1）唯一解：3),()(bARAR 21且 -5 分 （2）无穷多解：3),()(bARAR 1 -7 分 （3）无解：),()(bARAR 2 -9 分 （利用其他方法求得结果也正确。）-16-6、解：522011113221111),(bAr000003111052201-3 分 0022432431xxxxxx 基础解系为 01121，10122-6 分 3522432431xxxxxx 令043 xx，得一特解：0035-7 分 故

8、原方程组的通解为：101201120035212211kkkk，其中Rkk21,-9 分（此题结果表示不唯一，只要正确可以给分。）7、解：特征方程2110430(2)(1)102AE 从而1232,1 (4 分)当12时，由(2)0AE X得基础解系1(0,0,1)T，即对应于12的全部特征向量为11k1(0)k (7 分)当231时，由()0AE X得基础解系2(1,2,1)T，即对应于231的全部特征向量为22k2(0)k 四、证明题（本题总计 10 分）证：由12,n r 为对应齐次线性方程组0AX的基础解系，则12,n r 线性无关。(3 分)反证法：设12,n r 线性相关，则可由1

9、2,n r 线性表示，即：rr11 (6 分)因齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组解，故必是0AX的解。这与已知条件为bAX 0b的一个解相矛盾。(9 分).有上可知，12,n r 线性无关。(10 分)-16-(试卷二)一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2 分）1.排列 6573412 的逆序数是 2.函数()f x 21112xxxxx中3x的系数是 3设三阶方阵 A 的行列式3A,则*1()A=A/3 4n 元齐次线性方程组 AX=0 有非零解的充要条件是 5设向量(1,2,1)T，=22正交，则 6三阶方阵 A 的特征值为 1，1，2，则A 7.设1121021003A

10、，则_A.8.设A为8 6的矩阵，已知它的秩为 4，则以A为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_ 9设 A 为 n 阶方阵，且A2 则1*1()3AA 10已知20022311Ax相似于12By，则x ，y 二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1.设 n 阶矩阵 A 的行列式等于D，则A5等于 (A)(5)nD (B)-5D (C)5D (D)1(5)nD 2.n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是 .(A)矩阵A有n个线性无关的特征向量 (B)矩阵A有n个特征值 -16-(C)矩阵A的行列式0A (D)矩阵A的特征方程没有重根 3A 为mn矩阵，则非齐次线性方程组AXb有唯

11、一解的充要条件是 (A)(,)R A bm (B)()R Am (C)()(,)R AR A bn (D)()(,)R AR A bn 4.设向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则()(A)()(ARBR (B)()(ARBR(C)()(ARBR (D)()(ARBR 5.向量组12,s 线性相关且秩为 r，则 (A)rs (B)rs (C)rs (D)sr 三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10 分）1.计算 n 阶行列式:22221D 22222 22322 21222n n2222.2已知矩阵方程AXAX，求矩阵X,其中220213010A.3.设n阶方阵A满足0422EAA,证

12、明3AE可逆，并求1(3)AE.4求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系:1234123412342342323883295234xxxxxxxxxxxxxxx -16-5求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示 123421234,1,3,5.2012 6已知二次型：323121232221321844552),(xxxxxxxxxxxxf，用正交变换化),(321xxxf为标准形，并求出其正交变换矩阵Q 四、证明题（本题总计 10 分，每小题 10 分）设11ba,212baa,12rrbaaa,且向量组raaa,21线性无关，证明向量组r

13、bbb,21线性无关.(答案二)一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2 分）1.17 2.-2 313A4()R An52 6-27116A或121102160038 29、21n）（10、2,0yx 二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1.A 2.A 3.C 4.D 5.B 三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10 分）1、解：D),4,3(2nirri00021 00022 00122 03022n 20022n -4 分 122rr 00001 00022 00122 03022n 20022n-7 分 )!2(2)2()3(21)2(1nnn-10 分（此题的方法不

14、唯一，可以-16-酌情给分。）2求解AXAX，其中 220213010A 解：由AXAX得 1XAEA (3 分)120220,203213011010AE A (6 分)100226010203001213r (8 分)所以 226203213X (10 分)3解：利用由0422EAA可得：0)(3(EEAEA -5 分 即 EEAEA)(3(-7 分 故EA 3可逆且)()3(1EAEA-10 分 4求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系 12341234123412323238832295234xxxxxxxxxxxxxxx 解：1112321388()32195

15、01234A b11123012340011200000r (2 分)10021010100011200000r (4 分)则有 1424342102xxxxxx (6 分)取4x为 自 由 未 知 量，令4xc，则 通 解 为：123421101210 xxcxx cR -16-(8 分)对应齐次线性方程组的基础解系为：2111 (10 分)5求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示 123421234,1,3,5.2012 解：1234 =212321232123413501110111201201110000 1101201110000 (2 分)12,为一个极

16、大无关组.(4 分)设 31122xx，41122yy 解得 12121xx，1211yy.(8 分)则有 31212，412 6 解 323121232221321844552),(xxxxxxxxxxxxf f的矩阵 542452222A (2 分)A的特征多项式)10()1()(2 (4 分)121的 两 个 正 交 的 特 征 向 量 1101p,1142p 103的 特 征 向 量 2213p 正 交矩 阵 32231213223121312340Q 8 分)正 交变 换yQx：标 准 形-16-23222110yyyf 四、证明题（本题总计 10 分）若设,2121211,rraa

