立体几何题型总结.pdf

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1、立体几何点线面的位置关系 公理 1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线。1、公理的理解与应用 例1 已知,为不同的平面，A、B、M、N 为不同的点，a为直线，下列推理错误的是 （）A.,Aa ABa Ba B.,MMNNMN C.,AAA D.,ABMABM、且 A、B、M 不共线、重合 例2 下列条件中，能得到平面平面的是（）A.存在一条直线aa，B.存在一条直线aaa，C.存在两条平行直线ababab，D.存在两条异面直线abaab，例3

2、 对于直线,m n和平面，下列命题中的真命题是（）A.如果,mnm n是异面直线，那么/n B.如果,mnm n是异面直线，那么n和相交 C.如果,/,mnm n共面，那么/mn D.如果/,/,mnm n共面，那么/mn 例4 已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AESD，所成的角的余弦值为（）A13 B23 C33 D23 2、共线、共面、共点问题 例5 如图所示，四边形 ABCD 中，已知,ABCD AB BC DC AD(或延长线)分别与平面交于 E、F、G、H 必在同一直线上。ABCDGEFH 3、直线与直线之间的关系 例6 给出下列四个命题：垂直于同一

3、直线的两条直线互相平行；平行于同一直线的两条直线平行；若直线cba,满足ab,b c,则a c；若直线12,l l是异面直线，则与12,l l都相交的两条直线是异面直线。其中假命题的个数是 （）A、1 B、2 C、3 D、4 立体几何-空间中的平行问题 公理 4：平行于同一直线的两条直线互相平行 定理：空间中如果两个角的两边分别对于平行，那么这两个角相等或互补。定理：平面外一条直线与此平面的一条直线平行，则该直线与此平面平行 定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。定理：一个平面与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。定理：如果两个平行平面同

4、时和第三个平面相交，那么他们的交线平行。证明平行的方法：线线平行：相似，全等；平行线判断定理（内错角相等，同旁内角互补等），（高中阶段一般不考，只作为转化的一个桥梁）线面平行：依定义采用反证法；根据定理证明（面线线线/）；面面平行的性质定理（面线面面/）面面平行的：依定义采用反证法；用判断定理或推论；用“垂直与同一条直线的两个平面平行”这一性质证明。1、平行关系的概念 例1 若ba、为异面直线，直线ca，则c与b的位置关系是 A相交 B异面 C平行 D 异面或相交 例2 垂直于同一平面的两条直线一定 A平行 B相交 C异面 D以上都有可能 2、线面平行 例3 在空间四边形 ABCD 中，E，F

5、 分别是 AB 和 BC 上的点，若 AE：EB=CF：FB=1：3,则对角线 AC 和平面 DEF 的位置关系是 （）A、平行 B、相交 C、在内 D、不能确定 例4 如图所示，在正方体1111ABCDABC D中，E、F 分别是棱 BC、11C D的中点。求证：EF平面11BDD B.FEB1C1A1DABCD1 例5 如图所示，P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，E、F 分别在 PA、BD 上，且PE：EA=BF：FD.求证：EF平面 PBC ABCDPEF 例6 有下列几个命题 平面内有无数个点到平面的距离相等，且；,ab，且ab（,为平面；a,b 为直线），则；平面内一个三角

6、形三边分别平行于平面内的一个三角形的三边，则；平面内一个平行四边形的两边分别与平面内的一个平行四边形的两边对应平行，则。其中正确的有 例7 如图所示，B为ACD所在平面外一点，M,N,G分别为ABC，ABD，BCD的重心。（1）求证平面 MNG平面 ACD；（2）求:MNGADCSS.ABCDMGN 例8 ABCD 是平行四边形，点 P 事平面 ABCD 外一点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 做 AP 作平面交平面 BDM 于 GH，求证：APGH MDABCPGH 立体几何第四讲-空间中的垂直问题 定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

7、定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条直线垂直。三垂线逆定理：如果：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线垂直，则它也和这条直线在这个平面内的射影垂直。最小角定理：斜线和它在平面的射影所成角（即线面角），是斜线和这个平面的最小角，并满足 设 A 为面上一点，过 A 的直线 AO 在面上的射影为 AB，AC 为面上的一条直线，那 么 OAC,BAC,OAB三 角 的 余 弦 关 系 为：OABB

