数学分析报告第十二章反常积分自测题解答.pdf

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1、1/7 数学分析第十二章反常积分自测题解答 一、判断题(每小题 2 分,共 12 分)()1.若无穷积分()daf xx收敛,则无穷积分()daf xx也收敛.()2.axxa1d2 )0(a.()3.无穷积分1sindxxx发散.()4.设a是非负函数)(xf的瑕点,且dxfxax)(lim,1,则瑕积分baxxfd)(收敛.()5在()()daf xg xx收敛的条件下，()daf xx可能发散.()6.若无穷积分()daf xx收敛，则无穷积分2()dafxx也收敛.注：2.当0a时，0 是被积函数21)(xxf的瑕点，且瑕积分0 2daxx发散.4.当a是)(xf的瑕点时,判别瑕积分的

2、敛散性要考虑极限)()(limxfaxax.二、选择题(每小题 2 分,共 10 分).下列结论或运算正确的是（C）.A.2311ddxxxx B.由于21xx是奇函数,故2d01xxx.C.4d01xxx D.由于arctan xx是偶函数,故0arctanarctand2dxxxxxx.注：无穷积分 2 1dxx，3 1dxx，2d1xxx，0arctandxxx均发散；而24 0 01darctan124xxxx，00241darctan124xxxx.()df xx收敛是0()df xx与0()df xx都收敛的(A).A.充要条件 B.必要条件 C.充分条件 D.无关条件.下列广义积

3、分中发散的是(D).A.211dxx B.101dxx C.1201d1xx D.101d1xx 4.2211dxx(D).2/7 A.32 B.12 C.12 D.不存在 5.211d1xx x(B).A.0 B.2 C.4 D.不存在 注:2 1 1 12221111ddd()11111xxxx xxxx11arcsin2x.三、填空题(每小题 2 分,共 10 分)1.a是函数)(xf的瑕点)(xf在点a的任意邻域无界.2.无穷积分()df xx发散RC,()dcf xx与()dcf xx之一发散.3.瑕积分 21)2(dxx当 满足1时收敛.4.当1时,无穷积分xxd)1(12发散.5

4、.无穷积分 xxxdsin1当 满足10时条件收敛,当 满足1时绝对收敛.四、求下列反常积分(每小题 5 分,共 30 分)1.21d93xx.解:由定义 22 0 0 01133 dlimdlimarctan939399 23ppppxxxxx,0 0 022 1133 dlimdlimarctan939399 23qqqqxxxxx,故 0222 01113ddd9393939xxxxxx.2.2 11d(1)xx x.解:2222 1 1 1 1111d()dlnln(1)lnln2(1)121xxxxxxx xxxx.3 d1xxexe.3/7 解:0 0 0ddln(1)ln211x

5、xxxxeexxeee,0 0 0ddln(1)ln211xxxxxeexxeee,故d2ln21xxexe.4 23 0d1xxx.解:1x是被积函数31)(xxxf的瑕点,分别考虑瑕积分 13 0d1xxx与 23 1d1xxx,有 1 1 123333 0 0 0001dlimdlim(1)d111xxxxxxxxx 152330 03321lim(1)(1)5210 xx,23 1d1xxx 23 10limd1xxx 252330 13321lim(1)(1)5210 xx,故 23 0d1xxx 13 0d1xxx 23 121d51xxx.5.1 02dxxx.解:0a是被积函数

6、xxxf2)(的瑕点,有 1113 0 0 022210d()d(4)33xxxxxxxx.6.1 01d(1)xxx.解:0a是被积函数)1(1)(xxxf的瑕点,有 1 1 1 0 0 0012dlimdlim 2ln(1)2ln2(1)(1)xxxxxx.4/7 五、判断下列反常积分的敛散性(每小题 5 分,共 30 分)1 12 0d1xxx.解:1b是被积函数21)(xxxf的瑕点.由 112221111lim(1)()lim(1)lim121xxxxxxf xxxx,有112,12d,故瑕积分 12 0d1xxx收敛.222 2 11 sindxxx.解:0 x是被积函数xxxf1

