多项式的因式分解.pdf

《多项式的因式分解.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多项式的因式分解.pdf（18页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1-5 多项式的因式分解定理 多项式44x在有理数域、实数域、复数域上的因式分解)2)(2)(2)(2(4)2)(2)(2(4)2)(2(4424224xCixixxxxxRxxxxxQxxx（不能再分）（不能再分）在不同的系数域上，具有不同形式的分解式 什么叫不能再分 平凡因式：零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前两个的乘积 Definition8：（不可约多项式）令)(xPxf是的一个次数大于零的多项式，如果)(xPxf在中只有平凡因式，就称f(x)为数域 P 上（或在 Px中）的不可约多项式。（p(x)在数域 P 上不能表示成两个次数低的多项式的乘积）若)(xf除平凡因式外，在

2、Px中还有其它因式，f(x)就说是在数域 P 上（或在 Px中）是可约的。如果不是平凡因式)(,)()()(xgxhxgxf，的次数显然和则)()(xhxg都小于)(xf的次数。引入课题 初等数学中的 因 式 分解,何为不能再分 反之，若)(xf能写成两个这样多项式的乘积，那么)(xf有非平凡因式；如果 Px的一个 n 次多项式能够分解成 Px中两个次数都 小于 n 的多项式 的乘积和)()(xhxg 即)()()(xhxgxf 那么)(xf在 P 上可约。由不可约多项式的定义可知：任何一次多项式都是不可约多项式的。不可约多项式的重要性质：一个多项式是否不可约是依赖于系数域；1.如果多项式)(

3、xf不可约，那么 P 中任意不为零的元素 c与)(xf的乘积 c)(xf都不可约。2.设)(xf是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者)(xf与 P(x)互素，或者)(xf整除 P(x).3.如果多项式)(xf与)(xg的乘积能被不可约多项式 P(x)整除，那么至少有一个因式被 P(x)整除。#Theorem5.如果)(xp是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式)(,),(),(21xfxfxfs的乘积,那么)(xp一定整除这些多项式之中的一个.证明:对被除多项式的个数 s 用数学归纳法 当 s=1 时,显然成立;假设 s=n-1 时,结论成立;当 s=n 时,令)()()

4、()(),()(32211xfxfxfxgxfxgn,如果)(|)(),(|)(11xfxpxgxp则命题成立,如 果1)(),(),(|)(11xgxpxgxp则,从 而)(|)(2xgxp,即)(,),(),()(32xfxfxfxpn整除 n-1 多项式的乘积,由归纳法假设)(xp整除其中一个多项式,根据数学归纳法原理,命题得证.因式分解及唯一性定理：多项式环 Px的每一个)0(nn次多项式)(xf都可以唯一分解成 Px的不可约多项式的乘积；)()()()(21xpxpxpxfs 所谓唯一性是说，如果有两个分解式#)()()()()()()(2121xqxqxqxpxpxpxfts 那么

5、，必有s=t，并且适当地排列因式的顺序后有),2,1()()(sixcqxpii 标准分解式（典型分解式）：)()()()(2121xpxpxcpxfsrsrr 其中 c 是 f(x)的首项系数，)(),(),(21xpxpxps是不同的、首证明因式分解定理 项系数为 1 的不可约多项式，而srrr,21正整数。例 1：在有理数域上分解多项式，22)(23xxxxf。)2)(1)(1()2)(1(22)(223xxxxxxxxxxf 例 2：求 的典型分解式内在122)(2345xQxxxxxxf。23242345)1()1()12)(1(122)(xxxxxxxxxxxf 例 3.求 的典型

6、内在6141616102)(2345xRxxxxxxf 分解式.)3()1)(1(2)(22xxxxf 例 4：分别在有理数域、实数域和复数域上分解多项式 15x和16x 为不可约多项式的乘积。解:)1)(1()1(2345xxxxxx Qx)154cos2)(152cos2)(1()1)(1()1(222345xRxxxxxxxxx)52sin52cos()1()1)(1()1(412345xCkikxxxxxxxxk 在 Qx上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336xxxxxxxxx;在 Rx上 布置作业 P45-15 突 出 不同 数 域上 不 同多 项 式的 因 式分 解

7、 的特点)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336xxxxxxxxx;在 Cx上 )2321)(2321)(1)(2321)(2321)(1(16ixixxixixxx 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍 1运用公式法

8、 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a22ab+b2=(ab)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；!(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中 n 为正整数；(8)an-bn=(a+b)(an-1-an

9、-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)，其中 n 为偶数；(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-abn-2+bn-1)，其中 n 为奇数 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式 例 1 分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7 解(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)】=-2xn-1yn(x2n)2-2x2ny2+(y2)2 =-2x

10、n-1yn(x2n-y2)2 =-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2 (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)：(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2 (a-b)2+2c(a-b)+c2 =(a-b+c)2 本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2、(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-

11、b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)?例 2 分解因式：a3+b3+c3-3abc 本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)分析 我们已经知道公式 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 的正确性，现将此公式变形为 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)?这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导 解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b)2-c(a+b)+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a

12、2+b2+c2-ab-bc-ca)说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为 a3+b3+c3-3abc 显然，当 a+b+c=0 时，则 a3+b3+c3=3abc；当 a+b+c0 时，则a3+b3+c3-3abc0，即 a3+b3+c33abc，而且，当且仅当 a=b=c 时，等号成立 如果令 x=a30，y=b30，z=c30，则有 【等号成立的充要条件是 x=y=z这也是一个常用的结论 例 3 分解因式：x15+x14+x13+x2+x+1 分析 这个多项式的特点是：有 16 项，从最高次项 x15 开始，x 的次数顺次递减至 0，

13、由此想到应用公式 an-bn 来分解 解 因为（x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+x2+x+1)，所以 说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用 2拆项、添项法 ！因式分解是多项式乘法的逆运算在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零 在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解 例 4 分解因式：x3-9

14、x+8 分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧 解法 1 将常数项 8 拆成-1+9 原式=x3-9x-1+9 =(x3-1)-9x+9;=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法 2 将一次项-9x 拆成-x-8x 原式=x3-x-8x+8 =(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法 3 将三次项 x3 拆成 9x3-8x3 原式=9x3-8x3-9x+8 =(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)!

15、=(x-1)(x2+x-8)解法 4 添加两项-x2+x2 原式=x3-9x+8 =x3-x2+x2-9x+8 =x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种 例 5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1 解(1)将-3 拆成-1-1-1 原式=x9+x6+x3-1-1-1

16、 =(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)说明 本解法实际上是将 x2-1 看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体 解法 2 原式=x26(t2+2)+7t-36 =x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x22(x-1/x)-33(x-1/x)+8 =(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)(例 10 分解因式：(x2

17、+xy+y2)-4xy(x2+y2)分析 本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式对于较难分解的二元对称式，经常令 u=x+y，v=xy，用换元法分解因式 解 原式=(x+y)2-xy2-4xy(x+y)2-2xy令 x+y=u，xy=v，则 原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2 =(u2-3v)2 =(x2+2xy+y2-3xy)2 =(x2-xy+y2)2 练习一 1分解因式：(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5 2分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323 3分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20