8、ACOABBACOACcos(coscoscoscos和只 能 是锐角，通俗点说就是，cos 平面斜线与平面直线夹角(OAC)=cos 斜线射影与平面直线夹角(BAC)xcos 平面斜线与斜线射影夹角(OAB)又叫最小角定理或爪子定理，可以用于求平面斜线与平面内直线成的最小角 证明垂直的方法：线线垂直：三垂线定理；线面垂直判断定理；勾股定理等 线面垂直：判断定理；面面垂直的性质 面面垂直：判断定理 题型一：对空间中垂直的概念的理解 例 1：对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m和l（）A 平行 B 相交 C 垂直 D 互为异面直线 例 2、用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，

9、给出下列命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若ay，by，则ab；若ay，by，则ab.A.B.C.D.题型二：线线垂直 例 3：如图，四面体ABCD中，BDACCDAB,，求证：BCAD（三垂线逆定理）ABDC 题型三：线面垂直 例 4：如 图，在 棱 长 为a的 正 方 体1111DCBAABCD 中，GFE、分 别 是1CCCDCB、的中点。（1）求证：平面/11DAB平面EFG；（2）求证：EF平面CAA1。F G E D C A B A1 B1 D1 C1 例 5：如图，在三棱柱111ABCABC中，侧面11ABB A，11ACC A均为正方形，=90BAC,点D是棱1

10、1BC的中点.（）求证：1AD平面11BBC C；（）求证：1/AB平面1ADC；题型四：面面垂直 例 6：如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AC=BC，点 D 是 AB 的中点。（1）求证：BC1AE、EF、FA为折痕，折叠这个正方形，使点B、C、D重合于一点P，得到一个四面体，如图(2)所示(1)求证：APEF；(2)求证：平面APE平面APF.A B C C1 B1 A1 D 知识梳理 空间平面与平面的位置关系 1、空间两平面的位置关系：平行、相交 位置关系 定义 图示 符号语言 交点个数 两 个 平面相交 斜交 有一条公共直线(不垂直)a 无数个 垂 直相交 如果两个相交平面所

11、成二面角为直二面角，那么两个平面互相垂直 a 无数个 两个平面平行 如果两个平面没有公共点，则这两个平面平行 /没有 2、空间两平面平行 名称 文字语言 符号语言 图形 面面平行的定义 没有公共点/面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行/,/,baObaba/垂直于同一直线的两平面平行 ll,/补充 平行于同一平面的两平面平行/,/两个平面平行的性质定理：（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线直线都平行于另一个平面；（2）如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行。3、空间两平面垂直 名称 文字语言 符号语言 图形 面 面

12、 垂 直的定义 如果两个相交平面所成的二面角为直二面角 面 面 垂 直的判定 定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 aa,两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直。4、空间角的概念 二面角作法图形示例及步骤：方法 定义法 垂面法 三垂线定理及逆定理 步骤 在棱上取一特殊点，分别两个面内找棱的垂线。（通常两面是等腰三角行，或对称的全等三角形）找一个垂直于二面角的棱的垂面，那么它于二面角的面的交线所成的角是二面角的平面角 1、从二面角的一个面内的一点作另一个面的垂线PF，2、从垂足作棱的垂线FE，3、连接PE

13、，由三垂线定理得PEF是二面角的平面角 图形 综合练习 1、过正方形 ABCD 的顶点 A，引 PA平面 ABCD，若 PA=AB，则平面 ABP 和平面 CDP 所成的二面角的大小是 （）（A）30 （B）45 （C）60 （D）90 2、四面体 ABCD 中，2BD，其余棱长均为 1，则二面角 ABCD 的大小是_ 3、正方体1111ABCDABC D中，二面角1CBDA的大小是_ 4、RtABC 的斜边在平面内，直角顶点C是外一点，AC、BC与所成角分别为30和45，则平面 ABC 与所成角为 5、如 图，在 四 棱 锥ABCDP 中，底 面ABCD是 矩 形 已 知60,22,2,2,

