大学物理课后答案第十一章.pdf
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1、第十一章第十一章 机械振动机械振动一、基本要求一、基本要求1掌握简谐振动的基本特征,学会由牛顿定律建立一维简谐振动的微分方程,并判断其是否谐振动。2.掌握描述简谐运动的运动方程x Acos(t 0),理解振动位移,振幅,初位相,位相,圆频率,频率,周期的物理意义。能根据给出的初始条件求振幅和初位相。3.掌握旋转矢量法。4.理解同方向、同频率两个简谐振动的合成规律,以及合振动振幅极大和极小的条件。二、基本内容二、基本内容1.1.振动振动物体在某一平衡位置附近的往复运动叫做机械振动。如果物体振动的位置满足x(t)x(t T),则该物体的运动称为周期性运动。否则称为非周期运动。但是一切复杂的非周期性
2、的运动,都可以分解成许多不同频率的简谐振动(周期性运动)的叠加。振动不仅限于机械运动中的振动过程,分子热运动,电磁运动,晶体中原子的运动等虽属不同运动形式,各自遵循不同的运动规律,但是就其中的振动过程讲,都具有共同的物理特征。一个物理量,例如电量、电流、电压等围绕平衡值随时间作周期性(或准周期性)的变化,也是一种振动。2.2.简谐振动简谐振动简谐振动是一种周期性的振动过程。它可以是机械振动中的位移、速度、加速度,也可以是电流、电量、电压等其它物理量。简谐振动是最简单,最基本的周期性运动,它是组成复杂运动的基本要素,所以简谐运动的研究是本章一个重点。(1)简谐振动表达式x Acos(t 0)反映
3、了作简谐振动的物体位移随时间的变化遵循余弦规律,这也是简谐振动的定义,即判断一个物体是否作简谐振动的运动学根据。但是简谐振动表达式更多地用来揭示描述一个简谐运动必须涉及到的物理量A、0(或称描述简谐运动的三个参量),显然三个参量确定后,任一时刻作简谐振动的物体的位移、速度、加速度都可以由t对应地得到。v Asin(t 0)Acos(t 02)a 2Acos(t 0)2Acos(t 0)(2)简谐运动的动力学特征为:物体受到的力的大小总是与物体对其平衡位置的位移成正比、而方向相反,即F kx,它是判定一个系统的运动过程是否作简谐运动的动力学根据,只要受力分析满足动力学特征的,毫无疑问地系统的运动
4、是简谐运动。这里应该注意,F系指合力,它可以是弹性力或准弹性力。(3)和简谐运动的动力学特征相一致的是简谐运动的运动学特征:作简谐d2x运动物体的加速度大小总是与其位移大小成正比、而方向相反,即2 2x,dt它也是物体是否作简谐运动的判据之一。只要加速度与位移大小成正比、而方向恒相反,则该物理量的变化过程就是一个简谐运动的过程。在非力学量,例如电量、电流和电压等电学量,就不易用简谐振动的动力学特征去判定,而LCd2q1q,故电量q的变化过程就是一个简谐振荡电路中的电量q就满足2 LCdt的过程,显然用运动学的特征来判定简谐运动更具有广泛的意义。3.3.简谐振动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的
5、振幅、周期、频率和相位(1)振幅A是指最大位移的绝对值。A是由初始条件来决定的,即A x 202v02。(2)周期T是指完成一次完整的振动所用时间。T 动的圆频率,它是由谐振动系统的构造来决定的,即频率。对应的T称为固有周期。T 2,式中是简谐振k,也称为固有圆m1,式中v称为频率(即固有频率),它与v圆频率的关系 2v,是由系统本身决定的。(3)相位(t 0)和初相位0是决定简谐振动的物体t时刻和t 0时刻运动状态的物理量。即在A、确定后,任一时刻的x、v、a都是由(t 0)来确定的。一个周期内,每一时刻的相位(t 0)不同,则对应的运动状态也不相同。对不同的两个或更多的几个简谐振动,相位还
6、用来区分它们之间“步调”的一致与否。x0 Acos0初相位0决定于初始条件:即由共同决定。或由v0 Asin00 arctan(v0)计算,但由此式算得的0在0,2或,范围内有两个可x0能的取值,必须根据t 0时刻的速度方向进行合理的取舍。如能配合使用旋转矢量图示法,则会使0的确定更加简捷、方便。4.4.旋转矢量法旋转矢量法简谐运动的表达式x Acos(t 0)中有三个特征量A、0,旋转矢量法把描述简谐运动的三个物理量更直观、更形象地表示在图示中。作匀速转动的矢量,其长度等于谐振动的振幅 A,其角速度等于谐振动的角频率,且t 0时,它与 X 轴正向的夹角为谐振动的初位相0,t t时刻它与 X
7、轴正向的夹角为谐振动的位相(t 0)。旋转矢量A的末端在 X 轴上的投影点的运动代表质点的谐振动。5.5.简谐振动的能量简谐振动的能量1m2A2sin2(t 0)21势能EpkA2cos2(t 0)21机械能E Ek EpkA22动能Ek6.6.同方向同频率简谐振动的合成同方向同频率简谐振动的合成x1 A1cost 10和x2 A2cost 20合成后仍为简谐振动x x1 x2 Acost 0其中A 2A12 A2 2A1A2cos(2010)(合振幅)tg0A1sin10 A2sin20(合振动的初相)A1cos10 A2cos20三、习题选解三、习题选解11-111-1 质量为10g的小球
8、与轻弹簧组成的系统,按x 0.5cos(8t 的规律振动(式中x以m计,t以s计),试求:(1)振动的角频率、周期、振幅、初相、速度和加速度的最大值;(2)t 1s、2s、10s各时刻的相位;(3)分别画出位移、速度、加速度与时间t的关系曲线。解:解:(1)x 0.5cos(8t 知:圆频率 8s1振幅A 0.5m初相位0周期T 3)m3)m 与振动的标准形式x Acos(t 0)相比可32=0.25s最大速度vmaxA 80.5ms112.56ms1最大加速度amax2A (8)20.5ms1 3.16102ms2(2)相位为(8t 3),将t 1s、2s、10s代入相位分别为1118、16
