利用空间向量解立体几何(完整版).pdf

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1、 .下载可编辑.向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。基本思路与方法 一、基本工具 1.数量积：cosa ba b 2.射影公式：向量a在b上的射影为a bb 3.直

2、线0AxByC的法向量为,A B，方向向量为,B A 4.平面的法向量（略）二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行两线的方向向量平行 线面平行线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行两面的法向量平行 2.垂直关系 .下载可编辑.线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直 线面垂直线与面的法向量平行 面面垂直两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点111,P x y z与222,Q x y z的 距离为222212121()()()PQxxyyzz 2.点线距离 求点00,P x y到直线:l0AxByC的距离：方法：在直线上取一点,Q x y，则向量PQ在法向量,nA

3、 B上的射影PQ nn=0022AxByCAB 即为点P到l的距离.3.点面距离 求点00,P x y到平面的距离：方法：在平面上去一点,Q x y，得向量PQ，计算平面的法向量n，计算PQ在上的射影，即为点P到面的距离.四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面）线线夹角两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤：.下载可编辑.先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.3.面面夹角（二面角）若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.实例分析 一、运用

4、法向量求空间角 向量法求空间两条异面直线 a,b 所成角，只要在两条异面直线a,b 上各任取一个向量AABB和，则角=或-，因为是锐角，所以 cos=AA BBAABB,不需要用法向量。1、运用法向量求直线和平面所成角 设平面的法向量为n=（x,y,1)，则直线 AB 和平面所成的角的正弦值为 sin=cos(2-)=|cos|=ABABnn 2、运用法向量求二面角 设二面角的两个面的法向量为12,n n，则或-是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定 n A .下载可编辑.是所求，还是-是所求角。二、运用法向量求空间距离 1、求两条异面直线间的距离 设异面直线 a、b 的公

5、共法向量为(,)nx y z，在 a、b 上任取一点 A、B，则异面直线 a、b 的距离 d=ABcosBAA=|AB nn 略证：如图，EF 为 a、b 的公垂线段，a为过 F 与 a 平行的直线，在 a、b 上任取一点 A、B，过 A 作 AA/EF，交 a于 A，则/AAn，所以BAA=（或其补角）异面直线 a、b 的距离 d=ABcosBAA=|AB nn *其中，n的坐标可利用 a、b 上的任一向量,a b（或图中的,AE BF），及n的定义得 00nan anbn b 解方程组可得n。2、求点到面的距离 求 A 点到平面的距离，设平面的法向量法为(,1)nx y，在内任取一点 B，

6、则 A 点到平面的距离为 d=|AB nn，n的坐标由n与平面内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所 n .下载可编辑.述,若方程组无解，则法向量与 XOY 平面平行，此时可改设(1,0)ny，下同）。3、求直线到与直线平行的平面的距离 求直线 a 到平面的距离，设平面的法向量法为(,1)nx y，在直线 a 上任取一点 A，在平面内任取一点 B，则直线 a 到平面的距离 d=|AB nn 4、求两平行平面的距离 设两个平行设平面、的公共法向量法为(,1)nx y，在平面、内各任取一点 A、B，则平面到平面的距离 d=|AB nn 三、证明线面、面面的平行、垂直关系 设平面外的

7、直线 a 和平面、，两个面、的法向量为12,n n，则 1a/an 1aa/n 12/nn 12nn 四、应用举例：例 1：如右下图,在长方体 ABCDA1B1C1D1中,已知 AB=4,AD=3,AA1=2.E、F 分别是线段 AB、BC 上的点，且 EB=FB=1.(1)求二面角 CDEC1的正切值;(2)求直线 EC1与 FD1所成的余弦值.解：（I）以 A 为原点，1,AB AD AA分别为 x 轴，y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系，则 D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、.下载可编辑.C1(4,3,2)于是，11(3,3,0),(1,3,2

8、),(4,2,2)DEECFD 设法向量(,2)nx y与平面 C1DE 垂直，则有 13301320nDExyxyxyznEC 11111(1,1,2),(0,0,2),1010226cos3|1140042tan2nAACDEnAACDECnAAnAA 向量与平面垂直与所成的角为二面角的平面角（II）设 EC1与 FD1所成角为，则 11222222111(4)3 22221cos14|132(4)22ECFDECFD 例 2：如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 是菱形，DAB=600，PD平面 ABCD，PD=AD，点 E 为AB 中点，点 F 为 PD 中点。（1）证明平面