14、3PABPDPAADAB（1）证明AD平面PAB；（1）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（3）求二面角ABDP的大小 C B D C A A B B C C1 D1 D A B C D S 6、如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，SD平面 ABCD,SDADa,点 E 是线段 SD 上任意一点。（1）求证：ACBE；（2）若二面角 C-AE-D 的大小为060，求线段ED的长。7、已知S是正方形ABCD所在平面外一点，ABCDSA平面，3AB，5SC.（1）求二面角DSCB的大小；（2）求SA与平面SBD所成的角。8、四面体 ABCD 中，AB3，ACAD2，且60DABCADBA

15、C。（1）求二面角 A-CD-B 的大小；（2）求异面直线 AC 与 BD 所成角的大小。9、在长方体1111ABCDABC D中，112,1,ABBCBBBC与1BC交于O点.A1 C B1 C1 D1 B A D O DCBA（1）求证：1BO 平面11ABC D（2）求二面角11BADO的大小(结果用反三角函数值表示)；10 、如图在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ADAA1，AB2，点 E 是 AB 上的动点。（1）若直线 DE 与 EC 垂直，试确定点 E 的位置，并说明理由；（2）在（1）的条件下求出异面直线 AD与 EC 所成的角；（3）在（1）的条件下求二面角 DECD 的

16、大小。立体几何-距离问题 空间中的距离：点线距离（定义法、等体积法、向量法、空间坐标法）；线面距离；面面距离；异面直线的距离（公垂线）。题型一：点面距离 例 1：已知正四棱柱1111ABCDABC D的地面边长为 1，则棱场为 2，点 E 为1CC的中点，求点1D到平面 BDE 的距离。EB1C1A1DABCD1 例 2：在ABC中,AB=15，120BCA，若ABC所在平面外一点 P 到 A、B、C 的 距 离 都 是14，则 P 到的 距 离 是 （）A、13 B、11 C、9 D、7 PCABH 练习：1、在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，EF，分别为棱11AABB，的

17、中点，G为棱11AB上的一点，且1(01)AG则点G到平面1D EF的距离为（）3 22 23 55 2、如图，和为平面，,l AB AB=5,A,B在棱l上的射影分别为A，B，1D 1C C B A E 1A G F 1B D AA3，BB2.若二面角l 的大小为23，求，点B到平面的距离为_;题型二：线面距离：例 3：在长方体1111ABCDABC D中,AB=2，1ADAA=1,E、F 分别为 AB、CD 的中点，求直线 AF 到平面1CD E的距离。FEB1C1A1DABCD1 题型三：面面距离：例 4：在棱长为 4 的正方体1111ABCDABC D中，M、N、E、F 分别是1111

18、1111,AD AB C D BC的中点，求平面 AMN 与平面 BDEF 间的距离。FENMB1C1A1DABCD1 题型三：综合类型：例 5：(2010 北京)如图，正方体 ABCD-1111ABC D的棱长为 2，动点 E、F 在棱11AB上，动点 P，Q 分别在棱 AD，CD 上，若 EF=1，1AE=x，DQ=y，NMABDCOD（，大于零），则四面体 PE的体积 ()A.与，都有关 B.与有关，与，无关 C.与有关，与，无关 D.与有关，与，无关 例 6：（2008 安徽理 18 本小题满分 12 分）如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为 1 的菱形，4ABC,OAAB

19、CD 底面,2OA,M为OA的中点，N为BC的中点（）证明：直线MNOCD平面；（）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小；（）求点 B 到平面 OCD 的距离。例 7：在四面体ABCD 中，面和面BCD都是边长为2a的等边三角形，且 AD=2 2a。设M、N 分别是棱 AB、CD 的中点。求：M、N 在四面体表面上的最短距离。立体几何-夹角角问题 知识点：夹角的分类：线线夹角 线面夹角 面面夹角 三者在计算或证明时的转换关系：面面 线面 线线 计算三种夹角的方法：勾股定理、向量、坐标等，对于夹角问题我们一般分为三个步骤，找角，证明所找的角，计算所找角的大小（切记不可找出来之后不证明就开始计