7、sin1)(2的瑕点.由于22 2 001111lim sindlim(sin)d()xxxxx20011lim coslimcos-cosx 不存在，故瑕积分2 2 011 sindxxx发散,从而瑕积分22 2 11 sindxxx发散.322 0lnd(1)xxxx.解:由4222222lnlnlim()limlim0(1)(1)xxxxxxxx f xxxxx,有21,0d,故无穷积分22 0lnd(1)xxxx收敛.注:由于22220000ln1lim()limlimlim ln0(1)(1)xxxxxxf xxxxx,故0 x不是)(xf的瑕点.补充定义0)0(f,则被积函数)(x

8、f在区间0,)连续.4.21d(1)(2)xx xx.解:2x是被积函数)2)(1(1)(xxxxf的瑕点,分别考虑瑕积分 3 21d(1)(2)xx xx与无穷积分 31d(1)(2)xx xx,5/7 由 1122222111lim(2)()lim(2)lim(1)(2)(1)2xxxxf xxx xxx x,有112,12d,故瑕积分 3 21d(1)(2)xx xx收敛；由333221lim()limlim1(1)(2)(1)(2)xxxxx f xxx xxx xx,有312,1d,故无穷积分 31d(1)(2)xx xx收敛.综上,反常积分 21d(1)(2)xx xx收敛.5.2

9、1d(0)(ln)pxpxx.解:1x是被积函数21()(ln)pf xxx(0p)的瑕点，分别考虑瑕积分22 11d(ln)pxxx与无穷积分2 21d(ln)pxxx.（）由 21111lim(1)()lim1lnppxxxxf xxx,即有p,1d 于是，当1p 时,瑕积分22 11d(ln)pxxx发散；当01p时,瑕积分22 11d(ln)pxxx收敛.（）由22211lim()limlim0(ln)(ln)ppxxxx f xxxxx,有21,0d,于是，无穷积分2 21d(ln)pxxx收敛.综上,反常积分211d(ln)pxxx当01p时收敛，当1p 时发散 6/7 6.1d(

10、0)(ln)pxpxx.解:1x是被积函数1()(ln)pf xxx(0p)的瑕点，分别考虑瑕积分2 11d(ln)pxxx与无穷积分 21d(ln)pxxx.（）由 1111lim(1)()lim1lnppxxxxf xxx,即有p,1d 于是，瑕积分2 11d(ln)pxxx当1p 时发散；当01p时收敛.（）2d(ln)pxxx2+1 212ln(ln),1dln1,11(ln)(1)(ln2)(1)(ln),1pppxpxpxppxp,于是，无穷积分2 21d(ln)pxxx当1p 时发散；当1p 时收敛.综上,反常积分211d(ln)pxxx发散 六、证明:反常积分0sindxxx（

11、1）当01时条件收敛(注:此时 0 不是被积函数的瑕点)；（2）当12时绝对收敛；（3）当2时发散.(8 分)证：(1)当01时,由1000,1sinsinlimlim1,1xxxxxxx,知0 x不是被积函数 sin xx的瑕点，所以 0sindxxx为无穷积分 首先，证明无穷积分 1sindxxx收敛取1()f xx，()sing xx，有）1()f xx在 区间1,)单调减少且1lim0 xx；）1()sin dcos1cos2AF Ax xA，即有界由 狄利克雷判别法，无穷积分 1sindxxx收敛，从而无穷积分0sindxxx收敛 其次，证明无穷积分 1sindxxx发散已知1x，有

12、2sinsinxx，从而 2sinsin1 cos21cos2222xxxxxxxxx 7/7 无穷积分1cos2d2xxx收敛，但无穷积分11d2xx发散，故无穷积分11 cos2d2xxx发 散，从而无穷积分0sindxxx发散 于是，当01时，无穷积分0sindxxx条件收敛（）（）当1时,由1000sin1sinlim()limlimxxxxxf xxxx,知0 x是被积 函数xxxfsin)(的瑕点,所以要分别考虑无穷积分 1sindxxx与瑕积分 1 0sindxxx.由于sin1()xf xxx,已知无穷积分 11dxx收敛(1),故当1时,无穷积分 1sindxxx绝对收敛.在区间(0,1，被积函数sin()0 xf xx，且有100sinsinlimlim1xxxxxxx,故当1 1,即12时,瑕积分13 0sindxxx绝对收敛；当1 1,即2时,瑕积分13 0sindxxx发散 于是，反常积分0sindxxx当12时绝对收敛，当2时发散.