排列组合问题的解题方法与技巧的总结(完整版).pdf

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1、-学员 数学 科目第次个性化教案 授课时间 教师姓名 备课时间 学员年级 高二 课题名称 排列组合问题的解题策略 课时总数 共 课时 教育参谋 学管 邱教师 教学目标 1、两个计数原理的掌握与应用；2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题多为排列与组合的混合问题 教学重点 1、两个计数原理的掌握与应用；2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；教学难点 运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题多为排列与组合的混合问题 教学过程 教师活动 一、作业检查与评

2、价第一次课程 二、复习导入 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。三、内容讲解 1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类方法，在第 1 类方法中有1m种不同的方法，在第 2 类方法中有2m种不同的方法，在第n类方法中有nm种不同的方法，则完成这件事共有：12nNmmm 种不同的方法 2.分步计数原理乘法原理 完成一件事，需要分成n个步骤，做第 1 步有1m种不同的方法，做第 2 步有2m种不同的方法，做第n步有nm种不同的方法，则完成这

3、件事共有：12nNmmm 种不同的方法 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件 解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进展,确定分多少步及多少类。3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步穿插，因此必须掌握一些常用的解题策略 排列组合问题的解题策略 一、相临问题捆绑法 -例 17

4、名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用捆绑法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进展排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有 种。评注：一般地:n 站成一排,其中*m 个人相邻,可用捆绑法解决，共有NMMNMMAA种排法。练习：5 个男生 3 个女生排成一排,3 个女生要排在一起,有多少种不同的排法 二、不相临问题选空插入法 例 2 7 名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用插空法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：2565A A种.插入法:对于*两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有

5、限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.假设 N 个人站成一排，其中 M个人不相邻，可用插空法解决，共有 种排法。练习：学校组织教师学生一起看电影，同一排电影票 12 张。8 个学生，4 个教师，要求教师在学生中间，且教师互不相邻，共有多少种不同的坐法？分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对教师有特殊的要求,因此教师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.解 先排学生共有 种排法,然后把教师插入学生之间的空档，共有 7 个空档可插,选其中的 4 个空档,共有 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为 种.三、复杂问题-总体排除法或排异法 有些问题

6、直接法考虑比拟难比拟复杂，或分类不清或多种时，而它的反面往往比拟简捷，可考虑用排除法，先求出它的反面,再从整体中排除.解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。例 3.(1996 年全国高考题)正六边形的中心和顶点共 7 个点，以其中 3 个点为顶点的三角形共有 个.解：从 7 个点中取 3 个点的取法有 种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有 3 条，所以满足条件的三角形共有 332 个.练习：我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种 分析 此题假设是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解

7、题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程.解 43 人中任抽 5 人的方法有 种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有 种,所以正副班长,团支部书记至少有 1 人在内的抽法有 种.四、特殊元素-优先考虑法 对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。例 4(1995 年上海高考题)1 名教师和 4 名获奖学生排成一排照像留念，假设教师不排在两端，则共有不同的排法-种 解：先考虑特殊元素教师的排法，因教师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有

8、3种，而其余学生的排法有 种，所以共有 72 种不同的排法.例 52000 年全国高考题乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名队员参加比赛，3 名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置，则不同的出场安排共有 种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有 种排法，而其余 7 名队员选出 2 名安排在第二、四位置，有 种 排法，所以不同的出场安排共有 252 种.五、多元问题-分类讨论法 对于元素多，选取情况多，可按要求进展分类讨论，最后总计。例 62003 年北京春招*班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两

9、个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，则不同插法的种数为 A42 B30 C20 D12 解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有 种；2.相临：共有 种。故不同插法的种数为：26A+22A16A=42，应选 A。例 72003 年全国高考试题如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.以数字作答 解：由题意，选用 3 种颜色时，C43种颜色，必须是同色，同色，与进展全排列，涂色方法有 C43A33=24 种 4 色全用时涂色方法：是同色或同色，有 2 种情况，涂色方法有 C2