20、算）题型一：异面直线的夹角问题 例1、在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，aBCABBCADBAD,/,90，2,ADa PAABCD PD底面与底面成30角.（1）若,AEPD E为垂足，求证：BEPD；（2）在（1）的条件下，求异面直线AE与CD所成角的正切值；例 2、如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，MDABCD 平面，NBABCD 平面，且 MD=NB=1，E 为 BC 的中点 求异面直线 NE 与 AM 所成角的余弦值 DCBAMNE 例 3、已知正四面体ABCD中，各边长均为a，如图所示，,E F分别为,AD BC的中点，连接,AF CE，求异面直线,AF

21、 CE所成角的余弦值。练习：1、已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与1CC所成的角的余弦值为（）（A）34 （B）54 （C）74 (D)342、（12 分）如图,在正方体DCBAABCD 中，FE,分别是,BCAB的中点。（1）若M为BB的中点，证明：平面EMF平面ABCD （2）求异面直线EF与AD所成的角 A B C D E F DMFECDBACAB题型二：线面夹角 例 4、设 M、N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点，DEAB于 E（如图）。现将ADE沿DE折起，使二面角ADEB为 45，此时点 A 在平面 BCD

22、E 内的射影恰为点 B，则 M、N 的两线与平面 BCDE 所成角的大小等于 NMDEBCANMDEBCA 例 5、如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA底面 ABCD，AC=22，PA=AD=2，E是 PC 上的一点，设二面角 A-PB-C 为 90，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小。例 6、已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC内的射影为ABC的中心，则1AB与底面ABC所成角的正弦值等于（）A13 B23 C33 D23 例 7、如图，直三棱柱111ABCABC中，ABAC,D、E 分别是1AA，1BC的中点，DE 平面1BCC.

23、（1）证明：AB=AC（2）设二面角 A-BD-C 为060，求1BC与平面 BCD 所成的角的大小 A1B1C1BCADE A1C1B1ACB 练习：1已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC内的射影为ABC的中心，则1AB与底面ABC所成角的正弦值等于（）A13 B23 C33 D23 题型三：面面夹角：例 8、如图，在ABC中，B=90,AC=152,D、E两点分别在AB、AC上.使 2ADAEDBEC,DE=3.现将ABC沿DE折成直二角角，求：二面角 A-EC-B 的大小的余弦值。例9：四 边 形ABCD为 等 腰 梯 形,AB/CD,60DAB,FC面A

24、BCD,.AEBD CBCDCF(1)求证:BD面 AED;(2)求二面角FBDC的余弦值.例10、如 图，在 四 棱 锥PABCD中，底 面ABCD是 矩 形，已 知AB=3,AD=2,PD=2 2,PAB=060(1)证明：AD 平面 PAB(2)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小(3)求二面角 P-BD-A 的大小 ADBCP 练习：1、如图，二面角l 的大小是 60，线段AB.Bl，AB与l所成的角为 30.则AB与平面所成的角的正弦值是 .2、如图，正方体1111ABCDA BC D的棱线长为 1，线段11B D上有两个动点 E，F，且22EF，则下列结论中错误的是 ()（A

25、）ACBE （B）/EFABCD平面 （C）三棱锥ABEF的体积为定值 （D）异面直线,AE BF所成的角为定值 立体几何-空间向量及其运算 一、知识点精析 考点一、空间向量及其加法与数乘运算 1、定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫作空间向量，向量的大小叫作向量的长度或模。空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量 a 的起点是 A，终点是 B，则向量 a 也可记作AB，其模记为a或AB。ABC D 2、几个特殊向量（1）零向量：规定长度为 0 的向量记作零向量，记作 0.当有向线段的起点 A 与终点 B 重合时，AB=0.（2）单位向量：模长为 1 的向量称为单位向