9、 PED平面 PAB；（2）求二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值 证明：（1）面 ABCD 是菱形，DAB=600，ABD 是等边三角形，又 E 是 AB 中点，连结 BD EDB=300，BDC=600，EDC=900，如图建立坐标系 D-ECP，设 AD=AB=1，则 PF=FD=12，ED=32，P（0，0，1），E（32，0，0），B（32，12，0）PB=（32，12，-1），PE=（32，0，-1），.下载可编辑.平面 PED 的一个法向量为DC=（0，1，0），设平面 PAB 的法向量为n=（x,y,1)由3 1312(,1)(,1)01022223330(,1)(,0,1)

10、01022x yxyxnPBnPEyx yx n=（23,0,1)DCn=0 即DCn 平面 PED平面 PAB（2）解：由（1）知：平面 PAB 的法向量为n=（23,0,1),设平面FAB 的法向量为n1=（x,y,-1)，由（1）知：F（0，0，12），FB=（32，12，-12），FE=（32，0，-12），由113 113111(,1)(,)00222222331310(,1)(,0,)002222x yxyxnFBnFEyx yx n1=（-13,0,-1)二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值 cos=|cos|=11n5 714nnn 例3：在棱长为4的正方体ABCD-A1B1

11、C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中 .下载可编辑.心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.()求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；()设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1HAP；()求点P到平面ABD1的距离.解:()如图建立坐标系D-ACD1,棱长为4 A（4，0，0），B（4，4，0），P（0，4，1）AP=(-4,4,1),显然DC=（0，4，0）为平面BCC1B1的一个法向量 直线AP与平面BCC1B1所成的角的正弦值sin=|cos|=222164 33334414 为锐角，直线AP与平面BCC1B1所成的角为arcsin4 3333

12、 ()设平面ABD1的法向量为n=（x,y,1)，AB=（0，4，0），1AD=（-4，0，4）由nAB，n1AD 得0440yx n=（1,0,1)，点P到平面ABD1的距离 d=3 22AP nn 例 4：在长、宽、高分别为 2，2，3 的长方体 ABCD-A1B1C1D1中，O是底面中心，求 A1O 与 B1C 的距离。.下载可编辑.解：如图，建立坐标系 D-ACD1，则 O（1，1，0），A1（2，2，3），C（0，2，0）1(1,1,3)AO 1(2,0,3)BC 11(0,2,0)AB 设 A1O 与 B1C 的公共法向量为(,1)nx y，则 113(,1)(1,1,3)0302

13、(,1)(2,0,3)023032xnAOx yxyx yxnBCy 3 3(,1)2 2n A1O 与 B1C 的距离为 d=11223 30,2,0,12 2|33 2211|11331222ABnn 例 5：在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别是 B1C1、C1D1的中点，求 A1到面 BDFE 的距离。解：如图，建立坐标系 D-ACD1，则 B（1，1，0），A1（1，0，1），E（12，1，1）(1,1,0)BD 1(,0,1)2BE 1(0,1,1)AB 设面 BDFE 的法向量为(,1)nx y，则 (,1)(1,1,0)002112(,1)(,0,

14、1)01022x yxynBDxyx yxnBE (2,2,1)n A1到面BDFE的距离为d=1220,1,12,2,1|3|13|221AB nn ABCDA1 B1 D1 C1 O FEABCDA1 B1 D1 C1 .下载可编辑.五、课后练习:1、如图,已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,AB=1,AA1=2,点 E 为 CC1中点,点 F 为 BD1中点.（1）证明 EF 为 BD1与 CC1的公垂线;（2）求点 D1到面 BDE 的距离.2、已知正方形 ABCD，边长为 1，过 D 作 PD平面 ABCD，且 PD=1，E、F 分别是 AB 和 BC 的中点，（1）求 D 到平面 PEF 的距离；（2）求直线 AC 到平面 PEF 的距离 1A 1B 1C 1D .下载可编辑.3、在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2（如图）（1）求证：平面 A1BC1/平面 ACD1；（2）求（1）中两个平行平面间的距离；（3）求点 B1到平面 A1BC1的距离。4、如图，四棱锥 S-ABCD 中，SD底面 ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱 SB 上的一点，平面 EDC平面 SBC.（）证明：SE=2EB；（）求二面角 A-DE-C 的大小.DCC1AA1BB1D1 .下载可编辑.