10、1A44=48种所以不同的着色方法共有 48+24=72 种；故答案为 72 六、混合问题-先选后排法 对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进展排列的策略 例 82002 年北京高考12 名同学分别到三个不同的路口进展车流量的调查，假设每个路口 4人，则不同的分配方案共有 种 A.B.3种 C.种 D.解：本试题属于均分组问题。则 12 名同学均分成 3 组共有 种方法,分配到三个不同的路口的不-同的分配方案共有：种，应选 A。例 92003 年北京高考试题从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 A2

11、4 种 B18 种 C12 种 D6 种 解：黄瓜必选，故再选 2 种蔬菜的方法数是 C32种，在不同土质的三块土地上种植的方法是 A33，种法共有 C32A33=18，应选 B 七一样元素分配-档板分隔法 例 10把 10 本一样的书发给编号为 1、2、3 的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？此题考察组合问题。解一：先让 2、3 号阅览室依次分得 1 本书、2 本书；再对余下的 7 本书进展分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在 7 本一样书之间的 6 个空档内插入两个一样I一般可视为

12、隔板共有 26C 种插法，即有 15 种分法。2、解二：由于书一样，故可先按阅览室的编号分出 6 本，此时已保证各阅览室所分得的书不小于其编号，剩下的 4 本书有以下四种分配方案：*一阅览室独得 4 本，有种分法；*两个阅览室分别得 1 本和 3 本，有种分法；*两个阅览室各得 2 本，有种分法；*一阅览室得 2 本，其余两阅览室各得 1 本，有种分法.由加法原理，共有不同的分法 3+=15 种.八转化法:对于*些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解。例 11 高二年级 8 个班,组织一个 12 个人的年级学生分会,每班要求至少 1 人,名额分

13、配方案有多少种 分析 此题假设直接去考虑的话,就会比拟复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比拟清楚,方法简单,结果容易理解.解：此题可以转化为:将 12 个一样的白球分成 8 份,有多少种不同的分法问题,因此须把这 12 个白球排成一排,在 11 个空档中放上 7 个一样的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球分成 8 份,显然有 种不同的放法,所以名额分配方案有 种.九剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法.例 12 袋中有 5 分硬币 23 个,1 角硬币 10 个,如果从袋中取出 2 元钱,有多少种取法 分析

14、此题是一个组合问题,假设是直接考虑取钱的问题的话,情况比拟多,也显得比拟凌乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题.解 把所有的硬币全部取出来,将得到 0.0523+0.1010=2.15 元,所以比 2 元多 0.15 元,所以剩下0.15 元即剩下 3 个 5 分或 1 个 5 分与 1 个 1 角,所以共有 2 种取法.-十对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否认是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出全体,就可以得到所求.例 13 期中安排考试科目 9 门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序 分析 对于任何一个排列问题,就其中的

15、两个元素来讲的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他们出现的时机是均等的,因此要求其中的*一种情况,能够得到全体,则问题就可以解决了.并且也防止了问题的复杂性.解 不加任何限制条件,整个排法有 种,语文安排在数学之前考,与数学安排在语文之前考的排法是相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有 种.十一平均分组问题:例 146 本不同的书，按以下要求各有多少种不同的选法：1分给甲、乙、丙三人，每人 2 本；2分为三份，每份 2 本；3分为三份，一份 1 本，一份 2 本，一份 3 本；4分给甲、乙、丙三人，一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本；5分给甲、乙、丙三人，每人至少 1

16、 本。解：1.C2/6*C2/4=90；2.(C2/6*C2/4)/A3/3=15；3.C1/6*C2/5=60；4.C1/6*C2/5*A3/3=360；5.【(C2/6*C2/4)/A3/3+C1/6*C2/5+C1/6*C1/5/A2/2】*A3/3=540.总之，排列、组合应用题的解题思路可总结为：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加，分步为乘。具体说，解排列组合的应用题，通常有以下途径：1以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素。2以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置。3先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列组合数。四、稳固练习 五、课堂总结 六、课后作业容布置 分数混合运算的复习习题-七、课后教学反思该局部课后手写 缺乏之处：成功之处：及时反思，持之以恒，量变引起质变，一天积累一小点，学习提升一大点 学科带头人 课前审核签名 时间 其它说明 课后反应表 学管在阅读完教案、课后反应表后，签名：日期：