17、abaabab且向量组raaa,21线 性 无 关，证 明 向 量 组rbbb,21线 性 无 关.证 明：设 存 在12,rR，使 得 1122rrb+b+b=0 也 即 1 121212()()0rraaaaaa 化 简 得 12122()()0rrrraaa 又 因 为12,ra aa线 性 无 关，则122000rrr(8分)解 得 120r 所以，12rb,b,b线性无关.（试卷三）一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2 分）1、按自然数从小到大为标准次序，则排列(2)(22)2nn的逆序数为 2、设 4 阶行列式4abcddacdDbdcaadcb，则11213141AAAA

18、3、已知1103027002A，则 1*A 4、已知 n 阶矩阵 A、B 满足ABBA，则1EB 5、若 A 为nm矩阵，则齐次线性方程组A x0只有零解的充分必要条件是 6、若 A 为nm矩阵，且()3min,R An m，则齐次线性方程组A x0的基础解系中包含解向量的个数为 7、若向量123T与向量11T正交，则 8、若三阶方阵 A 的特征多项式为2(1)(1)AE，则A -16-9、设三阶方阵1223A、12B，已知6A，1B，则AB 10、设向量组123,线性无关，则当常数l满足 时，向量组213213,l 线性无关.二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1、以下等式正确的

19、是()dcbakdkcbka dcbakkdkckbka dcbadcdbca abcddcba 2、4 阶行列式det()ija中的项11334422a a a a和2431 1342a a a a的符号分别为（）正、正 正、负 负、负 负、正 3、设 A 是mn矩阵，C 是 n 阶可逆阵，满足 BAC.若 A 和 B 的秩分别为Ar和Br，则有()ABrr ABrr ABrr 以上都不正确 4、设 A 是mn矩阵，且()R Amn，则非齐次线性方程组A xb()有无穷多解 有唯一解 无解 无法判断解的情况 5、已知向量组1234,线性无关，则以下线性无关的向量组是（）12233441,12

20、233441,12233441,12233441,三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10 分）1求矩阵1124A的特征值和特征向量 -16-2计算1n阶行列式 01111110010010001nnnaaDaa 3已知矩阵010100001A，100001010B，143201120C，且满足AXBC，求矩阵 X.4求下列非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方程组的通解 123451234523451234513233226054335xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 5已知矩阵12112112146422463979A，求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组，并把

21、其余向量用该最大无关组线性表示 6已知 A 为三阶矩阵，且2A ，求1*1312AA 四、证明题（本题总计 10 分）设向量组12,n 中前1n个向量线性相关，后1n个向量线性无关，试证：（1）1可由向量组231,n 线性表示；（2）n不能由向量组121,n 线性表示.（试卷四）一、填空题（本题总计 16 分，每小题 2 分）1、按自然数从小到大为标准次序，则排列13(21)24(2)nn的逆序数为 2、4 阶行列式4124811111416641525125D -16-3、已知11 10029002A，*A为 A 的伴随矩阵，则 1*A 4、已知 n 阶方阵 A 和 B 满足BAAB，则1E

22、B 5、已知 A 为mn矩阵，且()min,R Arm n，则以 A 为系数矩阵的齐次线性方程组A x0的基础解系中包含解向量的个数为 6、已知四维列向量T31521、T1051102、T11143，且xxx321523，则x 7、把向量1022T单位化得 8、若三阶方阵 A 的特征多项式为2()(1)(1)f，则2AE 二、选择题（本题总计 14 分，每小题 2 分）1、已知,a b c d kR，则以下等式正确的是()dcbakdkcbka dcbakkdkckbka dcbadcdbca abcddcba 2、设A 和 B 为 n 阶方阵，下列说法正确的是（）若ABAC，则BC 若0AB

23、，则0A或0B 若0AB，则0A 或0B 若0AE，则AE 3、设 A 是mn矩阵，且()R Amn，则非齐次线性方程组A xb()有唯一解 有无穷多解 无解 无法判断解的情况 4、向量组的秩就是向量组的（）极大无关组中的向量 线性无关组中的向量 极大无关组中的向量的个数 线性无关组中的向量的个数 5、已知 n 阶方阵 A、B 和 C 满足 ABC=E，其中 E 为 n 阶单位矩阵，则1B()11A C AC CA 11C A 6、设 A 为三阶方阵，*A为 A 的伴随矩阵，且41A，则*AA3)4(1（）-16-2716 2716 21 21 7、已知n 元齐次线性方程组A x0的系数矩阵的

24、秩等于n-3，且123,是A x0的三个线性无关的解向量，则A x0的基础解系可为（）122331,312123,122331,122331,三、计算题（本题总计 60 分，1-3 每小题 8 分，4-7 每小题 9 分）1计算n阶行列式 nxaaaaxaaDaaxaaaax 2已知三阶方阵100110111A，求21(2)(4)AEAE 3已知矩阵121210110A，010210021B，求ABBA.4求下列非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方程组的通解 1212341234522153223xxxxxxxxxx 5判定向量组123(2,1,1,1),(0,3,2,0),(2,4,3,1)TTT的线性相关性。6已知矩阵11222201121102421123A，求矩阵A的秩及列向量组的一个最大无关组.7已知211020413A，求可逆阵P，使得1P AP为对角阵.-16-四、证明题（本题总计 10 分）设为非齐次线性方程组Axb的一个解，12,r 为对应齐次线性方程组的基础解系.试证：向量组12,r 线性无关。