26、量。（3）相反向量：与向量 a 长度相等而方向相反的向量，称为 a 的相反向量，记为a。（4）相等向量:方向相同且模相等的向量称为相等向量。在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，称为同一平面内的两个向量。3、空间向量的基础运算（1）加法：OCOAOBa+b,（2）减法：BAOAOBa-b.如图所示。（3）运算律：加法交换律 abba;加法结合()()abcabc;数乘分配律()abab 考点二、共线向量与共面向量 1、共线向量（1）定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量，记作

27、/ab （2）表示：/ab存在实数，使(0;ab b唯一)（3）推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t,等式OPOAta；其中a叫做直线l的方向向量，如图所示：由OPOAtAB，(1)OPOAt ABt OAtOB；在中如令12t 则1()2OPOAOB是线段 AB 的中点公式 2、共面向量（1）定义：通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量（2）表示：如图，如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件 是存在实数对x、y，pxayb （3）推论：空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实

28、数对x，y，使 MPxMAyMB或 对 空 间 一 点 O 来 说，有OPOMxMAyMB 由(1)OPxy OMxOAyOB 3、空间向量基本定理:如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使pxaybzc 其中,a b c叫做空间的个基底a，b，c都叫做基向量对于基底,a b c除了应知道a,b,c不共面外，还应明确：(1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；(2)基底中的三个向量a,b,c都不是0；(3)个基底是由不共面的三个向量构成 一个基向量是指基底中的某一个向量（推论：设,O A B C是不共面的四点，则对空间任一点P

29、，都存在唯一的有序实数组,x y z,使OPxOAyOBzOC）考点三、空间两个向量的数量积 1、空间向量夹角：空间两个向量的夹角:已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OAa，OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作,a b 2、定义:cos,a ba ba b叫做向量a与b的数量积 3、性质:0aba b；2aa a baba0 二、典例讲解 题型一 向量的基础运算 例 1、直三棱柱 ABCA1B1C1中，若CA a，CB b，1CC c，则1A B （）A abc Babc C abc D abc 练习、如图所示，已知空间四边形OABC，点NM,分别为BCOA,的中点，且 cOC

30、bOBaOA,，用cba,表示向量MN_ 题型二：共线与共面问题 例 2、在下列命题中：若a、b共线，则a、b所在的直线平行；若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为pxaybzc其中正确命题的个数为（）A 0 B1 C 2 D3 练习 1、已知非零向量,3-3AD,82AC,AB,21212121eeeeeeee不共线，如果则下列正确的是（）A，四点共线，B.，四点共面 C.，四点不共线，D.，四点不共面 2、O、A、B、C为空间四个点，又OA、OB、OC为空间的一个

31、基底，则（）、A、B、C四点共线 、A、B、C四点共面、A、B、C四点中任三点不共线 、A、B、C四点不共面 3、已知 A、B、C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，下列条件中能确定点 M 与点 A、B、C 一定共面的是（）AOCOBOAOM BOCOBOAOM 2 COCOBOAOM3121 DOCOBOAOM313131 4、已知ycbaxncbam28)1(,0423，且cba,不共面，若nm/，求yx,的值。5、如图所示证明：空间四边形对边中点的连线和空间四边形对角线中点的连线交于一点且互相平分 ACBDEFP1 6、已知 P 是平面四边形 ABCD 所在平面外一点，连结 P

32、A、PB、PC、PD，如图点 E、F、G、H分别为PAB、PBC、PCD、PDA 的重心，求证：E、F、G、H 四点共面.DCABPEFGH 题型三、空间向量证明位置关系 1、垂直 例 3、如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，O 为 AC、BD 的交点，G 为 CC1的中点，求证：1AO 平面GBD.OD1C1A1B1ABCDG 2、平行 例 4、如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M，N 分别是 C1C，B1C1的中点，求证：MN 平面A1BD.D1C1A1B1ABCDNM 3、异面直线的夹角 异面 AB，CD 的夹角（00900）满足 cos=|例 5、在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，DAB60，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，PO平面 ABCD，PB 与平面 ABCD 所成的角为 60若 E 是 PB 的中点，求异面直线 DE 与 PA 所成角的大小的余弦值。P A B C D O E 练习 如图，PA平面 ABC，ACB=90且 PA=AC=BC=a.则异面直线 PB 与 AC 所成角的正切值等于_.