矩阵论试卷及答案A.pdf

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1、 矩阵论试卷及答案 A Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】南京航空航天大学 2011 级硕士研究生 共 5 页 第 1 页 2011 2012 学年第 1学期 矩阵论 课程考试 A卷 考试日期：2012 年 1月 9 日，课程编号：A000003，命题教师：阅卷教师：学院 专业 学号 姓名 成绩 一（20 分）设3615125125A。（1）求A的特征多项式和A的全部特征值；（2）求A的行列式因子，不变因子，初等因子和最小多项式；（3）写出A的 Jordan 标准形J。（1）3IA，3 A的特征值123

2、1,0；3（2）A的行列式因子31,；3 A的不变因子21,；3 A的初等因子2,；2 A的最小多项式2;1（3）A的 Jordan 标准形010000000。5 共 5 页 第 2 页 二（20 分）（1）设211203A，求FAAAA,21；（2）设nmijCaA)(，证明：（i）对m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，有FFUAVA；（ii）若()rank Ar，r,21为A的全部正奇异值，则22111rmnkijkija。（1）,61A 2 140,05HA A214A;4 3A;2 19FA.2(2)(i)11221111222()()()()().HHHHFHHHHFUAVtr UAVUAV

3、tr VA U UAVtr VA AVtr VA AVtr A AA 5(ii)因为()rank Ar，则由奇异值分解定理知，存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，使得000HU AV，其中12(,)rdiag ，从而 222221110|00rmnHiijFFiijFUAVAa 5 共 5 页 第 3 页 三（20 分）设110101101211A，304b .（1）计算A的满秩分解；（2）计算广义逆矩阵A；（3）用广义逆矩阵判定线性方程组bAx 是否相容。若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解。（1）10110101011011A；8（2）11()()TTTTACCCB BB 2 541

4、033157215541 6（3）因为501011511535511AA bb，所以bAx 不相容。2 bAx 的极小最小二乘解为1912171519xA b。2 共 5 页 第 4 页 四（20 分）（1）设210133032A，判断A是否是正定或半正定矩阵，并说明理由；（2）设A是n阶 Hermite 正定矩阵，B是n阶 Hermite 矩阵，证明：AB相似于实对角矩阵；（3）设A，B均为n阶 Hermite 矩阵，并且ABBA，是AB的特征值，证明：存在A的特征值和B的特征值，使得。（1）因为A的顺序主子式12320,50,80 ，所以A不是正定的。4 因为A有一个主子式380 或333

5、032 ，所以A也不是半正定的。4 （2）因为A是n阶 Hermite 正定矩阵，则存在可逆 Hermite 矩阵S，使得2AS，从而AB相似于1HSABSSBSS BS。3 又因为B是 Hermite 矩阵，则HS BS是 Hermite 矩阵。由 Hermite 矩阵的谱分解HS BS相似于实对角矩阵，再由相似的传递性知，AB相似于实对角矩阵。3 （3）因为A，B均为n阶 Hermite 矩阵，并且ABBA，则存在n阶酉矩阵U，使得 11(,),(,)HHnnUAUdiagU BUdiag。3 从而11(,)HnnUABUdiag ，即AB相似于对角矩阵11(,)nndiag 。因此，如果

6、是AB的特征值，则存在A的特征值和B的特征值，使得。3 共 5 页 第 5 页 五（20 分）设3 R x表示实数域R上次数小于 3 的多项式再添上零多项式构成的线性空间。（1）确定3 R x的维数，并写出3 R x的一组基；（2）对20123()f xaa xa xR x，在3 R x上定义线性变换T如下：2011220()()()()T f xaaaaxaax，求T在（1）中所取基下的矩阵表示；（3）求（2）中线性变换T的值域)(TR和核()Ker T，并确定它们的维数；（4）在3 R x中定义内积 131(,)()(),(),()f gf x g x dxf x g xR x 求3 R x的一组标准正交基。（1）3dim()3R x，2 3 R x的一组基为21231,xx。3（2）因为 2113()1Tx 212()1Tx 2323()Txx 则T在基123，下的矩阵为110011101。6（3）1231312()(),(),()(,)R Tspan TTTspan，1 dim()2R T，1 123()()Ker Tspan，1 dim()1Ker T。1 （4）3 R x的一组标准正交基为 112；1 232x；2 233 51()32 2x。2