9、、80333(3)由x 0.5cos(8t 3)m有dx 4sin(8t)ms1dt3dv 322cos(8t)ms2a dt3v 11-211-2 有一个和轻弹簧相连的小球,沿x轴作振幅为A的简谐振动,其表达式用余弦函数表示。若t 0时,球的运动状态为(1)x0 A;(2)过平衡位置向x轴正向运动;(3)x AA处向x轴负方向运动;(4)x 处向x轴22正方向运动;试用矢量图示法确定相应的初相的值,并写出振动表达式。解:解:四种情况对应的旋转矢量图如图所示:(1)初相位0,振动方程为x Acos(t)(2)初相位0 方程为x Acos(t)2(3)初 相 位 为0振动方程为x Acos(t(
10、4)初相位0 2,振动3,3)题 11-2 图,振动方程为x Acos(t)4411-311-3 质点作简谐振动的曲线 x-t 如图所示,求质点的振动方程式A解:解:t=0 时,x0 Acos021所以cos0,0,23再由v0 Asin0 0,sin0 0取0 3At=1s 时,x1 Acos1(注意10)21cos1,1 23再由v1 Asin1 0,sin1 0所以132103 2振动方程为x Acost 0 0.04cost m3311-411-4 两质点沿同一直线作同频率、同振幅的简谐振动,当它们每次沿相反方向互相通过时,它们的位移均为其振幅的一半,求这两个质点振动的相位差。解:解:
11、设两个质点振动方程为x1 Acos(t 1)x2 Acos(t 2)速度为v1dx1 Asin(t 1)dtv2dx2 Asin(t 2)dt依题意,两质点在t t相遇时x1(t)x2(t)A212cos(t1)cos(t2)t1t2 2n3此时两质点运动方向相反,这分两种情况。(1)质点1向x轴正向运动,质点2向x轴负向运动,这时t1 2n3t2 2n3位相差(t1)(t2)23(2)质点1向x轴负向运动,质点2向x轴正向运动,这时t1 2n3t2 2n3位相差(t1)(t2)23两种情况都说明其中一个质点的运动比另处一个质点的运动超前或落后23。两质点在 A 2处相向相遇时有同样的结论。1
12、1-511-5 在一平板上放质量m 1.0kg的物体,平板在竖直方向上下作简谐振动,周期为T 0.5s,振幅A 0.02m,试求:(1)在位移最大时,物体对平板的压力;(2)平板应以多大振幅作振动,才能使重物开始跳离木板。解:解:(1)选择物体平衡位置为坐标原点,向上的方向为x轴正向。由牛顿第二定律有N mg ma题 11-5 图当系统运动到最高位置时,加速度为负的最大值。即a amax A22此时N mg mamax m(g A2)mg()2A 6.6NT当系统运动到最低位置时a amax A2此时N mg mamax m(g A2)1.0(9.8 3.2)N 13N(2)物体跳离木板,应在
13、最高位置时受木板的力N mg mamax m(g A2)0gT2A 2 0.062m42g11-611-6 如图所示,一质量为M的盘子系于竖直悬挂的轻弹簧的下端,弹簧的倔强系数为k。现有一质量m的物体自离盘h高处自由落下掉在盘中,没有反弹,以物体掉在盘上的瞬时作为计时起点。求盘子的振动表达式。(取物体掉在盘子后的平衡位置作为坐标原点,位移取向下为正)。题 11-6 图解解:取物体掉在盘子里的平衡位置为坐标原点,y轴向下建立坐标系。这时弹簧伸长2为(m M)g k22m Mgk当t 0时,弹簧伸长1为Mg k11Mgk题 11-6 图所以,t 0时系统的位移为y0(21)(M m)gmgmg k
14、kk设此时系统的速度为v0,由动量守恒定律有m 2gh (M m)v0v0且速度向下与y轴方向相同,v0取正值。m 2ghM m当物体落入盘中,且系统运动至坐标y处时,系统运动方程为d2y(M m)g T (M m)2dt此时弹簧伸长为y 2,因而T k(y 2)d2y则(M m)g k(y 2)(M m)2dt由于k2(M m)g有d2yky 0dt2M m方程解为y Acos(t 0)m 2ghmg,v0kM mkM m由初始条件k 0时,y0 202v0mg2m22gh(M m)2有A y 2()kk(M m)=mg2kh1k(M m)gv0)arctany0m2gh2khm M arc
15、tang(M m)kmg()M mk0 arctan(所以盘子的振动表达式为ymg2khk2kh1cos(t arctan)k(Mm)gMmg(Mm)11-711-7 如图所示,一弹簧振子由倔强系数k的弹簧和质量M的物块组成,将弹簧一端与顶板相连。开始时物块静止,一颗质量为m,速度u0的子弹由下而上射入物块,并留在物块中。求:(1)振子以后的振幅和周期;(2)物体从初始位置运动到最高点所需的时间。解:解:(1)以子弹射入物块后的平衡位置为原点,y轴向下,建立坐标系,这时弹簧伸长题 11-7 图y2Mmgk子弹未射入物块时,弹簧伸长为题 11-7 图Mg。此时物体在坐标系中的位置y1kMmMgm
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- 大学物理 课后 答案 第十一
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